第1章 非合作-合作两型博弈的基本组成要素及主要理论
1.1 概述
近年来，博弈论（game theory，亦称对策论）在供应链管理、运营管理、行为金融、交通管理、旅游管理、网络安全、人工智能、绿色低碳等领域得到广泛关注与应用。博弈论主要研究局中人的决策行为及其发生直接交互作用的决策优化问题[1，2]。局中人也经常称为决策主体或决策者，可根据实际情景，用于表示企业、平台、公司、供应商、制造商、批发商、零售商、消费者、政府、回收商等。诺贝尔经济学奖得主谢林（Schelling）[3]和奥曼（Aumann）[4]认为，博弈论也是交互式决策理论（interactive decision theory）。博弈论作为一种建立在数学理论基础上的严谨、规范分析方法，自诞生之日始，一直沿着合作博弈（cooperative game）[5]、非合作博弈（noncooperative game）[6]两个方向发展。非合作博弈着重关注局中人的策略优化选择问题，即主要研究局中人如何选择*优策略以*大化其支付函数。在供应链的产品定价与库存成本分担等实际管理问题中，可能会具体化为利润、收益、成本、风险、费用等。为叙述简洁与方便，本书经常交叉使用利益、收益、支付值、利润、效用、效益等名称。合作博弈不再关注局中人的策略选择这些细节，主要从宏观上研究局中人如何形成联盟（为什么形成这样的联盟）以及如何合理分配因联盟所产生的联盟效用（或联盟收益、联盟利润）。同样地，为叙述方便，本书也经常交叉使用联盟利益、联盟特征值、联盟利润、联盟效用等名称。除非特别说明，本书所指的合作博弈都是可转移效用合作博弈。
区分合作博弈、非合作博弈的理论假设是：博弈之前能否达成具有约束力的协议（或承诺、合同）。若局中人之间能事先达成具有约束力的协议或做出具有约束力的承诺，则局中人之间进行的是合作博弈，否则局中人之间进行的是非合作博弈。利用非合作博弈研究供应商与销售商策略优化选择的典型例子之一是麦当劳（McDonald’s）与其下游销售商的垂直合作广告问题。由于麦当劳对其特许经营权拥有绝对控制权，它可以作为供应链的领导者，而其下游销售商只能作为跟随者，从而它们进行序贯非合作博弈，即斯塔克尔伯格（Stackelberg）博弈或称为主从博弈。另一个典型例子是利用合作博弈研究制造商与销售商的协调问题。在沃尔玛（Walmart）发展初期，宝洁公司（Procter & Gamble）作为供应链的领导者，完全决定沃尔玛能够销售的产品数量、价格及协商的各种条款。它们之间没有任何的信息共享、联合计划和系统协调。当沃尔玛发展到三倍利润于宝洁公司的时候，沃尔玛的强大势头却为它与宝洁公司创造了一种完全协作的伙伴关系，为它们双方增加了利润。通过这种合作，沃尔玛与宝洁公司均能降低成本、增加收益，实现从原来的“一赢一损”（win-lose）到“双赢”（win-win）的转变，达到供应链的帕累托（Pareto）*优[7，8]。还有很多独立运用非合作博弈、合作博弈分别研究供应链上下游企业的竞争或合作行为的成功例子，后续会适当介绍，这里不再赘述。
为了承上启下与自成体系，下面先简单叙述非合作博弈、合作博弈的相关概念及基础理论。
1.2 非合作博弈的基本组成要素及主要理论
非合作博弈的三个基本组成要素是：局中人、策略、支付值。它们是构建非合作博弈模型必须事先明确、知道的，也是运用非合作博弈方法分析问题的前提条件。
1.2.1 非合作博弈的基本组成要素与分类
1.非合作博弈的三个基本组成要素
非合作博弈包含三个基本组成要素—局中人、策略、支付值，具体含义如下。
（1）局中人：参与博弈的具有独立决策权的主体（或人），根据供应链管理的实际情景，可以指代供应商、零售商、消费者、政府、平台企业、公司、回收商、个体、制造商等。
（2）策略：各个局中人的行动、应对方案或措施等，根据供应链管理的实际情景，可以是批发价格、零售价格、投资水平等连续型策略，也可以是制造商是否引进新技术、零售商是否开展广告宣传等离散（有限）型策略。
（3）支付值：各竞争局势（即局中人策略组合）下各个局中人的损益值，根据供应链管理的实际情景，可以指代利润、收益、成本、风险、费用、效用、利益、时间等。
2.非合作博弈的分类
根据非合作博弈的三个基本组成要素，非合作博弈可以进一步分为很多类型。
（1）按照局中人的数量，可以分为：一人非合作博弈（严格意义上，这种情况不是博弈问题，而是数学规划问题或单个决策者/局中人的决策优化问题）、二人非合作博弈、多人非合作博弈（包含三个及三个以上局中人）。在通常的实际情景中，非合作博弈至少包括两个局中人。因此，在不引起混淆的情况下，除非特别说明，本书把二人非合作博弈、多人非合作博弈统称为非合作博弈。
（2）按照局中人的策略连续与否，可以分为：离散型非合作博弈（所有局中人的策略都是离散的）、连续型非合作博弈（所有局中人的策略都是连续的）、混合型非合作博弈（至少两个局中人的策略分别是离散的、连续的）。众所周知的战国时期的“田忌赛马”就是一个典型的离散型二人非合作博弈例子[9]。
