第一篇概率论基础
　　1.1σ代数理论
　　概率论是研究随机现象的统计规律的数学学科.在概率论中，事件和概率是*基本的两个概念.从概率论本身发展的需要来看，明确地规定事件和概率是必需的.为了规定什么是事件，一方面要考虑到对事件应允许进行必要的运算，以满足分析随机现象的实际需要，因而事件类不能太小，至少对某些运算应该是封闭的;另一方面为了能对每个事件给出概率，并保证对概率有一定的要求，例如非负性、单调性、可加性等，所以事件类就不能太大，否则就无法给出一个“兼顾各方面要求”的概率.
　　事件从其运算的特点来看，与集合的运算是十分相近的.如果把试验可能结果ω的全体记为Ω，让事件A.与“Ω中某些ω在试验中出现”对应，即事件A={属于Ω的子集A的任一ω在试验中出现}，这样事件A.与Ω的子集A就是一回事了.在这种对应之下，事件全体就是Ω的某些子集的集合，概率就应该是定义在Ω的某些子集上的一个以集合为自变量的函数，从而规定概率和事件所必须兼顾到的各种要求就变为了对集合类与集合函数应该满足的要求.
　　由于在概率论、随机过程论及随机微积分学中经常涉及σ代数理论，因此，了解σ代数的结构特征是很有必要的.
　　1.1.1σ代数
　　设Ω是一个抽象空间，即一个非空集合.由Ω的某些子集构成的集合称为一个集类，以后常用花体字母等来表示.特别地，用表示由Ω的子集(包括空集和全集Ω)全体构成的集类.
　　1.代数
　　定义1.1.1 称Ω的一个非空子集类或P(Ω)的某个非空子集A为一个代数或域，如果它满足
　　(1)
　　(2)
　　实际上，容易证明代数是一个包含和Ω，并且对集合的余运算、差运算、对称差运算及有限并和有限交运算都封闭的集合类.
　　例1.1.2(1)P(Ω)是一个代数.
　　(2)是一个代数，称其为退化代数或平凡代数.
　　(3)直线R上形为(a，b](a，b可为无穷)的区间的有限并的全体为一个代数.
　　我们也可以从任何感兴趣的集合类出发得到一个代数.
　　命题1.1.3如果集类，则必存在包含的*小代数，即是一个代数，且对任意一个代数.必有.
　　证明首先记为包含的代数的全体构成的集类，则因为，所以是一个非空的集类.又因为任意多个包含的代数的交仍是一个包含的代数(可按代数的定义逐条验证)，所以如取，则就是所要求的包含的*小代数.
　　定义1.1.4对任意一个集类，称包含的*小代数为由张成的代数，记为.
　　一般说来，为了获得由集类张成的代数，可以采用下面的步骤.
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　在具体讨论中还常用到下面的概念.
　　定义1.1.5 的非空子集类称为一个半代数(或半域)，如果它满足
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　易见，代数必为半代数.
　　例1.1.6 (1)直线R上形为(a，b](a，b可为无穷)的区间全体构成一个半代数.
　　(2)n维实空间Rn中，开、闭及半开半闭矩形体的全体构成一个半代数的全体也构成一个半代数.
　　命题1.1.7如果为一个半代数，那么
　　为中两两互不相交的有限族)是包含S的*小代数.
　　证明首先证明是一个代数.
　　对有限交封闭是显然的.
　　2.σ代数
　　对有限运算封闭的集类不意味着对可数运算也封闭.例如取是实直线上的所有形如(x，∞)的区间(其中x∈R)全体所成的集类，则是一个对有限交运算封闭的集类.但是因为
　　所以集类C对可数交运算不封闭.
　　定义1.1.8 称的一个非空子集类为一个σ代数或σ域，如果它满足
　　(1)
　　(2)
　　命题1.1.9 如果是一个σ代数，则是一个代数，且当时，必有
　　其中
　　由命题1.1.9可知，σ代数是包含和Ω，并且对集合的余运算、差运算、对称差运算和可数并、可数交及上下极限运算都封闭的集合类.
　　定义1.1.10 称包含集类的所有σ代数的交为由生成的σ代数，记为.
　　为了从一个给定的集类出发得到由它生成的σ代数，我们可以遵循在由集类获得它张成的代数的过程中同样的步骤(1)至(3)，除了在第二步中允许n可以取为无穷大.
　　命题1.1.11
　　证明
　　则
　　命题1.1.12 如果用R表示数直线(-∞，+∞)，则下列集类生成相同的σ代数.
