第1章预备知识
三维空间中的曲线和曲面是本书的主要研究对象。为了方便与深刻起见,本书采用Euler创立的参数方法对它们进行研究。基本的工具就是三维矢量的代数与分析运算。因此,本章对三维矢量的概念及其代数和分析运算做提纲挈领式的回顾与复习。分析研究图形与位置无关的几何性质和几何特征量,是几何学的重要任务,而图形位置的变化又可以通过坐标变换表征。鉴于此,本章以刚体运动为背景,基于变换矩阵介绍了坐标变换,并阐述了变换矩阵的性质。圆矢量函数与球矢量函数是列写曲线和曲面矢量方程(又称矢方程)及进行运算的重要工具,本章末尾引进了它们的概念,并论述了它们的运算特性。
1.1基本概念
人们经常遇到的量一般有两种:一种是标量,或称数量,只考虑其大小,而不计较其方向,如质量、温度等;另一种是矢量,或称向量,既需要考虑其大小,又需要考虑其方向,如速度、力等。
几何学中,有向线段就是矢量的直观,如图1.1.1所示,可用符号AB或r表示[1]。其中A为矢量起点,B为矢量终点。矢量AB的大小(长度)称为它的模,或绝对值,记为AB或r。
长度等于1的矢量称作单位矢量(简称单位矢),或幺矢。起点和终点重合的矢量称为0矢。0矢的方向不定,模为0。
若两个矢量大小相等,方向相同,则称它们是相等的矢量。只描写大小和方向,而不计较起点、终点的矢量,称为自由矢量[2]。显然,自由矢量可以做任意平行移动,所得到的矢量均相等。
在三维Euclid空间E3中任取一点O为坐标原点,和三个互相垂直的单位矢量i,j,k构成空间右手直角坐标系,如图1.1.2所示。单位矢量i,j,k也称为基底矢量,简称基底矢。E3中任意一点P(异于点O),空间在坐标系.中的坐标为(x,y,z),则以点O为起点、以点P为终点的矢量称为径矢量,简称径矢,可以表示为
(1.1.1)
由式(1.1.1)可见,三维Euclid空间E3中任意一点在直角坐标系中的坐标,即为该点径矢在坐标系中的分量,也是径矢在坐标轴上投影的有向长度。另外,径矢OP在坐标系中是不可移动的,这与自由矢量不同。
引入坐标系后,矢量的运算可以转化为其分量的运算,即归结为一组数量的运算。比如,基于式(1.1.1),矢量r的模是
(1.1.2)
矢量r正向与三个坐标轴正向的夹角分别为,参看图1.1.2,则基于式(1.1.1),矢量r的三个方向余弦定义为
(1.1.3)
由式(1.1.2)和式(1.1.3)可得到三个方向余弦之间满足关系式
(1.1.4)
(1.1.5)
1.2矢量的代数运算
1.2.1矢量加减法
矢量的加减法是遵从平行四边形法则(又称三角形法则)进行的,它的几何含义比较直观。在三维Euclid空间E3中,矢量的加减法也可以按其分量进行,这样运算可操作性较强。
若有两个矢量则它们的和(差)定义为
(1.2.1)
由于矢量的加减法可以归结为其分量的加减法,因此矢量的加减法满足交换律与结合律。现用矢量加法例示于下。设,表示三个矢量。交换律:(1.2.2)
结合律:
(1.2.3)
1.2.2矢量的数乘
矢量的数乘是矢量与标量的乘法。若.为标量,则.与矢量
(1.2.4)
设和为标量,矢量的数乘满足如下的运算规则:
(1.2.5)
按矢量数乘的定义式(1.2.4)和矢量方向余弦的定义式(1.1.3),不难发现,矢量.与的方向余弦相同,因而它们平行,即。
1.2.3矢量的点积
设两个共端点矢量和的夹角为,如图1.2.1所示,则矢量和的点积(又称内积、数量积,简称数积)结果是一标量,定义为
(1.2.6)
根据点积定义式(1.2.6),两个非0矢量r1和r2相互垂直,即的充要条件为。
按点积定义式(1.2.6),右手直角坐标系.
