第1章预备知识
　　三维空间中的曲线和曲面是本书的主要研究对象。为了方便与深刻起见，本书采用Euler创立的参数方法对它们进行研究。基本的工具就是三维矢量的代数与分析运算。因此，本章对三维矢量的概念及其代数和分析运算做提纲挈领式的回顾与复习。分析研究图形与位置无关的几何性质和几何特征量，是几何学的重要任务，而图形位置的变化又可以通过坐标变换表征。鉴于此，本章以刚体运动为背景，基于变换矩阵介绍了坐标变换，并阐述了变换矩阵的性质。圆矢量函数与球矢量函数是列写曲线和曲面矢量方程（又称矢方程）及进行运算的重要工具，本章末尾引进了它们的概念，并论述了它们的运算特性。
　　1.1基本概念
　　人们经常遇到的量一般有两种：一种是标量，或称数量，只考虑其大小，而不计较其方向，如质量、温度等；另一种是矢量，或称向量，既需要考虑其大小，又需要考虑其方向，如速度、力等。
　　几何学中，有向线段就是矢量的直观，如图1.1.1所示，可用符号AB或r表示[1]。其中A为矢量起点，B为矢量终点。矢量AB的大小（长度）称为它的模，或绝对值，记为AB或r。
　　长度等于1的矢量称作单位矢量（简称单位矢），或幺矢。起点和终点重合的矢量称为0矢。0矢的方向不定，模为0。
　　若两个矢量大小相等，方向相同，则称它们是相等的矢量。只描写大小和方向，而不计较起点、终点的矢量，称为自由矢量[2]。显然，自由矢量可以做任意平行移动，所得到的矢量均相等。
　　在三维Euclid空间E3中任取一点O为坐标原点，和三个互相垂直的单位矢量i，j，k构成空间右手直角坐标系，如图1.1.2所示。单位矢量i，j，k也称为基底矢量，简称基底矢。E3中任意一点P（异于点O），空间在坐标系.中的坐标为(x，y，z)，则以点O为起点、以点P为终点的矢量称为径矢量，简称径矢，可以表示为
　　（1.1.1）
　　由式（1.1.1）可见，三维Euclid空间E3中任意一点在直角坐标系中的坐标，即为该点径矢在坐标系中的分量，也是径矢在坐标轴上投影的有向长度。另外，径矢OP在坐标系中是不可移动的，这与自由矢量不同。
　　引入坐标系后，矢量的运算可以转化为其分量的运算，即归结为一组数量的运算。比如，基于式（1.1.1），矢量r的模是
　　（1.1.2）
　　矢量r正向与三个坐标轴正向的夹角分别为，参看图1.1.2，则基于式（1.1.1），矢量r的三个方向余弦定义为
　　（1.1.3）
　　由式（1.1.2）和式（1.1.3）可得到三个方向余弦之间满足关系式
　　（1.1.4）
　　（1.1.5）
　　1.2矢量的代数运算
　　1.2.1矢量加减法
　　矢量的加减法是遵从平行四边形法则（又称三角形法则）进行的，它的几何含义比较直观。在三维Euclid空间E3中，矢量的加减法也可以按其分量进行，这样运算可操作性较强。
　　若有两个矢量则它们的和（差）定义为
　　（1.2.1）
　　由于矢量的加减法可以归结为其分量的加减法，因此矢量的加减法满足交换律与结合律。现用矢量加法例示于下。设，表示三个矢量。交换律：（1.2.2）
　　结合律：
　　（1.2.3）
　　1.2.2矢量的数乘
　　矢量的数乘是矢量与标量的乘法。若.为标量，则.与矢量
　　（1.2.4）
　　设和为标量，矢量的数乘满足如下的运算规则：
　　（1.2.5）
　　按矢量数乘的定义式（1.2.4）和矢量方向余弦的定义式（1.1.3），不难发现，矢量.与的方向余弦相同，因而它们平行，即。
　　1.2.3矢量的点积
　　设两个共端点矢量和的夹角为，如图1.2.1所示，则矢量和的点积（又称内积、数量积，简称数积）结果是一标量，定义为
　　（1.2.6）
　　根据点积定义式（1.2.6），两个非0矢量r1和r2相互垂直，即的充要条件为。
　　按点积定义式（1.2.6），右手直角坐标系.
