第一章 方程的导出和定解条件
物质的运动都服从一定的自然规律.数学物理方程便是基于物理定律描述这些物质运动所建立的数学模型.建立数学物理方程*基本的物理定律有守恒律和变分原理.当然，为了使方程(组)成为封闭的，往往还需要如Fourier(傅里叶)热传导定律、状态方程等其他物理定律.
在这一章，我们将通过弦振动、热传导、流体运动、极小曲面、膜平衡等物理和几何的例子，说明如何从守恒律和变分原理出发推导出常见的一些数学物理方程.它们将是本书讨论的主要对象.
第一节 守恒律
动量守恒、能量守恒和质量守恒是自然界一切运动都必须遵循的基本规律.对于自然界的某一个特定问题，如果把相应的守恒律数量化，就导出刻画这个问题的微分方程.因此，从这个意义上说，微分方程实质上就是自然界守恒律的数量形式.
一、动量守恒与弦振动方程
物理模型
假设一根柔软且均匀的细弦，拉紧之后让它离开平衡位置，在垂直于弦线的外力作用下做微小的横振动，求弦线在不同时刻的形状.
其中“柔软”是指弦只抗拉伸但不抗弯曲，即当它发生形变时拉力与弦线相切;“均匀”是指弦的线密度(即单位长度的质量)为常数;“细”是指弦的长度远远大于它的直径，从而可将其视为一条理想的曲线;“横振动”是指弦的运动发生在同一平面内，并且弦上各点的位移始终与平衡位置垂直.“微小”的意义将在下文中进行说明.
牛顿第二定律
物体所受外力等于物体质量与加速度的乘积，即
我们利用牛顿第二定律建立弦上各点的位移所满足的微分方程.首先如图1.1所示，建立坐标系，取弦的平衡位置为轴.在弦线运动的平面内，垂直于弦线的平衡位置并过弦线左端点的直线为轴.那么，在任意时刻弦线上各点的位移为
我们利用微元法在弦上任意截取一小段，对它进行受力分析.如图1.2所示，该小段弦的左端点受到与弦线相切的张力，右端点受到与弦线相切的张力，另外还受到强迫外力，其中为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度.
图1.1
图1.2
作用在端点和的张力为和，它们的方向如图1.2所示.它们在轴方向的分量分别为
其中表示轴上的单位向量，和分别为弦线在点和点处的切线与轴正方向的夹角.由于我们假设弦线是均匀的并且做微小横振动，因此可认为
注意到水平方向的合力为0，即
那么
我们在竖直方向上利用牛顿第二定律可得
进而，
在上式中令趋于0并除以，上式可化为
(1.1)
其中
方程(1.1)刻画了均匀弦做微小横振动的一般规律，称其为弦振动方程.一根弦线具体的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态以及弦线两端所受外界的影响.因此为确定弦线的具体振动，还必须给出它满足的初始条件和边界条件.
初始条件弦上各点在初始时刻的位移和速度，即
(1.2)
其中和为闭区间上的已知函数.
边界条件一般而言有下面三种.
(1)已知端点的位移变化，即
(1.3)
特别地，若，则称弦线具有固定端.
(2)已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即
(1.4)
特别地，若，则称弦线具有自由端.
(3)已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合
(1.5)
其中，且.特别地，若，则意味着弦的两端固定在弹性支承上，并且分别表示支承的弹性系数.事实上，以左端点为例，根据作用力与反作用力的关系，弦对弹性支承的力为，而弹性支承的伸长为，由胡克定律可知，这就得到(1.5)中的第一个表达式.
通常把初始条件和边界条件统称为定解条件.一个偏微分方程连同与它相应的定解条件组成一个定解问题.为寻求弦在一定条件下的振动规律，我们需要求解一个相应的定解问题.
在区域上由方程(1.1)、初始条件(1.2)以及(1.3)—(1.5)中的任意一个边界条件组成的定解问题称为弦振动方程的混合问题.这里两个端点的边界条件也可以分别为(1.3)—(1.5)中不同的两种.