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　(5)
　　(6)
　　(7)

目录
前言
第一版前言
全文符号
第一篇　概率论基础
第1章　可测空间与乘积可测空间　3　
1.1　σ代数理论　3　
1.1.1　σ代数　3　
1.1.2　单调类定理　7　
1.2　可测空间和乘积可测空间　10　
1.2.1　可测空间　10　
1.2.2　有限维乘积可测空间　11　
1.2.3　无穷维乘积可测空间　13　
1.3　可测映射与随机变量　15　
1.3.1　映射、可测映射　15　
1.3.2　可测函数——随机变量　16
1.3.3　可测函数的运算　17　
1.3.4　函数形式的单调类定理　20　
1.3.5　多维随机变量　21　
第2章　测度与积分　23　
2.1　测度与测度空间　23　
2.1.1　测度空间　23　
2.1.2　代数上的测度　24　
2.1.3　完备测度　25　
2.1.4　分布函数及其生成的测度　26　
2.2　随机变量的数字特征　29　
2.2.1　积分——期望　29　
2.2.2　随机变量的矩　32
2.2.3　随机向量的数学特征　34　
2.3　随机变量及其收敛性　35　
2.3.1　随机变量的等价类　35　
2.3.2　几乎必然（a.s.）收敛　37　
2.3.3　依概率收敛　38　
2.3.4　依分布收敛　39　
2.3.5　平均收敛　40　
2.4　独立性与零一律　41　
2.4.1　独立性　41　
2.4.2　零一律　43　
2.5　乘积可测空间上的测度　45　
2.5.1　有限维乘积空间上的测度　46　
2.5.2　无限维乘积空间上的测度　51　
第3章　条件期望　55　
3.1　广义测度　55　
3.1.1　Hahn-Jordan分解　55　
3.1.2　Lebesgue分解　58　
3.1.3　Radon-Nikodym定理　61　
3.2　条件期望　65　
3.2.1　条件期望的定义　65　
3.2.2　条件期望的性质　68　
3.2.3　条件概率分布　71　
3.2.4　条件独立性　78　
第二篇　鞅
第4章　随机过程　83　
4.1　随机过程的概念　83　
4.2　可料过程　91　
4.3　停时　96　
4.3.1　连续时间随机过程的停时　96　
4.3.2　离散时间随机过程的停时　102　
4.3.3　停时随机变量　104　
4.3.4　停时过程和截断过程　106　
4.4　Lp收敛和一致可积　108
4.4.1　Lp收敛　108
4.4.2　随机变量族的一致可积　110
第5章　鞅　120
5.1　鞅、下鞅和上鞅　120　
5.1.1　鞅、下鞅和上鞅的定义　120　
5.1.2　鞅的凸理论　125　
5.1.3　离散时间的增过程和Doob分解　125　
5.1.4　鞅变换　128　
5.2　下鞅基本不等式　131　
5.2.1　可选停时和可选采样　132　
5.2.2　极大和极小不等式　139　
5.2.3　上穿和下穿不等式　147　
5.3　下鞅的收敛性　156　
5.3.1　离散时间下鞅的收敛性　156　
5.3.2　连续时间下鞅的收敛性　161　
5.3.3　用一个*终元素封闭下鞅　164　
5.3.4　离散时间平方可积（L2）鞅　167　
5.4　一致可积下鞅　172　
5.4.1　一致可积下鞅的收敛性　172　
5.4.2　逆时间下鞅　172　
5.4.3　无界停时的可选采样　180　
5.4.4　停时随机变量族的一致可积性　187　
5.5　下鞅样本函数的正则性　190　
5.5.1　右连续下鞅的样本函数　190　
5.5.2　下鞅的右连续修正　194　
5.6　连续时间的增过程　202　
5.6.1　关于增过程的积分　202　
5.6.2　右连续类（DL）下鞅的Doob-Meyer分解　207　
5.6.3　正则下鞅　225　
第三篇　随机积分　
第6章　随机积分　235　
6.1　平方可积鞅和它的二次变差过程　235　
6.1.1　右连续平方可积（L2）鞅空间　235
6.1.2　局部有界变差过程　244　
6.1.3　右连续平方可积（L2）鞅的二次变差过程　247　
6.2　关于鞅的随机积分　252　
6.2.1　有界左连续适应简单过程关于L2鞅的随机积分　252　
6.2.2　可料过程关于L2鞅的随机积分　261　
6.2.3　截断被积函数和用停时停止积分　272　
6.3　适应Brownian运动　278　
6.3.1　独立增量过程　278　
6.3.2　Rd值Brownian运动　280　
6.3.3　一维Brownian运动　287　
6.3.4　关于Brownian运动的随机积分　292　
6.4　随机积分的推广　300　
6.4.1　局部平方可积（L2）鞅和它们的二次变差　300　
6.4.2　随机积分对局部鞅的推广　306　
6.5　关于拟鞅的It公式　311　
6.5.1　连续局部半鞅和关于拟鞅的It公式　311　
6.5.2　关于拟鞅的随机积分　326　
6.5.3　指数拟鞅　328　
6.5.4　关于拟鞅的多维It公式　330　
6.6　It随机微积分　335　
6.6.1　随机微分的空间　335　
6.6.2　It过程　340　
6.6.3　矩不等式　345　
6.6.4　Gronwall型不等式　352　
第四篇　随机微分方程理论　
第7章　It型随机微分方程的一般理论　357　
7.1　随机微分方程概述　357　
7.1.1　问题介绍　357　
7.3　解的估计　370　
7.3.1　解的Lp-估计　370　
7.3.2　解的几乎处处渐近估计　375　
7.4　It型随机微分方程的近似解　384　
7.4.1　Caratheodory近似解　385　
7.4.2　Euler-Maruyama近似解　389　
7.4.3　强解和弱解　391　
7.5　SDE和PDE：Feynman-Kac公式　393　
7.5.1　Dirichlet问题　395　
7.5.2　初始边界值问题　398　
7.5.3　Cauchy问题　399　
7.6　随机微分方程解的Markov性　401　
第8章　线性随机微分方程　409　
8.1　线性随机微分方程简介　409　
8.2　随机Liouville公式　410　
8.3　常数变易公式　414　
8.4　几种特殊情形的研究　417　
8.4.1　标量线性方程　417　
8.4.2　狭义线性方程　417　
8.4.3　自治线性方程　418　
8.5　某些特殊的线性随机微分方程　419　
第9章　随机微分方程的稳定性　426　
9.1　稳定性的一般概念　426　
9.2　解的依概率稳定性　430　
9.3　解的几乎必然指数稳定性　440　
9.4　解的矩指数稳定性　448　
9.5　随机稳定化与不稳定化　457　
9.6　解稳定性的进一步论题　463　
参考文献　469　
名词索引　470