第1章集合论初步
　　作为现代结构数学基础的集合论，一方面因其语言简明扼要，使得所有的数学概念都形式化；另一方面因其工具性作用，数学中曾经出现的迷惑杂乱变得清晰有序.但隶属于数理逻辑的公理化集合论并不是本书的研究内容，像大多数数学问题的处理一样，我们仅对集合论采取一种朴素的观点.本章的目的是梳理本书中将要涉及的集合论内容.
　　1.1集合运算
　　1.1.1集合概念
　　集合是原始概念，1874年Cantor给出了如下描述：把若干确定的有区别的（具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，简称集（set)，通常用A，B，C， 表示，其中各事物称为该集合的元素，简称元(element)，通常用u，X，y， 表示.
　　关于集合的一些通用的表示法列举如下：
　　表示属于，或是的一个元素；
　　表示包含于，或是的子集；
　　A=B当且仅当且;
　　表示空集（empty set)，即不包含任何元素的集合；
　　R表不实数空间（space of real numbers)，即;是意义等同的两种写法，经常混合使用；
　　表示广义实数空间，即;
　　表自然数集（setofnaturalnumbers)，即与是意义等同的两种写法，经常混合使用；
　　表示整数集(set of integers)，即;
　　表不有理数集(set of rational numbers)，即;
　　表本复数集（set of complex numbers)，即，其中是虚数单位，满足.
　　为了行文方便，这里介绍三个广泛使用的约定符号：
　　“V”表示“对所有的”(for all)或“对任意的”(for arbitrary)，由字母A旋转180°而得；
　　表示“存在”(exist)，由字母E旋转180°而得；
　　“s.t.”表示“使得”、“满足”(such that)或“受限制于”(subject to).
　　对于一个具体问题的研宄，往往都会局限在一定的范围内考虑.这样的一个范围，我们称其为空间（space)，有时为了强调其大也称为全空间（universal space).以后如不特别说明，一律用来表示全空间.于是，一切元素皆属于—切子集皆包含于.
　　设T是任意一个集合（未必是的子集合：)，若对每一个，恰有一个集合与之对应，则称为以:为指标集(index set)的一族集合，特别地，称为集合序列，简称集列（sequence of sets).
　　1.交(intersection)
　　2.并(union)
　　3.差(difference)
　　1.1.3上极限和下极限
　　定理1.1
　　证明第一个等式成立是因为
　　据定理1.1，下极限和上极限之间存在如下包含关系：
　　定理1.2
　　(i)
　　(ii)
　　n=l
　　1.1.4集类概念
　　在测度论中我们将经常遭遇一种特殊的集合，它是以集合为元素的集合，即集合的集合，我们称其为集类（class of sets)或集族(collection of sets)，常用大写的手写体拉丁字母来表示.
　　集列是一种特殊的集类.
　　因为集类中的元素是集合，所以我们视“集类A中的元素”与“集类A中的集合”为同义语.又因为集类是一种特殊的集合，所以关于集合的记号和术语同样适用于集类.例如，
　　类似地可以定义集类的并.
　　称的所有子集（包括和)构成的集类为的幕集（powerset)，记作.显然上的每一个集类都是的子集类，从而叫是上的*大集类.
　　习题1.1
　　1.1(1)
　　(2)
　　1.2(1)
　　(2)
　　1.3
　　(1)
　　(2)
　　1.4
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　1.5
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　1.6(1)
　　(2)
　　⑶
　　1.7

目录
前言
第1章 集合论初步 1
1.1 集合运算 1
1.1.1 集合概念 1
1.1.2 基本运算 2
1.1.3 上极限和下极限 3
1.1.4 集类概念 5
1.2 映射、笛卡儿积与逆像 7
1.2.1 映射 7
1.2.2 示性函数 9
1.2.3 笛卡儿积 10
1.2.4 逆像 13
1.2.5 向量值函数的导数 15
1.3 集合的势 18
1.3.1 Bernstein定理 18
1.3.2 可数集与不可数集 20
第2章 点集拓扑学初步 24
2.1 度量空间 24
2.1.1 度量空间的定义 24
2.1.2 度量空间中的开集和邻域 25
2.1.3 完备度量空间 25
2.1.4 Banach 空间 26
2.1.5 乘积度量空间 27
2.2 拓扑空间 29
2.2.1 拓扑空间的定义 29
2.2.2 邻域 30
2.2.3 基 31
2.2.4 子基 32
2.2.5 制作新拓扑空间的方法 32
