第1章数学基础与误差理论
本章主要讲述数值计算中的预备知识，主要包括微积分和线性代数中的一些主要结论，讲述有效数字、误差传播、误差控制等内容.
本章中要理解零点定理、中值定理等概念;熟练掌握函数泰勒(Taylor)展开;掌握正交矩阵、实对称矩阵和正定矩阵的概念与性质；掌握谱和谱半径的概念；理解线性空间和内积空间的概念；掌握向量范数、矩阵范数、算子范数的概念，并会计算常用的范数；了解误差的分类；理解有效数字的定义；掌握有效数字与误差控制定理；掌握误差传播原理，并会应用误差传播原理计算，理解误差控制原则.
1.1知识点概述
1.零点定理
2.罗尔(Rolle)中值定理
3.拉格朗日(Lagrange)中值定理
4.柯西(Cauchy)中值定理
如果函数f(x)及g(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且g(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在(a，b)内至少有一点使得.
5.Taylor展开定理
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到n+1阶的导数，则当时，有
6.二元Taylor展开定理
如果函数f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内连续且有直到n+1阶的连续偏导数，(x0+h，yo+h)为此邻域内一点，则有
其中，
7.积分第一中值定理
如果函数f(x)在闭区间上连续，则在积分区间⑷叫上至少存在一点使得
8.积分第二中值定理
如果函数f(x)在闭区间，上连续，g(x)在上不变号，并且g(x)在闭区间上是可积的，则在，上至少存在一点使得
9.常见矩阵及性质
1)正交矩阵
若实方阵A满足(单位阵)，则称矩阵A为正交阵.正交阵的性质如下：
(1)若A为正交阵，则A可逆，且A-1=At.
(2)正交阵的行列式为1或-1.
(3)若A为正交阵，则仍为正交阵.
(4)若均A，B为正交阵，则AB仍为正交阵.
(5)若A为正交阵，为n维列向量，则
即正交阵A乘到向量上，不改变向量的长度与内积.
(6)正交阵的实特征值为1或-1，正交阵的虚特征值模为1.
(7)A为正交阵当且仅当A的行(列)向量是标准正交的.
2)实对称矩阵
若实方阵A满足AT=A，则称A为实对称矩阵.
实对称矩阵的性质：
(1)实对称阵的特征值都是实数，从而其特征向量都可取为实向量.
(2)实对称阵的对应不同特征值的特征向量相互正交.
(3)实对称阵必能正交对角化，即存在一个正交阵P，使得
其中，为A的特征值.
3)正定矩阵
对于n元二次型，若对任何非零向量，都有
则称此二次型为正定二次型，对应的矩阵A称为正定阵.
实对称正定矩阵的结论：
(1)若A为正定阵，则仍为正定阵，且det(A)>0.
(2)若A，B均为正定阵，则A+B仍为正定阵，但AB不一定为正定阵.
(3)二次型f(x)=xtAx正定的充分必要条件为/的标准形中的n个系数均为正数.
(4)二次型f(x)=xtAx正定的充分必要条件为/的矩阵A的特征值均为正数.
(5)二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件为/的矩阵A的各阶顺序主子式均为正数.
(6)二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件为f的矩阵A与单位阵I合同，即存在可逆阵Q使得A=QtQ成立.
10.谱和谱半径
设是方阵，若存在复数及非零向量x，使得，则称是矩阵A的特征值，x是A属于特征值的特征向量，A的全体特征值的集合称为A的谱，记作，而称为A的谱半径.
11.线性空间与内积空间
1)线性空间
设F是一个非空集合，F为一个数域，若在V中的元素满足加法和数乘运算封闭，且对任意eF和GF，满足以下八条运算规则：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
则称V为(数域F上的)线性空间，V中的元素称为元素或向量，例如Rn或Cn就是*常见的线性空间.
2)基底和维数
若线性空间V中存在n个向量满足
(1)线性无关.
(2)任意都可由线性表示.则称向量组叫，为线性空间V的基底，并称基底所含向量个数n为线性空间V的维数，记作dimV=n，此时简记为
显然有限维线性空间F的基底不唯一，但维数是唯一的.
3)线性子空间
设V是数域F上的线性空间，这组向量的所有可能线性
4)内积空间
设V是数域F上的线性空间，若V中的任意向量和，都有唯一确定的数与之对应，且满足
(1)
(2)
(3)
(4)
则称(x，y)为x和y的内积，定义了内积的线性空间V称为内积空间，如果(x，y)=0，称向量x和y正交.
12.向量范数
设V是数域F上的线性空间，若对于V中任意一个向量x都有一个实数与之对应，且满足
(1)
(2)
(3)
称为v上的范数，定义了范数的线性空间称为线性赋范空间.
一般地，对任意或'则常用的向量范数如下.
1-范数：
2-范数：
组合的集合
范数：
范数：
13.矩阵范数
设Fnxn是数域F上所有nxn矩阵全体构成的线性空间，若对于FnXn中任意一个矩阵A都有一个实数与之对应，且满足
(1)
(2)
(3)
(4)
则称是线性空间Cmxn上的矩阵范数.
Probenius范数(F范数)：
14.算子范数
设Fnxn是数域F上所有nxn矩阵全体构成的线性空间，是Cn上的一个向量范数，对任意，定义
则称是与向量范数相容的矩阵范数，通常称是由向量范数导出的算子范数或从属于向量范数的矩阵范数.
类似地，给出从属于3种向量范数的算子范数.
1-范数(列和范数)：
2-范数(谱范数)：
oo-范数(行和范数)：
15.误差与有效数字
绝对误差 设；为准确值，的一个近似值，称
为近似值的绝对误差，简称误差，当时，称为盈近似，否则为亏近似.
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