第1章 绪论
1.1 飞行器试验统计学研究的对象、特点及主要问题 [1]
顾名思义，飞行器试验统计学研究的对象是飞行器在试验 (地面试验或飞行试验) 中的随机现象。研究的目的则是要揭示出这种随机现象的统计规律性。这种统计规律性建立在观测信息的基础之上。读者已经学习了经典统计中的抽样分布理论、点估计及置信估计方法、假设检验方法、回归分析等内容。它们对于飞行器试验结果分析来说，都是基础性的知识，是非常有用的。然而，对飞行器试验来说，还有它的特点。比如，飞行器的各系统技术复杂，而且价值昂贵，研制与试验的周期较长，且每批次的试验数少。并且飞行试验中的弹道 (轨道) 特性分析必须结合飞行弹道 (轨道) 进行。因此，本课程的学习不同于一般的数理统计。除了必须掌握的基本的理论以外，还需注重实际，结合专业中工程实践的问题来学习。就统计推断的思想方法来说，与经典统计也是不尽相同的。例如，在某些试验场合，不能如常规的统计处理那样，可以任意抽样，因此人们习惯运用的大样本理论 (中心极限定理、大数定理等) 就受到限制。又如在飞行试验中，我们运用光学、雷达等测量设备，对飞行器进行观测，得到的观测量是随时间而变化的量，而这种观测，在一次飞行试验中是不能再现的，即是说不能进行重复测量。这样一来，常规的统计处理遇到了困难。由此可知，在飞行器试验统计学中，常用的统计方法需要进一步发展，而飞行器试验中提出的新问题，又要求我们作进一步的深入研究。我们编写本教材就是为了这个目的。
就我国飞行器试验统计分析来说，大致有下列十个方面的工作。
(1) 飞行器各分系统试验结果分析。这种分析包括地面试验、飞行试验中特性参数的分析。例如，对于弹道式导弹来说，包括动力装置系统试验结果分析 (如发动机推力、液体火箭发动机的秒耗量、比推力、燃烧室压力等的试验结果分析)、制导系统误差分析 (如惯性制导系统中的仪表误差分离)、弹体结构强度分析、头部 (烧腐) 试验、分离机构试验中的结果分析等。如果将地面试验结果应用于高空，那么还必须考虑相关分析。
(2) 飞行过程中，弹道 (轨道) 运动参数的估计。在导弹飞行试验中，弹道运动参数 (如位置、速度) 的估计及其分析是必须的。这种评估，对于导弹飞行性能的分析是至关重要的。飞行试验中对导弹的跟踪、预报、飞行中的安全控制等就属于这种工作。而飞行试验后的重建弹道也是一项经常性的工作。
(3) 导航和全球卫星定位系统 (GPS) 中运动参数的实时估计 (所谓滤波问题)。
(4) 故障检测。主要是运用统计学中的检验理论，发现试验中的故障，以便研究设计部门改进飞行器的性能。例如，试验中安全控制的故障检测等，是试验场地的一项重要的工作。
(5) 飞行器定型试射中的精确度和密集度评估、最大射程评定、可靠性评定等工作。武器系统的定型，包括常规飞行器甚至战略武器的定型，是当前相当热门的课题。
(6) 弹道 (轨道) 仿真研究。仿真技术，是国内外广泛重视的技术，不论是数字仿真，或是半实物、实物仿真，对于飞行器的研制和性能分析，都是一种重要的工具，例如，进行弹体和控制回路的设计分析、优选参数、进行全弹道仿真试验等。一般的仿真过程包括建立模型、录入仿真参数及干扰源的统计特性和仿真计算。在仿真结果分析过程中，包括模型的检测、参数精度分析、仿真的可信性分析等，统计分析方法是一个基本的有力的工具。
(7) 测控设备的精度评定。对于测控设备来说，在出厂时都有产品合格的履历表，其中记载着设备的精度指标。但是飞行器试验时的外场条件与工厂不同，因此测控设备的精度未必与记载的精度一致。为此，必须在现场试验条件下作出合理的精度评定。这个工作，是做好试验结果分析的重要前提。