2.2.6 闭包、内部和边界 34
2.2.7 拓扑空间中序列的收敛性 34
2.3 连续映射 36
2.3.1 度量空间上的连续映射 36
2.3.2 拓扑空间上的连续映射 37
2.4 可数性和可分性 40
2.4.1 第一可数空间 40
2.4.2 第二可数空间 41
2.4.3 可分空间 43
2.5 分离性 44
2.5.1 Ti空间 44
2.5.2 Hausdorff空间 44
2.5.3 正规空间 44
2.6 紧性 47
2.6.1 紧空间 47
2.6.2 弱于紧性的几种空间 49
2.7 度量空间中的紧性特征 52
2.7.1 Lebesgue数 52
2.7.2 完全有界集 53
2.7.3 一般度量空间中的紧性特征 55
2.7.4 欧氏空间中的紧性特征 56
第3章 集类 58
3.1 几种常见的集类 58
3.1.1 几个术语 58
3.1.2 半环 59
3.1.3 代数 60
3.1.4 *代数 60
3.1.5 单调类 61
3.1.6 入类 61
3.2 单调类定理和π-λ定理 63
3.2.1 生成元 63
3.2.2 单调类定理 64
3.2.3 π-λ定理 65
3.2.4 关于集合的典型方法 65
3.3 生成*代数的几种常见方法 66
3.3.1 由一族*代数生成*代数 66
3.3.2 逆像*代数 67
3.3.3 迹*代数 67
3.3.4 可测空间与可测拓扑空间 68
3.4 与R相关的Borel*代数的结构 69
3.4.1 Rd上的Borel*代数的结构 69
3.4.2 C上的Borel*代数的结构 71
3.4.3 *上的Borel*代数的结构 72
第4章 测度与概率测度 76
4.1 测度的定义及基本性质 76
4.1.1 测度的定义 76
4.1.2 半环上的有限可加测度 78
4.1.3 半环上的测度 79
4.1.4 有限可加测度成为测度的条件 81
4.1.5 *有限测度 82
4.1.6 测度空间 82
4.2 测度从半环到*代数的扩张 85
4.2.1 外测度 85
4.2.2 由外测度诱导的测度 86
4.2.3 由半环上的测度诱导的外测度 87
4.2.4 测度扩张定理 89
4.3 测度空间的完备化 91
4.3.1 完备测度空间 91
4.3.2 测度空间的*小完备化 92
4.3.3 完备化的其他常见操作方法及等价性 94
4.3.4 与外测度有关的完备化 95
4.4 d 维欧氏空间中的L-S测度 97
4.4.1 从L-S函数到L-S测度 97
4.4.2 从L-S测度到L-S函数 101
4.4.3 有限测度与准分布函数的一一对应关系 102
4.4.4 连续点与连续集 103
4.5 d 维欧氏空间中的L测度 105
4.5.1 L函数与L测度 105
4.5.2 L测度的平移不变性 106
4.5.3 L测度的反射不变性 107
4.5.4 Rd中的非L可测集 108
4.5.5 三分Cantor集及其L测度 109
第5章 可测映射与随机变量 111
5.1 可测映射 111
5.1.1 可测映射的定义 111
5.1.2 由映射生成*代数 112
5.2 可测函数 113
5.2.1 可测函数的定义 113
5.2.2 Baire*代数 114
5.2.3 可测函数的简单判别法 114
5.2.4 可测函数的基本性质 115
5.2.5 可测函数的极限性质 117
5.2.6 向量值可测函数 118
5.2.7 复值可测函数 119
5.3 简单可测函数和可测函数的结构性质 121
5.3.1 简单可测函数 121
5.3.2 可测函数的结构性质 121
5.3.3 关于可测函数的典型方法 124
5.4 像测度和概率分布 126
5.4.1 像测度 126
5.4.2 从随机变量到分布函数 127
5.4.3 从分布函数到随机变量 129
5.4.4 复值随机变量 130
第6章 几乎处处收敛和依测度收敛 131
6.1 几乎处处收敛及其基本列 131
6.1.1 几乎处处成立 131
6.1.2 几乎处处收敛 132
6.1.3 几乎处处收敛的基本列 133
6.2 几乎一致收敛 136
6.3 依测度收敛及其基本列 138
6.3.1 依测度收敛 138
6.3.2 依测度收敛的基本列 139
6.3.3 依概率收敛 142
6.3.4 子序列原理 144
第7章 Lebesgue积分与数学期望 147
7.1 Lebesgue积分的定义 147
7.1.1 非负简单可测函数的L积分 147
7.1.2 非负可测函数的L积分 150
7.1.3 一般可测函数的L积分 151
7.1.4 复值可测函数的L积分 152
7.1.5 数学期望和方差 152
7.2 Lebesgue积分的性质 153
7.2.1 基本性质 153
7.2.2 可积性准则 157
7.3 三大积分收敛定理 158
7.3.1 单调收敛定理和典型方法 159
