第1章函数、极限与连续性
　　1.1教学基本要求
　　1.理解函数的概念以及函数的基本性质(奇偶性、周期性、单调性和有界性)，掌握函数的表示方法.
　　2.理解复合函数及反函数的概念，了解隐函数的概念.
　　3.掌握基本初等函数的性质及图形特征.
　　4.能够建立简单应用问题中的函数关系.
　　5.理解极限的概念、性质，掌握极限的四则运算法则和复合运算法则.
　　6.掌握极限的两个存在准则，会利用其判断极限的存在性，同时要掌握两个重要极限，并能够利用它们求极限.
　　7.理解无穷小和无穷大的概念、性质和相互关系，理解无穷小比阶的概念，会利用等价无穷小求极限.
　　8.理解函数连续性和间断点的概念，能够判断间断点的类型.
　　9.了解闭区间上连续函数的性质(有界性、*大值和*小值的存在性及介值性质)，并会应用这些性质处理相关问题.
　　1.2内容复习与整理
　　1.2.1基本概念
　　1.变量与常量在一个特定变化过程中保持不变数值的量称为常量，在该过程中可以取不同数值的量则称为变量.
　　2.区间与邻域介于两个实数a与b(a　　闭区间，开区间，
　　半开区间
　　此外，还有四类无限区间
　　以实数a为中心，正数.为半径的邻域就是开区间，简称a的.邻域，记为;而(a，则称为以，点a为中心，正数.为半径的去心邻域，简称a的去心.邻域，记为一般地，含有点a的开区间I都可以称为点a的邻域.
　　3.函数给定一个非空集合，如果有一个对应法则f使得对任意一个点，通过法则f都能够找到唯一确定的实数y与之对应，则称f是定义在D上的一个(实)yf().也可以称变量y的函数，称为自变量，称为因变量，函数，记为是变量称为该函数的定义域.则称为该函数的值域.定义域和对应法则是函数的两个要素，缺一不可.函数的表示法主要有:解析法(公式法)、图形法和表格法.分段函数在定义域的不同部分对应法则不完全一致的函数称为分段函数.我们经常借助于分段函数来解释一些概念之间的关系.函数的图形给定函数，平面点集称为该函数的图形.它是函数的直观体现.
　　4.反函数对于函数.设其值域为，如果对每个，只有唯一一个使得，则这种对应关系确定了一个函数，称为函数的反函数.函数与函数的定义域与值域互换，且抽象函数的反函数常常记为
　　复合函数设y是u的函数;同时u又是x的函数如果函数u ()的值域R.与函数yf()的定义域有交集，即，则这两个函数可以复合成一个新的函数，称为与的复合函数，其定义域是使得成的集合.
　　5.基本初等函数幂函数，指数函数对数函数，三角函数，反三角函数，统称为基本初以及常值函数等函数.高等数学中昀常用的指数函数是，昀常用的对数函数是.初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的能够用一个数学式子表示的函数称为初等函数.
　　6.极限概念极限描述的是函数在自变量的某一个变化过程中函数值的一种变化趋势.为了准确地描述它，引入两个参数，一个参数.用于描述函数值与特定常数(即极限值)之间的接近程度，另一个参数N(或者X，.等)用于描述自变量变化过程进行到某种程度.借用逻辑符号，极限主要有如下七种形式的定义:
　　(左极限，此时记)
　　对应的变化过程的解释:
　　自然数n无限增大的过程.
　　数轴上点x离开原点O越来越远，且趋于无穷远的过程，即数
　　无限增大的过程数轴上点x在正半轴方向离开原点O越来越远，且趋于无穷远的过程，即数x取正值且
　　无限增大的过程.x :数轴上点x在负半轴方向离开原点O越来越远，且趋于无穷远的过程，即数x取负值且
　　无限增大的过程.
　　数轴上点x与点x0无限接近的过程，即数
　　无限趋于0的过程(注意:在此过程中，x.x).
　　数轴上点x从右侧(即保持x.x的这一侧)无限接近点x0的过程，即数取正值0且无限趋于0的过程(注意:在此过程0中).数轴上点x从左侧(即保持x.x的这一侧)无限接近点x0的过程，即数取负值0且无限趋于0的过程(注意:在此过程0中，x.x).
　　7.无穷小在自变量的一个变化过程中，以0为极限量称为该变化过程中的一个无穷小.
　　无穷大在自变量的一个变化过程中，若函数的绝对值会无限增大，即对任意给定的正数M，都存在一个时刻T，在时刻T之后，函数的绝对值都大于M，则称该函数为这一变化过程中的无穷大.
　　(这里及后面所说的“时刻”请参考1.3.1节.)
　　无穷小的比阶设在自变量的同一变化过程中.是两个无穷小，即
　　(1)若，则称.为比.高阶的无穷小，记为.也称.为比.低阶的无穷小;
　　(2)若(非零常数)，则称.为与.同阶的无穷小.特别地，当时，称为与等价的无穷小，记为无穷小的等价关系满足反身性、对称性和传递性.
　　(3)若(非零常数)，k>0为常数，则称.为.的k阶无穷小.
　　8.连续性的相关概念
　　(1)增量若自变量x从x0变到x1，则改变量x1-x0称为自变量x的增量，记为，因此也有的改变量;相应的函数.称为函数的增量，记为.需要注意的是，这里的“增”未必是增加，准确地说是“改变”
　　(2)函数在点x0处连续如果函数在点的某个邻域内有定义，函数，则称函数在点0处连续.
　　连续性的等价描述如果函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，且则称函数y=f(x)在点x0处连续.