(8) 多种测量信息下的数据融合问题。在飞行器现场试验过程中，运用了多种观测设备对飞行器进行观测，例如，光学测量、雷达测量、遥测等。如何综合利用这些观测信息，以便对飞行器的性能参数进行检测、估计，这是一项重要的工作。国外靶场试验中运用的所谓误差模型的最佳弹道估算 (error modeling ballisticestimation technique， EMBET) 方法，就是属于这类研究工作。
(9) 小子样统计推断方法研究。这是由飞行器试验的特点所决定的。如前文所述，飞行器的试验不能大量地进行，因此，统计推断方法必须与这种特点相适应。我们在本教材中论述的贝叶斯 (Bayes) 方法，就是一种考虑小子样场合的统计分析的有效方法。
(10) 试验法研究。它包括试验中达到的要求、项目、试验程序、批次发射数、定型状态下的最佳发射数以及定型验收方案。对于试验分析的技术人员来说，在满足评估精度要求的前提下节省试验数，具有重要意义。试验法研究对于试验决策人员和总体研究、设计部门都是迫切需要的。
本教材不可能对上述问题一一进行详细讨论，特别是具体的技术细节问题。我们将着重讨论上述问题中广为运用的试验统计分析的理论和方法。一些具体应用，将以示例的形式给出。
1.2 参数估计与状态估计的研究进展
1.2.1 估计理论的起源
系统由于内部复杂的结构以及所处环境的影响，不可避免地会受到扰动以及噪声干扰，如何从受到扰动以及噪声干扰的系统中获得原始系统的状态估计成了一个非常重要的研究点。所谓滤波就是从混合在一起的诸多信号中提取出所需要的信号 [2]，即研究人员希望通过构造合适的滤波器以求得系统状态或真实信号。早在 1795 年，高斯 (Karl Gauss) 为测定行星运动轨道而提出了最小二乘 (leastsquare， LS) 法，可以看作是滤波思想的启蒙。该方法不需要考虑观测信号的统计特性，只需要保证测量残差的平方和最小，所以通常情况下该估计方法的性能较差。但由于最小二乘法具有算法简便 (只需要建立测量模型) 并且收敛性能好等优点，所以仍广泛地应用于很多领域 [3，4]。
1.2.2 线性系统下的状态估计方法
20 世纪 40 年代，科尔莫戈罗夫 (Kolmogorov) 和维纳 (Wiener) 相继独立地提出了维纳滤波。所谓维纳滤波，是在最小均方误差 (mean square error， MSE)准则下、白色噪声背景中平稳随机过程的一种滤波 [5]。维纳滤波能够充分利用输入信号和量测信号的统计特性，得到线性最小方差，是一种频域滤波方法。维纳滤波的使用前提是精确已知随机过程的概率结构。严格地讲，维纳问题并不是真正研究统计学范畴问题，而是研究概率论范畴问题。在某些方面它类似于大数定律与中心极限定理。维纳滤波只能针对一维平稳随机信号并且非递推，因而不便于实时应用。
1960 年，卡尔曼 (R. E. Kalman) 提出的 Kalman 滤波理论，标志着现代滤波理论的建立 [6]。Kalman 利用状态空间模型和射影理论，用状态方程描述系统动态模型 (状态转移模型)，用量测方程描述系统观测模型。对于具有高斯分布噪声的线性系统，Kalman 滤波可以得到系统状态的递推最小方差估计，是一种时域方法。使用该方法的前提比较苛刻，从定义中可以看出标准的 Kalman 滤波只能对线性系统进行估计，并且要求系统和噪声的统计特性满足高斯分布。
1.2.3 非线性系统下的状态估计方法
非线性系统状态估计在工程领域广泛存在，若要获得非线性系统状态估计问题的最优解需要得到系统状态后验概率分布的完整描述，然而只有在很少的情况下才能精确描述，为此在过去的几十年里人们提出了大量的次优滤波方法。次优滤波可分为基于函数近似滤波、基于确定性采样滤波和基于随机采样滤波三类：第一类基于函数近似滤波的典型代表是扩展 Kalman 滤波 [7]；第二类基于确定性
采样滤波的典型代表是无迹 Kalman 滤波 [8]；第三类基于随机采样滤波的典型代表是粒子滤波 [9]。