7.3.2 Fatou引理 163
7.3.3 控制收敛定理 164
7.4 Stieltjes积分 169
7.4.1 L-S积分 169
7.4.2 R-S积分 170
7.4.3 反常R-S积分 177
第8章 不定积分和符号测度 180
8.1 符号测度与Hahn-Jordan分解 180
8.1.1 不定积分 180
8.1.2 符号测度的定义 181
8.1.3 符号测度的Hahn-Jordan分解 183
8.1.4 符号测度的积分 187
8.2 绝对连续与Radon-Nikoym定理 189
8.2.1 绝对连续 189
8.2.2 Radon-Nikodym定理 190
8.3 相互奇异与Lebesgue分解定理 199
8.3.1 相互奇异 199
8.3.2 Lebesgue分解定理 199
8.4 分布函数的类型及分解 201
8.4.1 Rd上有限Borel测度的类型及分解 201
8.4.2 分布函数的类型 203
8.4.3 分布函数的分解 206
8.5 左连续逆和均匀分布的构造 207
8.5.1 左连续逆 207
8.5.2 均匀分布的构造 208
第9章 Lebesgue空间与一致可积性 211
9.1 几个重要的积分不等式 211
9.1.1 Lebesgue空间的定义 211
9.1.2 积分形式的cr不等式 212
9.1.3 Jensen不等式 213
9.1.4 Kimball不等式 215
9.1.5 Holder不等式 216
9.1.6 Minkowski不等式 217
9.2 三类Lebesgue空间 219
9.2.1 函数空间Lp 220
9.2.2 函数空间* 222
9.2.3 符号测度空间 223
9.3 一致可积族 226
9.3.1 一致可积的定义 226
9.3.2 一致可积准则 227
9.3.3 Lp收敛准则 229
第10章 乘积可测空间上的测度与积分 232
10.1 乘积可测空间 232
10.1.1 有限乘积可测空间 232
10.1.2 任意乘积可测空间 232
10.1.3 与K有关的几个乘积*代数 235
10.2 有限个测度空间的乘积 237
10.2.1 截口 238
10.2.2 乘积测度 240
10.3 Tonelli定理和Fubini定理 244
10.3.1 Tonelli定理 244
10.3.2 Fubini定理 246
10.4 无穷乘积可测空间上的概率测度 249
10.4.1 可数个概率空间的乘积 249
10.4.2 Kolmogorov相容性定理 251
10.4.3 任意多个概率空间的乘积 255
第11章 局部紧Hausdorff空间上的测度 257
11.1 局部紧Hausdorff空间上的连续函数 257
11.1.1 认识局部紧Hausdorff空间 257
11.1.2 局部紧Hausdorff空间上的连续函数 259
11.2 局部紧Hausdorff空间上的测度与Riesz表现定理 260
11.2.1 正则测度 260
11.2.2 Radon测度 263
11.2.3 Riesz表现定理 263
11.3 用连续函数逼近可测函数 269
11.3.1 引理9.20的深化 269
11.3.2 Luzin定理 270
11.4 Radon乘积测度 271
11.4.1 Radon乘积测度的定义 271
11.4.2 关于Radon乘积测度积分的Fubini定理 276
第12章 弱收敛 281
12.1 度量空间上有限测度的基本性质 281
12.1.1 基本性质 281
12.1.2 单个有限测度的胎紧性 283
12.2 度量空间上有限测度的弱收敛 284
12.2.1 弱收敛的定义 284
12.2.2 Portemanteau定理 284
12.2.3 连续映射定理 286
12.3 R上有界L-S函数的弱收敛 288
12.3.1 L-S函数弱收敛的定义 288
12.3.2 Helly弱紧准则 288
12.3.3 Helly-Bray定理 290
12.4 与R相关的度量空间上概率测度的弱收敛 295
12.4.1 弱收敛的充分条件 295
12.4.2 B（Rd）上概率测度的弱收敛 297
12.4.3 B（R*）上概率测度的弱收敛 298
12.5 随机向量的依分布收敛 300
12.5.1 依分布收敛的定义 300
12.5.2 Slutzky定理 302
12.5.3 依分布收敛与依概率收敛的关系 303
12.6 左连续逆的收敛性和Skorohod表示定理 305
12.6.1 左连续逆的收敛性 305
12.6.2 Skorohod表示定理 306
12.7 相对紧、胎紧和Prokhorov定理 307
12.7.1 概率测度族的相对紧性 307
12.7.2 概率测度族的胎紧性 307
12.7.3 Prokhorov定理 308
参考文献 314
索引 315