（3）按照局中人的支付值情况，可以进一步分为多种类型的非合作博弈。
按照所有局中人的支付值之和是否等于0，可以分为零和非合作博弈（通常简称为零和博弈）、非零和非合作博弈（通常简称为非合作博弈）两种类型。非合作博弈又可以进一步细分为常和非合作博弈、非常和非合作博弈（即通常的非合作博弈）。常和非合作博弈可以通过简单的数学变换成为零和非合作博弈。因此，在不引起混淆的情况下，除非特别说明，本书所说的非合作博弈都是指非常和非合作博弈，所说的零和博弈都是指零和非合作博弈。
按照局中人是否具有多个目标值（即多个物理量纲不同且相互冲突的支付值），如供应链中的产品交货时间、利润、服务水平、产品质量等，可以分为单目标非合作博弈（通常简称为非合作博弈）、多目标非合作博弈[10]。
按照局中人的策略或支付值是否与时间变化有关，可以分为静态非合作博弈、动态非合作博弈（即时间不连续的动态非合作博弈）、非合作微分博弈（即时间连续的动态非合作博弈）[11]。除非特别说明，本书所指的非合作博弈均为静态非合作博弈，即不随时间变化的非合作博弈或者看作某一特定时刻的非合作博弈。
按照局中人的策略或支付值是否涉及模糊性（包括区间模糊集即区间值）、随机性，可以分为模糊非合作博弈[9，12，13]、直觉模糊非合作博弈[2，14，15]、区间值非合作博弈[16，17]、随机非合作博弈等。
1.2.2 非合作博弈纳什均衡解
按照局中人采取策略（即行动、措施）的先后顺序或决策时间，非合作博弈可以进一步划分为三种主要类型：①序贯非合作博弈，通常简称为序贯博弈；②主从非合作博弈，通常简称为主从博弈，即斯塔克尔伯格博弈；③同时非合作博弈，通常简称为纳什（Nash）博弈。除非特别说明，本书所指的非合作博弈均为纳什博弈。为了后续内容的需要，下面着重介绍非合作博弈的规范表示及纳什均衡解概念。
1.连续型非合作博弈纳什均衡解
设有个局中人参与博弈，其中表示局中人的指标集，有时简称为局中人集合或局中人集。局中人或第个局中人的策略空间记为。这里的策略空间不妨假设为实数空间中的有界闭子空间，即。当每个局中人选取任意策略时，形成竞争局势（或策略组合）。竞争局势z是所有个策略空间的笛卡儿（Cartesian）乘积空间中的一点，即。局中人在竞争局势z中获得的支付值（或函数）为()。除非特别说明，假设每个局中人都希望*大化自己的支付值（或函数）。将这样的连续型多人非合作博弈记为，常简称为连续型非合作博弈。这里假定：不管是在博弈之前还是在博弈过程中，都不允许任何局中人有任何方式的联系或达成任何合作协议。因此，局中人进行的博弈是非合作博弈。
对局中人的任意策略，引入记号：
【定义1.1】设有竞争局势。若对任意局中人的任意策略，都有
则称为连续型非合作博弈的纳什均衡解（或均衡点），相应的与分别是局中人的纳什均衡策略和纳什均衡支付值（或*优支付值）。
纳什均衡点的概念是纳什教授[6]*先针对离散型（即策略型）非合作博弈提出来的，是非合作博弈中的标志性概念，广泛运用于分析供应链中制造商、零售商、消费者等之间的竞争行为。
【例1.1】考虑霍特林（Hotelling）[18]关于消费者购买产品的线性空间差异问题。把一个城市抽象为长条形（线性形状），长度为一个单位，位于横坐标上。消费者在这一个单位区间上均匀分布，分布密度为1。有两家商场（销售企业）坐落在城市的两端，它们销售完全相同的产品（商品）。商场1坐落在处，商场2坐落在处，如图1.1所示。每家商场销售产品的单位成本为常数。消费者需要承担交通费用，每单位距离的交通成本为常数。消费者对产品的需求量为一个单位，而且只有当两家商场的*小总价格（产品销售价格与交通费用之和）不超过一定额度时，消费者才购买一个单位的产品。试求解两家商场的产品销售价格。
假设商场的产品销售价格为。如果产品销售价格不是太高，则按照上面问题的叙述与假设，可以看到，消费者对商场1的产品需求量等于从商场1购买更加便宜产品的消费者的数量，即可以得到
其中，由图1.1可以看出，满足：
容易求解得到
于是，商场1的产品需求量可以表示为
由于消费者具有单位需求，商场2的产品需求量为
即
易于看出，商场的产品需求量与自己商场的产品销售价格成反比、与竞争商场的产品销售价格成正比，符合一般经济学要求。
按照需求、价格与利润的关系，可以得到商场1与商场2的利润函数、分别为
利用定义1.1，对利润函数、分别关于产品销售价格、求一阶偏导数并令其等于0，可得
即
简单合并整理后，可得
求解上述方程组，容易得到
从而可得，是这两家商场价格竞争的纳什均衡解，和分别是商场1、商场2的纳什均衡价格，它们获得的纳什均衡利润都是
上述纳什均衡解及商场纳什均衡利润表示，两家商场的纳什均衡价格与利润都是相同的，因为两家商场是完全对称的。
一般地，可以利用角谷（Kakutani）不动点定理，证明连续型非合作博弈的纳什均衡解的存在性[5，6]。
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