第7章 向量代数与空间解析几何
平面解析几何在代数与几何之间架起了一座桥梁，使平面上的点p与有序数组(x，y)之间建立了一一对应关系，它用代数的方法研究几何问题.随着知识的深入，需要研究多元函数，以二元函数z=f(x，y)为例，它涉及三个变量，将平面解析几何类推到空间上去.因而可以建立空间曲面与三维有序数组(x，y，z)构成的三元方程之间的对应关系，本章首先建立空间直角坐标系，然后以向量为工具，讨论空间中的平面、直线、曲面和曲线的方程及其相关内容.
7.1 向量及其线性运算
一、空间直角坐标系
过空间某一定点O，作三条互相垂直的数轴，它们以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别称为x轴(横轴)，y轴(纵轴)，z轴(竖轴)，统称坐标轴.通常把x轴和y轴置于水平面上，z轴是铅垂线.它们的正方向符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从x轴正向以π2角转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向.这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，O点称为坐标原点(图7-1-1).
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面.x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另外两个坐标面分别为yOz面和zOx面.
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限.含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限，它位于xOy面的上方.在xOy面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向依次排列着是第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII表示(图7-1-2).
图7-1-1
图7-1-2
取定了空间直角坐标系后，就可以用坐标来确定点的位置了.
任给空间一点M，过M作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，垂足为P，Q，R，它们在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z(图7-1-3)，则点M确定了一个有序实数组(x，y，z).
反之，对任意给定的有序实数组(x，y，z)，依次在x轴，y轴，z轴上取与x，y，z相对应的点P，Q，R，然后过点P，Q，R作三个平面，分别垂直于x轴，y轴和z轴，则这三个平面交于一点M.
因此，有序实数组(x，y，z)与空间一点M之间一一对应.称这组数(x，y，z)为点M的坐标，x，y和z依次称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z).
显然，原点的坐标为O(0，0，0);x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别是(x，0，0)， (0，y，0)，(0，0，z).
图7-1-3
图7-1-4
设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)为空间任意两点，过M1，M2分别作平行于各坐标面的平面，组成一个长方体，它的棱与坐标轴平行(图7-1-4).由于
所以空间任意两点间的距离公式为
特别地，点M(x，y，z)到原点O(0，0，0)之间的距离为.
例1 求证以A(4，3，1)，B(3，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形△ABC是一个等边三角形.
证由空间两点间的距离公式得
由于|AB|=|AC|=|BC|，所以△ABC是一个等边三角形.
例2 设点P在x轴上，它到点P1(0，√2，3)的距离为到点P2(0，1，.1)的距离的两倍，求点P的坐标.
解 由题意，可设P点坐标为(x，0，0)，有
而
故
解方程，得
x=±1，
所求点的坐标为(1，0，0)和(-1，0，0).
二、向量的概念
在自然科学中存在一类既有大小，又有方向的量，如力、力矩、加速度等等，我们称这类量为向量(或矢量).常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度和方向分别表示向量的大小和方向.图7-1-5表示以A为起点，以B为终点的向量，记为.此外，有时也用一个黑体字母或字母上方加箭头来表示向量，如a，i，v，F或F等.
图7-1-5
本书中只研究与起点无关的向量，并称这些向量为自由向量(简称向量).如果两个向量的大小相等并且方向相同，我们就称这两向量相等.根据这个规定，一个向量和将它经过平行移动后所得的向量都是相等的.
向量的大小称为向量的模，向量的模依次记作.模等于1的向量称为单位向量.模等于零的向量称为零向量，记作0或→0.零向量的方向可以看作是任意的.
如果两个非零向量的方向相同或相反，就称这两个向量平行(或称共线).向量a与b平行，记作a//b.由于零向量的方向是任意的，因此，零向量与任何向量都平行.
三、向量的线性运算
1.向量的加减法
在物理学中，通过研究力的合成、速度的合成等，总结出了一般向量加法的平行四边形法则:已知两个向量a，b，任取一点A，作，以为边作平行四边形ABCD，其对角线，称为向量a与b的和.如图7-1-6，记为c=a+b.
由图7-1-6容易看出，如果平移向量b，使b的起点与a的终点重合，此时从a的起点到b的终点的向量就是a+b(图7-1-7)，这种求两个向量和的法则称为三角形法则.
图7-1-6
图7-1-7
向量的加法符合下列运算规律:
(1)交换律a+b=b+a;
(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).
事实上，按向量加法的三角形法则，由图7-1-6可得
满足交换律.
如图7-1-8所示，先作a+b加上c，即得(a+b)+c;如以a与b+c相加，则得同一结果，满足结合律.
由于向量的加法满足交换律和结合律，故n个向量相加可写成
由向量相加的三角形法则，可得n个向量的和，只要依次把后一向量的起点放在前一向量的终点上，从a1的起点向an的终点所引的向量就是 (图7-1-9(n=6)).
图7-1-8
图7-1-9
在实际问题中，还经常遇到大小相等而方向相反的向量，如作用力和反作用力等.称与a大小相等而方向相反的向量为a的负向量，记作-a.
有了负向量的概念，可以定义两个向量a与b的差为
即把向量.a加到向量b上，便得b与a的差(图7-1-10).特别地，当b=a时，有.
图7-1-10
任给向量(图7-1-11)，有
因此，若把向量a与b都移到同一起点O，则从a的终点A向b的终点B所引向量A →B便是向量b与a的差b-a.
图7-1-11
由三角形两边之和大于第三边的原理，有等号在b与a同向或反向时成立.
2.向量与数的乘法
在应用中常遇到向量与数量的乘法，例如将速度v的方向保持不变，大小增大到2倍，可以记为2v.由此，我们引入向量与数量相乘(简称数乘)，定义如下.
定义1 向量a与实数λ的乘积，记为λa，它是这样一个向量:当λ>0时与a同向;当λ<0时与a反向;而它的模是|λa|=|λ||a|.当λ=0时，λa是零向量，即λa=0.特别地，当λ=±1时，有
向量的数乘符合下列运算规律:
(1)结合律λ(μa)=(λμ)a=μ(λa);
(2)分配律(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb.
这是因为，按数乘的定义，向量λ(μa)，(λμ)a，μ(λa)都是平行的向量，它们的指向也是相同的，且结合律成立.分配律可同样按数乘的定义来证明，请读者自己证明.
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
设向量a是一个非零向量，a.是与a同向的单位向量.由数与向量乘积的定义可知，a与有相同的方向，并且的模为
即与有相同的模，所以
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