的三个基底矢点积运算的结果为
(1.2.7)
若两个矢量为矢量点积的坐标定义可以表示为
(1.2.8)
按矢量点积坐标定义式(1.2.8),由式(1.1.2)可以得到点积与模的关系为
(1.2.9)
由点积定义式(1.2.6)和式(1.2.8),又可得到两个矢量夹角余弦的计算式
(1.2.10)
矢量的点积满足如下的运算规则:
(1.2.11)
式中,r1,r2,r3均为三维矢量,如常。
1.2.4矢量的矢积
设e是与矢量r1和r2都垂直的单位矢量,当r1和r2不平行时,r1,r2,e构成右手直角坐标系,如图1.2.1所示,则矢量r1和r2的矢积(又称叉积、外积或向量积)定义为[3]
(1.2.12)
式(1.2.12)中的矢积也可以采用矩阵形式进行计算。为此,首先展开式(1.2.12)右端的二阶行列式,并把式(1.2.12)的右端写成列阵形式,然后再分解为方阵和列阵的乘积,就可得到
(1.2.13)
式(1.2.13)中的三阶方阵完全决定于矢量r1的分量,或者完全决定于矢量r1,于是可以把此方阵记作
(1.2.14)
而且从式(1.2.14)容易验证.r T11r 。这就是说,方阵.r1.是反对称阵。借助于式(1.2.14),把式(1.2.12)和式(1.2.13)综合起来,就可以把矢量的矢积表达为矩阵的形式:
(1.2.15)
这就等于借助反对称阵,完成了矢量矢积运算。
如果非矢量r1和r2的矢积为0,即,由于且,又因e为单位矢量,即非0矢量,因此,由式(1.2.12)可知应有。又因为,所以或,即1.2,但r1和r2可以同向或反向。倒转来,若非0矢量r1和相互平行,即,则它们的夹角或,有。所以由式(1.2.12)综上所述,两个非0矢量r1和r2相互平行的充要条件是。
还可以再给出两个非0矢量r1和r2相互平行的另一充要条件。命题1.2.1两个非0矢量r1和r2相互平行的充要条件是它们线性相关。证明:充分性。如果两个非0矢量r1和r2线性相关,根据线性代数[4]中的定义
可知,则必存在不全为0的标量.1和.2,使得(1.2.16)
设.1.0,不失一般性,则由式(1.2.16)可解出,可见此时非0矢量r和r同向或反向,即。
必要性。如果两个非0矢量r1和r2相互平行,则它们同向或反向,因此
(1.2.17)
式(1.2.17)中,非0矢量r1和r2同向时,取“-”;反向时,取“+”。又因r1和r2均为非0矢量,所以1和.1全不为0。于是,式(1.2.17)表明非0矢量r1和r2线性相关。证毕。
按定义式(1.2.12),右手直角坐标系.O;,ijk的三个基底矢矢积运算的结果为
(1.2.18)
矢量的矢积满足如下的运算规则。
对数乘的结合律:
(1.2.19)
分配律:
(1.2.20)
反交换律:
(1.2.21)
由式(1.2.21)可见,矢量的矢积与点积不同,不满足交换律。从式(1.2.12)还可以得到两个矢量矢积模的计算式。考虑到两个矢量的夹角,该式两边取模便可得到
(1.2.22)
1.2.5矢量的混合积
文献中对于矢量的混合积,大都是直接基于矢量的分量给出它的定义,如文献[5]。为了反映矢量混合积相对于点积和矢积的派生性,本书推导了上述文献中常见的混合积定义式,阐明了三个矢量的混合积是它们经过矢积和点积运算得到的。
三个非0矢量构成右手直角坐标系,以式(1.2.8)和式(1.2.12)中点积和矢积的定义为基础,可以定义这三个矢量的混合积为
(1.2.23)
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