第1章 质点运动学
自然界是由物质组成的，一切物质都在不停地运动着.在自然界中，有许多的运动形式，如机械运动、电磁运动、热运动、原子核运动、化学变化、生物运动等，而所有的这些运动形式既是相互区别又是相互联系的.其中，机械运动是物体*简单、*基本的运动形式，是物理学和许多工程技术学科的基础，力学是研究物体的机械运动规律的一门学科.所谓机械运动是指一个物体或物体系相对于另一物体或物体系的位置随时间的变化，或者是物体或物体系内部各部分之间的相对位置随时间的变化.在力学中研究物体位置随时间变化的这部分内容称为运动学.本章主要内容为位移、速度、加速度等基本概念以及平面运动、圆周运动和相对运动等基本运动形式的描述.
1.1 质点位置矢量运动方程
1.1.1 运动描述的相对性、参考系和坐标系
自然界中所有物体都在不停地运动着，绝对静止不动的物体是不存在的.例如，放在桌面上的书相对于桌子是静止的，但它却随地球一起绕太阳运动 一切物体都处于不断运动之中，这就是运动的绝对性.描述物体的运动总是相对于其他物体而言的，如观察宇宙飞船的运动，是以地面上某一物体(如测控点）为标准，把它看成是运动的；同样，观察河水的流动，也是以我们认为不动的物体(如岸边的树)为标准来判别的.所以在观察物体的位置以及位置变化时，总是要选择其他的物体作为标准.选取的标准不同，对物体运动的描述也不同.又如，坐在稳定运动中的一火车上的乘客，相对于火车是静止不动的，而相对于地面上一物体，则位置是不断变化的.所以相对于不同的标准物，物体运动情况的描述是不同的，这就是运动描述的相对性.
为描述物体的运动而选的标准物（物体系）称为参考系，物体运动的描述与参考系有关，所以，在讲述物体的运动情况时，必须指明是相对于什么参考系的.参考系的选择是任意的，依问题的特点和研究方便而定.在地面上讨论物体的运动时，常常选地球为参考系;研究太阳系中星球的运动时，选太阳为参考系.
在选择了参考系以后，为了定量地描述物体的位置随时间的变化，必须在参考系上选用一个坐标系.常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等，选用坐标系的原则，应使我们对物体位置的描述简洁、清楚.
1.1.2 质点
一般情况下，物体在运动时，它的各部分的位置变化是不同的，而且物体的大小和形状在物体运动过程中还有可能是变化的，如在平直铁轨上行驶的火车，就整个火车来讲，它沿铁轨平动，确定质点位置的方法就其车轮来说，除了平动之外，还有绕轮轴的转动;在统计物理学中，双原子或多原子分子，除了平动之外，还有转动，以及在平衡位置附近的振动.所以，一般情况下，物体运动的情况是相当复杂的.
一般说来，物体上各点运动状态的差异在我们所研究的问题中只占很次要的地位，我们就可以忽略物体的大小、形状及内部结构，把它看成一个只有质量的几何点，称为质点.例如，在研究地球绕太阳公转的问题时，地球的平均半径虽然达到6370km，但这样的线度比起地球到太阳的平均距离(1.5×108km)来讲仍然是很小的，地球上各点的运动状态的差别完全可以忽略，因而在研究地球绕太阳的公转时，可以将地球看成只有质量没有大小和形状的几何点，即质点.若要研究原子的内部结构，虽然原子的大小数量级只有，但却不能看成质点.必须指出的是，一个物体能否看成质点，主要取决于研究问题的性质，质点是经过科学抽象形成的理想模型，把物体看成质点是有条件的、相对的，而不是无条件的、绝对的，对具体情况要具体分析.同时，把物体视为质点的这种抽象的研究方法，在实践和理论上都有重要的意义.例如，我们以后将要介绍的刚体、线性弹簧振子、理想气体、点电荷等都是理想模型，在科学研究中，根据所研究问题的性质，突出主要因素，忽略次要因素，建立理想模型，是一种经常采用的科学思维方法，这样做可以使问题大为简化但又不失其客观真实性.同时，还要注意这种理想模型的适用条件，它的适用与否，只能通过实践来检验.