如果在所考虑的时间内，弦线端点对弦振动的影响可以忽略不计，那么我们可以认为弦长是无穷的，这样就不必考虑边界条件.我们把在区域上，由方程(1.1)和初始条件(1.2)组成的定解问题称为弦振动方程的初值问题(或Cauchy问题).类似地，我们可以给出弦振动方程半无界问题的定义.
注1 方程(1.1)不仅仅能刻画弦的横振动，还可以描述工程和物理中许多其他的运动.例如杆的纵振动，即一均匀细杆在外力作用下沿杆长方向做微小振动，如果取杆长方向为轴，表示处的截面在时刻沿着杆长方向的位移，那么由动量守恒定律和胡克定律
其中为截面受力，为截面面积，为应力，为杨氏模量，为相对伸长量，可推出满足方程(1.1)，其中事实上，不论是弦的横振动还是杆的纵振动，它们都有一个共同的特征:物体的振动产生了波的传播.因此，方程(1.1)也称为一维波动方程.
注2 如果我们考虑膜的振动或者声波的传播，用来描述这些二维或三维波动现象的微分方程仍然具有与方程(1.1)相似的形式:
(1.6)
图1.3
这里是Laplace(拉普拉斯)算子，是维数.通常把方程(1.6)称为波动方程.
注3 对于方程(1.6)，我们同样可以提出混合问题和初值问题.如图1.3，设为中的一个有界开区域，为中的一个柱体，是柱体的侧表面，其中表示的边界.所谓混合问题就是在上定义一个函数，使它在柱体内满足方程(1.6)，在柱体的下底满足初始条件
(1.7)
在柱体的侧表面上满足下面三个边界条件之一:
(1.8)
或
(1.9)
或
(1.10)
其中是的单位外法向量且所谓初值问题(或Cauchy问题)即在上定义一个函数，使得它在内满足方程(1.6)，而在上满足初始条件(1.7).
注4 考虑膜在外力作用下处于平衡状态时的形状.这时惯性力，从而我们得到膜上各点位移满足的微分方程
(1.11)
为了确定一张特定的薄膜的形状，除了方程(1.11)以外，还需要考虑膜边界处的条件，即它还要满足边界条件(1.8)—(1.10)中的任意一个，此时右端的已知函数为.方程(1.11)称为Poisson(泊松)方程.如果，那么方程(1.11)称为Laplace方程.边界条件(1.8)，(1.9)和(1.10)依次称为第一、第二和第三边界条件.方程(1.11)和边界条件(1.8)，(1.9)，(1.10)中的任意一个组成的定解问题称为边值问题.根据所带有的边界条件的类别，依次称这些定解问题为第一、第二、第三边值问题;人们常把第一和第二边值问题分别称为方程(1.11)的Dirichlet(狄利克雷)问题和Neumann(诺伊曼)问题.我们将在本章第二节中利用变分原理重新导出膜的平衡方程(1.11).
二、能量守恒与热传导方程
物理模型
考虑三维空间中一均匀、各向同性的物体.假定它内部有热源并且与周围介质有热交换，物体内部热量的传递遵循能量守恒定律，即物体内部热量的增加量等于从物体边界流入的热量与物体内部热源所产生热量的总和.
在物体内任取一小块，对其在时间段上运用能量守恒定律.设是温度，是比热容，是密度，是热流密度，是热源强度.注意到在时间段内通过的边界上一个小块进入区域的热量为.根据能量守恒定律可知
(1.12)
物体内部存在温差导致了热量的流动. Fourier定律表明在一定条件下热流向量与温度梯度成正比，即
(1.13)
其中的负号表明热量由高温向低温流动，是物体的导热系数.
将(1.13)代入(1.12)，并利用等式
可将(1.12)式化为
(1.14)
设在柱体内关于的一阶导函数，以及关于和的二阶导函数均连续.那么应用Gauss(高斯)公式
由于被积函数在内连续以及和均是任意的，又因为物体均匀且各向同性，，和都是常数，我们可以得到
(1.15)
其中是三维Laplace算子.这里若则表示热源，而若则表示热汇.
为了确定物体内部的温度分布，我们还需要知道物体内部的初始温度分布以及通过物体的边界受周围介质的影响.
初始条件
(1.16)
边界条件主要有如下三类.
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