　　函数y=f(x)在点x0处左连续如果函数y=f(x)在点x0的某个左半邻域内有定义，且，或在点，则称函数处左连续.
　　函数y=f(x)在点x0处右连续如果函数y=f(x)在点x0的某个右半邻域内有定义，则称函数且或在点x0处右连续.
　　(3)连续函数若函数在区间的每一点处都连续，则称函数在区间上连续，也称函数上的连续函数，记为.
　　若函数y=f(x)在区间[a，b]若函数为区间，上的连续函数，且在点a处右连续，在点b处左连续，则称函数y=f(x)为闭区间上的连续函数，记为
　　类似地可定义半开区间[a，b]和[a，b]上的连续函数.
　　一个在整个定义域上处处连续的函数简称为连续函数.
　　(4)间断点如果函数y=f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，但在点x0处不连续，则称点x0为函数y=f(x)的间断点.
　　**类间断点函数y=f(x)的左右极限f(x0-)与f(x0+)均存在的间断点x0称为第时，该间一类间断点.当时，该间断点称为可去间断点;当断点称为跳跃间断点.对于可去间断点，若定义
　　则F(x)在x0处连续.
　　第二类间断点不是**类间断点的间断点都称为第二类间断点，其中若f(x0-)与f(x0+)有为无穷大的，也称为无穷间断点.若在的过程中，f(x)出现振荡不收敛(即无极限)的情形，也称x0为振荡间断点.
　　9.*大值与*小值设函数f(x)在D上有定义.如果存在点使得对任一都有成立，则称在D上的*大值;如果存在点为函数使得对任一都有成立，则称在D上的*小值.
　　1.2.2基本理论与方法
　　1.函数的几种特性
　　周期性对于函数.如果存在非零常数T使得只要，就有，并且
　　则称函数y=f(x)为周期函数，并称T为其一个周期.
　　奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称.若对任一，都有
　　则称函数y=f(x)为D上的奇函数(偶函数).
　　单调性设函数y=f(x)在D上有定义.若对于任意两点x，xD，恒有
　　则称函数y=f(x)在D上单调递增(单调递减).在整个定义域上单调递增(单调递减)的函数称为单调递增函数(单调递减函数)，统称为单调函数.
　　满足
　　的函数y=f(x)称为D上的不减函数(不增函数).
　　有界性设函数y=f(x)在D上有定义.若存在常数A(B)使得
　　则称函数)在D(有下界B).既有上界又有下界的函数称为有界函数.
　　命题函数)在D上有界存在正数M使得
　　2.极限的基本性质(这里“时刻”一词参考后面的1.3.1节)
　　(1)唯一性若极限存在，则极限值必定是唯一的.
　　(2)局部保号性
　　(Ⅰ)若，在时刻T之后，恒有，则存在某个时刻
　　(Ⅱ)若存在某个时刻T，在时刻T之后，恒有成立，且，则
　　(3)局部保序性设在自变量x的同一变化过程中，，则
　　(Ⅰ)若a　　(Ⅱ)若存在某个时刻T，在时刻T之后，恒有，则(一般不能保证a　　(4)局部有界性若极限存在，则存在时刻T，在时刻T之后，恒有
　　(5*)柯西(Cauchy)归并原理.当且仅当对任一相协数列xn，都有.(相协数列的概念具体见后面的1.3.1节的性质5.)
　　3.左右极限与一般极限的关系
　　(1)当且仅当000
　　(2)当且仅当.
　　4.无穷小与函数极限的关系
　　当且仅当存在一个该变化过程中的无穷小使得.
　　5.极限的运算性质
　　(1)四则运算性质若在自变量x的同一变化过程中，极限与都存在，则
　　粗略地说，极限运算与四则运算可以交换.
　　(2)复合运算法则(即极限计算的变量替换法)
　　若，则(可两个方向使用)
　　【注】这里的a，b，M可以是常数，也可以是
　　(3)幂指函数求极限
　　(Ⅰ)设，且A有意义，则
　　(Ⅱ)设f(x)>0，则
　　6.极限存在的两个准则与两个重要极限
　　(1)单调有界准则在一个无限变化的过程中，单调有界的变量必有极限
　　(2)夹逼准则若在某个时刻T之后，恒有(夹)，且(逼)，则必有
　　(3)两个重要极限
　　7.无穷小的等价替换定理设在自变量的某一变化过程中，是两个等价的无穷小，是任一函数，则
　　以上两个等式作如下理解:若极限存在，则两边极限相等;若有一边的极限不存在，则另一边的极限也不存在.
　　常用的等价无穷小有:若.是一个不为零的无穷小，则

目录
前言
第1章函数、极限与连续性1
1.1教学基本要求1
1.2内容复习与整理1
1.3扩展与提高7
1.4释疑解惑18
1.5典型错误辨析24
1.6例题选讲28
1.7配套教材小节习题参考解答42
总习题一参考解答46
第2章一元函数微分学53
2.1教学基本要求53
2.2内容复习与整理53
2.3扩展与提高60
2.4释疑解惑66
2.5典型错误辨析75
2.6例题选讲78
2.7配套教材小节习题参考解答108
总习题二参考解答115
第3章一元函数积分学125
3.1教学基本要求125
3.2内容复习与整理125
3.3扩展与提高139
3.4释疑解惑143
3.5典型错误辨析147
3.6例题选讲152
3.7配套教材小节习题参考解答178
总习题三参考解答190
第4章微分方程204
4.1教学基本要求204
4.2内容复习与整理204
4.3扩展与提高212
4.4释疑解惑217
4.5典型错误辨析221
4.6例题选讲224
4.7配套教材小节习题参考解答248
总习题四参考解答250