为了将 Kalman 滤波器应用于非线性系统，Bucy、Sunahara 等提出了扩展Kalman 滤波 (extended Kalman filtering，EKF)。EKF 的基本思想是：通过泰勒 (Taylor) 级数展开，将非线性系统进行线性化，再进行 Kalman 滤波。EKF 采用的是线性变换方法，其优点是便于实现。由于在线性泰勒级数展开时，截断了高阶项 (存在截断误差)，只保留一阶项，因此 EKF 是一种次优滤波。EKF 是工程中应用广泛、最早且最著名的非线性滤波方法，自从 1968 年在美国 “阿波罗登月计划” 中第一次成功运用以来，EKF 已被人们广泛应用于处理许多实际系统中的非线性滤波问题。因为 EKF 的基本思想是线性化状态方程和量测方程后使用 Kalman 滤波算法，所以当无法对非线性系统的状态方程和量测方程求偏导时，EKF 则不能使用；当系统遇到高度非线性情况时，EKF 可能产生较大的滤波误差，容易发散。随后，有学者提出迭代 EKF 及其改进算法，通过对状态估计的反复迭代，充分利用观测值，以得到较好的估计结果，但是，这种方法不可避免地增加了滤波的计算量，也有相关文献指出，当滤波算法所取初始值误差较大时，迭代 EKF 对状态估计的精度提升不大。还有相关学者提出二阶 EKF 算法，通过考虑非线性函数泰勒展开的二阶项，减小一阶线性化截断带来的误差的影响，从而达到提高估计精度的目的，但和迭代 EKF 算法类似，都存在增加计算量的问题 [10-14]。
为了有效克服 EKF 具有截断误差的不足，S. J. Julier 和 J. K. Uhlmann 提出了无迹 Kalman 滤波 (unscented Kalman filtering，UKF)。UKF 延续了线性Kalman 滤波的基本框架，采用无迹变换 (unscented transformation，UT) 取代局部线性化 [15-23]。UT 是一种非线性变换方法，即通过一组 (共 2n+1 个，n 为系统状态量个数) 具有不同权值的确定性对称采样点 (即 Sigma 点)，经非线性函数直接逼近高斯状态分布的均值和方差。因为 “对概率分布进行近似要比对非线性函数近似容易很多”，所以 UKF 不是像 EKF 那样直接对非线性函数进行近似，而是对状态的概率密度分布进行近似。Rhudy 等对 EKF 和 UKF 进行了对比。相对于 EKF，UKF 具有以下优点：à对函数非线性程度无要求，可用于不连续、不可微的系统，增大了系统的适用范围；á不需计算状态方程与量测方程的雅可比矩阵，简化了计算的复杂程度；.所采用的采样点数量较少，具有和 EKF 同阶的计算量；.对状态均值和协方差的估计精度可以达到三阶泰勒级数甚至四阶，滤波精度高。UKF 应用广泛，但是 UKF 在高维非线性系统中采样点集的聚集性会变差，容易出现非局部效应的问题。同时，由于中心采样点权值为负值，UKF 算法在滤波过程中可能会出现协方差非正定的情况，导致滤波数值稳定性变差甚至发散。
粒子滤波 (particle filtering，PF) 是一种基于蒙特卡罗 (Monte Carlo) 积分方法和贝叶斯采样估计的滤波方法。蒙特卡罗方法最早用于统计学和物理学，随后用于自动控制领域 [24-34]。在 20 世纪 50 年代 Hammersley 等提出了基本的顺序重要采样方法，该方法在 20 世纪 60 年代得到了进一步发展，但当时未能解决粒子数匮乏和计算量制约等问题。直到 21 世纪 Doucet 等提出了基于蒙特卡罗仿真和序贯重要性采样 (sequential important sampling，SIS) 的非线性滤波方法，上述问题才得以解决 [35-47]。PF 通过将状态空间中随机搜索的概念引入滤波中，不仅实现了理论上的最优，而且适用于非线性、非高斯的一般情
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