1.1.3 位置矢量
在选定参考系以后，为了定量地描述质点的位置和位置随时间的变化，必须在参考系上建立一个坐标系，如图1-1所示是三维直角坐标系，其中是三个坐标轴正方向的单位矢量.在任意时刻t，质点运动到P点，可用由原点O指向P点的有向线段#来表示质点的位置，这个有向线段称为位置矢量，简称位矢，用r表示，即在三维直角坐标系中，位矢可写成
(1-1)
位矢r的大小用位矢的模|r|表示，它表示质点在P位置时到原点的距离位矢r的方向，可以由r和三个坐标轴正向的夹角a、β、y来表示，
可以看出
(1-2)
1.1.4 自然坐标系
在有些情况下，质点相对参考系的运动轨迹是已知的，如以地面为参考系，火车的运动轨迹(铁路轨道)是已知的.在这种情况下，采用直角坐标系反而不方便解决问题，采用自然坐标则更为方便，其确定方法如下:如图1-2所示，首先在已知的运动轨迹上任取一固定点0，作为坐标原点，然后规定从O点起，沿轨迹的某一方向(如向右)量得曲线的长度s，s取正值，这个方向称为自然坐标的正方向;反之为负方向，5取负值.这样质点在轨迹上的位置P就可以用s**地确定，这种确定质点位置的方法称为自然法.其中O点是自然坐标系原点，5是自然坐标^的大小和正负就代表了质点到原点之间沿轨迹的距离和相对于原点的方向.
图1-2 自然坐标系
1.1.5 运动方程
质点相对于参考系运动时，质点位置的直角坐标(U、z)，位矢，自然坐标s都随时间t变化，是t的单值连续函数.这个函数称为质点的运动方程.
用直角坐标表示的质点的运动方程为
(1-3)
用位矢表示的质点的运动方程为
(1-4)
用自然坐标表示的质点运动方程为
(1-5)
知道了质点的运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置，因而也就知道了质点运动的轨迹，得到轨迹方程.轨迹为直线的，称质点做直线运动;轨迹为曲线的，称质点做曲线运动.同时，利用质点的运动方程，还可以确定质点在任意时刻的速度、加速度等.所以根据具体条件确定质点的运动方程，是研究质点运动的一个重要内容.
例1-1 如图1-3所示，直杆AB两端可以分别在固定而相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆的倾角随时间变化，其中是常量，试求杆上任意点M的运动学方程和轨迹方程.
解 沿直线导槽作直角坐标系，如图1-3所示，设，M点的直角坐标为，由图可以看出
图1-3 直杆的运动
即是M点的直角坐标表示的运动方程.
用位矢表示的运动方程是
为了求M点的轨迹方程，在直角坐标系下的运动方程中消去时间，可得
即M点的轨迹是长半轴为a，短半轴为b，中心为坐标原点的椭圆.常用椭圆规就是按照上述原理制成的.
复习思考题
1-1 如果有人问地球和一粒小米比较，哪个可以看成质点，你将怎样回答？
1-2 什么是质点运动学方程？你学过几种形式的运动学方程？
1-3 宇宙飞船的轨迹是椭圆，这是以什么为参考系的？若以太阳为参考系，宇宙飞船的运行轨道大体是什么样子？
1.2 位移速度加速度
1.2.1 位移 速度、加速度
设质点沿轨迹LM做一般曲线运动，如图1-4所示，在参考系上建立三维直角坐标系Oxyz，质点t时刻运动到P点，P点的位矢为r⑴，在汗时刻运动到Q点，Q点的位矢为.显然，在hX时间内，质点的位置矢量的大小和方向都发生了变化，其位置的变化可用由P点指向Q点的有向线段来表示，用Ar代替即，Ar的大小就是P到Q之间的直线距离，方向由起点P指向终点Q，矢量Ar称为质点在内的位移矢量，简称位矢.
由图可知
(1-6)
即质点在某一段时间内的位移，等于在同一段时间内位矢的增量.