　　的三个基底矢点积运算的结果为
　　（1.2.7）
　　若两个矢量为矢量点积的坐标定义可以表示为
　　（1.2.8）
　　按矢量点积坐标定义式（1.2.8），由式（1.1.2）可以得到点积与模的关系为
　　（1.2.9）
　　由点积定义式（1.2.6）和式（1.2.8），又可得到两个矢量夹角余弦的计算式
　　（1.2.10）
　　矢量的点积满足如下的运算规则：
　　（1.2.11）
　　式中，r1，r2，r3均为三维矢量，如常。
　　1.2.4矢量的矢积
　　设e是与矢量r1和r2都垂直的单位矢量，当r1和r2不平行时，r1，r2，e构成右手直角坐标系，如图1.2.1所示，则矢量r1和r2的矢积（又称叉积、外积或向量积）定义为[3]
　　（1.2.12）
　　式（1.2.12）中的矢积也可以采用矩阵形式进行计算。为此，首先展开式（1.2.12）右端的二阶行列式，并把式（1.2.12）的右端写成列阵形式，然后再分解为方阵和列阵的乘积，就可得到
　　（1.2.13）
　　式（1.2.13）中的三阶方阵完全决定于矢量r1的分量，或者完全决定于矢量r1，于是可以把此方阵记作
　　（1.2.14）
　　而且从式（1.2.14）容易验证.r T11r 。这就是说，方阵.r1.是反对称阵。借助于式（1.2.14），把式（1.2.12）和式（1.2.13）综合起来，就可以把矢量的矢积表达为矩阵的形式：
　　（1.2.15）
　　这就等于借助反对称阵，完成了矢量矢积运算。
　　如果非矢量r1和r2的矢积为0，即，由于且，又因e为单位矢量，即非0矢量，因此，由式（1.2.12）可知应有。又因为，所以或，即1.2，但r1和r2可以同向或反向。倒转来，若非0矢量r1和相互平行，即，则它们的夹角或，有。所以由式（1.2.12）综上所述，两个非0矢量r1和r2相互平行的充要条件是。
　　还可以再给出两个非0矢量r1和r2相互平行的另一充要条件。命题1.2.1两个非0矢量r1和r2相互平行的充要条件是它们线性相关。证明：充分性。如果两个非0矢量r1和r2线性相关，根据线性代数[4]中的定义
　　可知，则必存在不全为0的标量.1和.2，使得（1.2.16）
　　设.1.0，不失一般性，则由式（1.2.16）可解出，可见此时非0矢量r和r同向或反向，即。
　　必要性。如果两个非0矢量r1和r2相互平行，则它们同向或反向，因此
　　（1.2.17）
　　式（1.2.17）中，非0矢量r1和r2同向时，取“-”；反向时，取“+”。又因r1和r2均为非0矢量，所以1和.1全不为0。于是，式（1.2.17）表明非0矢量r1和r2线性相关。证毕。
　　按定义式（1.2.12），右手直角坐标系.O;，ijk的三个基底矢矢积运算的结果为
　　（1.2.18）
　　矢量的矢积满足如下的运算规则。
　　对数乘的结合律：
　　（1.2.19）
　　分配律：
　　（1.2.20）
　　反交换律：
　　（1.2.21）
　　由式（1.2.21）可见，矢量的矢积与点积不同，不满足交换律。从式（1.2.12）还可以得到两个矢量矢积模的计算式。考虑到两个矢量的夹角，该式两边取模便可得到
　　（1.2.22）
　　1.2.5矢量的混合积
　　文献中对于矢量的混合积，大都是直接基于矢量的分量给出它的定义，如文献[5]。为了反映矢量混合积相对于点积和矢积的派生性，本书推导了上述文献中常见的混合积定义式，阐明了三个矢量的混合积是它们经过矢积和点积运算得到的。
　　三个非0矢量构成右手直角坐标系，以式（1.2.8）和式（1.2.12）中点积和矢积的定义为基础，可以定义这三个矢量的混合积为
　　（1.2.23）

目录
前言
第1章 预备知识 1
1.1 基本概念 1
1.2 矢量的代数运算 3
1.2.1 矢量加减法 3
1.2.2 矢量的数乘 3
