第1章绪论
1.1引言
国民经济中占有极其重要地位的石油、化工、炼钢、轧钢等工业生产过程，以及对控制精度要求较髙的半导体封装、机器人柔性装配等先进制造过程，不仅涉及 非线性、不确定性、大时滞、时变性等特点，而且具有较强的空间分布特性。其显著的特征是系统的状态、控制、输出及参数等不仅随时间变化，而且随空间变化。这些具有时间和空间耦合特征的工业过程基本上可归纳为复杂分布参数系统 (distributed parameter system， DPS) [1，2]，也称为时空稱合系统[3，4]。
本章首先从时空耦合系统的数学描述出发，介绍一些典型的时空耦合系统模型， 如典型反应扩散方程、化工过程中催化反应棒温度场模型、铝合金板带轧制过程工作辊温度场模型、工程中梁类结构横向分布振动模型和刚-柔耦合机械手动力学模型等。接着，从时空耦合系统模型的特点引出时空耦合系统的降阶问题以及主流方法的研究现状。最后介绍本书的结构安排。
1.2时空耦合系统的数学描述
从本质上而言，时空耦合系统具有空间分布特性，因此系统的状态、变量和参数等既是时间的函数，又是空间的函数，其所在研究空间域内的动态行为通常由偏微分方程(partial differential equation， PDE)进行描述。例如，先进制造中常见的时空耦合过程可由如下的偏微分方程进行描述[3，4]：
(1.1)
式中，z和f表示独立变量，Z = [Z1，Z2， ，Zn]T表示n维空间变量且有，表示n维常数列向量，表示时间变量；X = X(z，t)表示系统(1.1)的时空状态变量；U=U(z，t)表示系统(1.1)的时空输入变量；表示与时空变量、状态变量及其偏导数和输入变量及其偏导数相关的非线性函数。
具体来说，现实中很多时空耦合过程，如工业化学反应过程[5]、热传导过程[6，7]、桥梁结构振动[8]和刚-柔双连杆臂机械手定位[9，10]等，其输入输出动力学特性可以由如下的非线性偏微分方程所描述：
(1.2)
式中，m= l，2；Y=Y(z，t))表示系统(1.2)的时空输出变量；A、B、C表示线性空间微分算子。系统(1.2)的其他变量与式(1.1)相同。
通常偏微分方程(1.2)代表的系统还满足一定数量的边界条件和初始条件。例如，方程(1.2)可满足边界条件[5]
(1.3)
和初始条件
(1.4)
由于这类过程的时空耦合特点，其本质上是无穷阶的，且存在非线性、不确定性和多场耦合，很难获得其解析解，所以对这类时空耦合系统进行快速仿真分析和 控制器设计具有非常大的难度。
1.3典型时空耦合系统介绍
1.3.1典型反应扩散方程
1.Chaffee-Infante 方程
Chaflfee-Infante方程是一个典型的反应扩散方程其描述输入作用下物理量时空演化的非线性偏微分方程可以表示如下：
(1.5)
式中，表示常值系数。
2.一维空间 Kurtmoto-Sivashinsky方程
Kurtmoto-Sivashinsky方程是一个典型的非线性偏微分方程，分别由Kuramoto等[12]和Sivashinsky [13]在描述反应扩散现象中提出，具体方程如下：
(1.6)
式中，a表示系统参数。
当应用上述两个方程进行计算分析时，需具有一定的边界条件和初始条件。
1.3.2化工过程中催化反应棒温度场模型
化工过程中的催化反应棒[5]如图1.1所示，整个催化反应在绝热容器内的黑色均匀棒上发生。反应物从左端进入，在容器内发生反应后，反应物和生成物从右 端流出，该反应是放热反应。催化反应棒上的温度不仅随时间变化，而且随空间 变化，即催化反应棒在空间测量位置点的温度随时间变化，且在同一时刻的不同 空间位置，温度也不一定一致。
图1.1催化反应棒
基于一些小的假设，图1.1中催化反应棒温度演化可由如下的抛物型偏微分方程进行描述[14，15]：
(1.7)
式中，分别表示反应器的温度、操作输入、反应热量系数、热传递系数、激活能量；参数值取为。其满足如下的狄利克雷边界条件和初始条件：
(1.8)
1.3.3铝合金板带轧制过程工作辊温度场模型
铝合金板带乳制过程中，高温轧件自身的温度、金属塑性变形产生的变形热以及乳件与工作辊相对滑动产生的摩擦热等一系列热流输入工作辊，使其温度升高；
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