图1-4 质点的位移
在三维直角坐标系下，设P点坐标，Q点坐标为，则位移矢量Ar可以写成
上式说明质点在某一段时间内的位移等于在同一段时间内质点在工轴、y轴4轴上投影点的位移的矢量和.其中
位移和位矢不同，位矢描述的是质点在某一时刻的位置，是由坐标原点指向质点位置的有向线段，与时刻相联系，依赖于坐标系的选择，而位移描述的是质点在某一段时间内位置的变化，是由初位置指向末位置的有向线段，与时间相联系，不依赖于坐标系的选择.
位移和路程也不同，位移反映的是一段时间始末位置的变化，不涉及质点位置变化过程的细节，如图1-4中，位移Ar的大小虽然等于P致的直线距离，但并不意味着质点是从P沿g线PQ移动到Q.而在时间内，质点沿曲线&移动到Q点所经历的路径的长度，即曲线&的长度，称为质点在该段时间内的路程，是一个标量.一般情况下，某段时间内质点位移的大小不等于这段时间内质点所经历的路程，只有质点沿不变的方向做直线运动时，位移的大小才等于路程.
1.2位移速度加速度
位移的大小和位矢大小的增量一般也是不同的，设在时间匕内位矢大小的增量为Ar，则
(1-7)
在图1-4中，以O点为圆心，以K0的大小为半径作圆弧，它与位矢相交于严点，则PQ的长度就是Ar，而位移的大小等于直线PQ的距离，即.特别地，当质点以半径为做圆周运动时，若圆心在坐标原点，则在半个周期内，位移的大小，而位矢大小的增量.
1.2.2 速度
1.平均速度
质点沿轨迹按运动学方程KO做一般曲线运动：在时间内通过的位移为Ar，如图1-5所示，则质点的位移Ar与相应的时间之比称为这一段时间内质点的平均速度，用6表示，即
平均速度是矢量，其方向和位移的方向相同，它表示质点在时间Af内KO随时间的平均变化率，即粗略地描述了质点在这段时间内位置随时间的变化.
我们把路程A5与通过该路程所用的时间的比值称为该质点在该段时间内的平均速率，用6表示，即
平均速率是标量，其大小等于质点在单位时间内平均通过的路程.
值得注意的是，由于一般情况下所以质点的平均速度的大小也不等于平均速率，即，如质点做一个周期为了的圆周运动，在一周内平均速度为零，而平均速率.
2.瞬时速度
为了精确地描述质点运动的快慢和方向，可以将时间间隔无限减小，并使之趋近于零，即时，平均速度会趋向于一个确定的极限矢量，如图1-5所示，这个极限矢量称为t时刻的瞬时速度，简称速度，用表示，即
(1-8)
即速度也等于位置矢量对时间的一阶导数，它描述的是质点的位矢在t时刻的变化率.只要知道了用位矢表示的质点运动方程，就可以通过微分求出质点的运动速度.
速度是矢量，其大小反映了t时刻质点运动的快慢，其方向就是t时刻质点的运动方向.
由图1-5可以看出时刻质点的速度的方向，就是当时平均速度的极限方向，即此时Q点无限地向P点靠近，速度v将变得和P点处的切线重合并指向运动一方.故t时刻质点速度的方向，沿着该时刻质点所在位置P点轨迹的切线，并指向质点运动的一方.例如，转动雨伞，水滴将沿切线方向离开雨伞等.
图1-5 质点运动的速度
在直角坐标系中，速度可表示为
(1-9)
式中为速度在三个坐标轴上的投影，速度的大小可表示为
其方向由速度与坐标轴的三个方向余弦来确定.
式中，分别为与三个坐标轴正向的夹角，且满足关系式
速度的大小常称为速率，是标量，取正值，一般情况下.例如，当质点做圆周运动时，而速率.
1.2.3 加速度
1.速度增量
质点运动时，它的速度的大小和方向都可以是随时间变化的，如图1-6(a)所示，该质点沿轨迹LM运动，时刻t时质点位于P点，速度为，在时刻，质点位于Q点，
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