1.2.3 矢量的点积 3
1.2.4 矢量的矢积 4
1.2.5 矢量的混合积 6
1.2.6 二重矢积与Lagrange恒等式 7
1.3 矢量函数及其微积分 12
1.3.1 矢量函数的概念 12
1.3.2 矢量函数的极限与连续 12
1.3.3 矢量函数的导矢量函数及其方向 13
1.3.4 矢量函数的Taylor公式 17
1.3.5 矢量函数的积分 19
1.4 几种具有特殊性质的矢量函数 21
1.4.1 具有固定长度的矢量函数 21
1.4.2 具有固定方向的矢量函数 21
1.4.3 位于某一平面内的矢量函数 22
1.5 坐标变换 24
1.5.1 坐标变换与微分几何的联系及物理背景 24
1.5.2 有公共原点的坐标系间的旋转变换 25
1.5.3 旋转-平移复合变换 28
1.5.4 以坐标变换为背景的矢量点积和矢积运算 30
1.6 圆矢量函数与球矢量函数 33
1.6.1 圆矢量函数与球矢量函数的定义 33
1.6.2 圆矢量函数与球矢量函数的运算规则 35
1.6.3 运算举例 35
参考文献 36
第2章 空间曲线 37
2.1 正则参数曲线 37
2.2 曲线的弧长 41
2.3 曲线的基本矢、基本三棱形及曲线与平面的切触 46
2.4 空间曲线的曲率与挠率 53
2.5 空间曲线的Frenet-Serret公式及其运动学意义 58
2.5.1 一条引理及有关几何解释 58
2.5.2 Frenet-Serret公式的推导 61
2.5.3 Frenet-Serret公式的运动学意义 62
2.5.4 利用Frenet-Serret公式研究空间曲线 65
2.6 曲线在一点邻域内的形状与曲线的切触 72
2.6.1 空间曲线的近似曲线 72
2.6.2 曲线与曲线的切触 78
2.7 空间曲线论基本定理 81
参考文献 90
第3章 平面曲线 91
3.1 平面曲线的Frenet-Serret公式 91
3.2 平面曲线相对曲率的计算公式 94
3.3 曲率圆和曲率半径 98
3.4 平面曲线的自然方程 100
3.5 曲线的渐伸线与渐缩线 105
3.5.1 渐伸线的求法 106
3.5.2 渐缩线的求法 111
参考文献 119
第4章 曲面的概念、第一基本形式及相关性质 120
4.1 曲面的概念 120
4.2 曲面的切平面与法线 124
4.3 几种常见的简单曲面 127
4.3.1 旋转面（回转面） 127
4.3.2 螺旋面 130
4.3.3 直纹面 132
4.4 可展曲面及其分类 136
4.4.1 可展曲面的定义 136
4.4.2 可展曲面的分类 138
4.5 第一基本形式与第一类基本量 141
4.6 曲面的度量性质 145
4.6.1 曲面上曲线段的长度 145
4.6.2 曲面两切矢的夹角 147
4.6.3 曲面面积 150
4.7 曲面的等距变换、等角变换和等面变换与曲面的内蕴性质 154
4.7.1 曲面的等距变换与曲面的内蕴性质 154
4.7.2 曲面的等角变换 160
4.7.3 曲面的等面变换 164
参考文献 166
第5章 曲面的第二基本形式与法曲率 168
5.1 第二基本形式与第二类基本量 168
5.2 法曲率 176
5.3 渐近方向、渐近曲线与渐近网 182
5.4 主曲率与主方向 187
5.5 曲率线及其几何特征 194
5.6 Euler公式 204
参考文献 230
第6章 曲面论的张量方法与标架微分方法 232
6.1 曲面上自然标架的运动公式 232
6.2 曲面理论的基本方程 244
6.2.1 Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的建立 245
6.2.2 Gauss方程的独立性与Riemann曲率张量 247
6.2.3 Codazzi-Mainardi方程的独立性及其采用Gauss曲面论符号的表达法 254
6.2.4 方程总结 255
6.3 Gauss曲率的内蕴表示及其几何意义 259
6.4 曲面论的基本定理 270
6.5 曲面理论中的标架微分方法 277
参考文献 288
第7章 基于曲率的曲面研究 289
7.1 正则曲面的Dupin指标线 289
7.2 共轭方向和共轭曲线网 296
7.3 法曲率对弧长的导数 304
7.4 曲面在一点近旁几何形状研究 309
7.4.1 曲面方程的三阶展式 310
7.4.2 替代曲面在单位正交标架中的方程及其渐近性质 312
7.4.3 替代曲面在主标架中的方程及其主曲率和主方向 314
7.4.4 替代曲面与原曲面在公切点邻域中的法向距离 316
7.4.5 曲面在一点邻域内的近似形状 319
7.5 直纹面和可展面的曲率特征 322
7.6 常Gauss曲率曲面 328
7.6.1 常Gauss曲率的回转面 328
7.6.2 常Gauss曲率的螺旋面 335
7.6.3 零Gauss曲率的螺旋面 341
7.7 平均曲率为0的曲面 348
7.7.1 “极小曲面”称谓的由来 348
7.7.2 极小曲面微分方程及其初等解 350
7.7.3 按曲面的类别寻求极小曲面 356
7.8 平均曲率为非0常数的旋转面和螺旋面 366
7.8.1 平均曲率为非0常数的旋转面 366
7.8.2 平均曲率为非0常数的螺旋面 371
参考文献 382
第8章 测地曲率和测地挠率及其应用 384
8.1 测地曲率 384
8.2 测地线 394
8.2.1 测地线的定义与一般性质 394
8.2.2 测地线微分方程及其不同形式 394
8.2.3 测地线的短程性 398
8.2.4 具体曲面上的测地线 400
8.3 测地挠率 408
8.3.1 测地挠率的定义与基本计算公式 408
8.3.2 Bertrand公式及与之相关的测地挠率性质 410
8.3.3 测地挠率和测地曲率在寻求曲面近似方程中的应用 415
8.4 曲面曲线标架运动公式 424
8.4.1 曲面曲线标架运动公式的建立 424
8.4.2 曲面曲线标架运动公式的运动学意义 426
8.4.3 推广的Rodrigues方程 430
8.5 推广的Euler公式和Bertrand公式 454
8.5.1 曲挠圆 454
8.5.2 基于法曲率和测地挠率的平均曲率与Gauss曲率计算式 455
8.5.3 推广的Euler公式和Bertrand公式 456
8.6 曲面曲率分析综合举例 462
8.6.1 法向圆弧螺旋面方程的建立 462
8.6.2 法向圆弧螺旋面的单位法矢量和两类基本量 463
8.6.3 法向圆弧螺旋面上的活动标架和它的曲率参数 465
8.6.4 法向圆弧螺旋面测地曲率的计算 467
参考文献 471
第9章 包络理论 472
9.1 单参数曲面族的包络面、接触方程与特征线 472
9.2 单参数曲面族包络面的奇点条件 478
9.3 单参数平面族的包络面 487
9.4 单参数平面曲线族的包络线 498
9.5 双参数曲面族的包络面及接触方程 503
9.6 双参数曲面族的两类界线 512
9.6.1 接触界线 512
9.6.2 曲率干涉界线 517
9.6.3 矢量Nj（j=1，2）的特性 521
9.6.4 偏曲率干涉界线函数*1t2和*2t1的关系式 524
9.7 双参数曲面族的包络面及两类界线计算举例 526
9.7.1 双参数渐开螺旋面族 526
9.7.2 接触方程及其解 526
9.7.3 接触界线 532
9.7.4 包络面方程 533
9.7.5 曲率干涉界线 537
附录 双参数渐开螺旋面族方程（9.7.1）的推导 539
参考文献 541