王金战

著名教育专家，全国优秀教师，博士，北京宽高教育集团总校长，中国人口文化促进会家庭教育分会会长。

他从教40余年，先后在青岛二中、人大附中中国科学院大学工作，积累了丰富的教学管理经验。他创办或管理的国科大( 青岛 )附属学校保定一中等20多所学校，以其独特的办学优势和突出的教学质量，赢得了社会的广泛赞誉。

余中华

江苏省南通市学科带头人，江苏省南通市初中数学学科专家组成员，2020年江苏省教科研先进个人。

他在江苏省海安市墩头镇仇湖初级中学执教20余年，曾参与江苏省南通市中考数学命题，主持完成南通市教育科学“十二五”“十三五“十四五”规划课题4项。

走近数学，你会觉得生活中处处都有她的身影：你会发现许多令人惊喜的 东西；你还会感到自己变得越来越聪明，越来越有本领，许多以前不会解决的 问题、不会做的事情，现在都能做得很好 …… 有人说过，数学是科学的皇后， 数学又是科学的女仆。数学以抽象的形式，追求高度精确，成为人类精密思维 的一种典范，并日益渗透到其他知识领域，数学越来越成为一种普遍的科学语 言和工具，越来越成为生产发展以及影响人类物质生活方式的杠杆。数学以其 不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性，成为历次人类思想革命的有 力武器。正因为数学有这样一些有别于其他学科的突出特征，才使得她在中学

课程中占据独特而重要的地位。

一次我将要上课，忽然发现班上尹杰还没到，正待询问时，忽听教室门口 传来尹杰的声音：“报告。” 同学们定睛一看，却纷纷笑起来。原来，他左手上 套着一只黑手套，右手上却套着一只白手套，古怪得很，这是怎么回事呢？尹 杰向大家解释道：“我本来有一双黑手套、一双白手套，是轮流着戴的。可是今 天早上起床后一看，居然少了两只手套！要是少的正好是两只颜色一样的也就 罢了，更倒霉的是，偏偏少的是一只黑手套和一只白手套。我找了半天，也没 找到，所以就匆匆忙忙戴着不成对的手套来上课了。”他停了停，长长地叹了一 口气，说：“总之，今天是我倒霉的一天呀！”我一听到他给自己下的这个判 断，突然有了个想法，于是哈哈大笑起来，说：“俗话说‘屋漏偏逢连夜雨，破 船又遇顶头风’， 这种感觉是人们常有的，其实这种感觉从数学的角度来说，也

是很对的。利用数学，我们完全可以证明：‘祸不单行’！”

我转过身来，一边在黑板上写下“黑 1 、黑 2 、白 1 、白 2”， 一边说：“我 们把尹杰的四只手套分别起一个代号，便于分析。如果从这四只手套里随便取

两只组成一双的话，那么有这些选择 ……”说着，我继续写：黑 1 黑 2；黑 1

白 1；黑 1 白 2；黑 2 白 1；黑 2 白 2 ，白 1 白 2。“瞧，一共有几种可能？” 同 学们异口同声地说：“6 种。”“其中正好是同色，可以成双的有几种？”“只有 黑 1 黑 2 、白 1 白 2 两种。”“对，那不成双（不成双指不考虑左右手，只考虑颜 色）的又有多少种呢？”“4 种！”“是的，这就说明，尹杰丢失手套，正好是 同色不影响剩下的手套搭配的可能性只有 ，而剩下的手套不好搭配的可能性是  。换句话说，尹杰丢了两只手套，已经很倒霉了，可是他正好丢了不同色的手 套的概率，是发生丢失同色手套的概率的 2 倍。而且，如果数字更大一些，比 如说尹杰有 5 双手套的话，那么这种‘更倒霉可能性 ’就将是 8 倍！”“啊！” 同学们这回不仅是异口同声，更是一声惊叹。没想到，生活中“祸不单行” 的

感觉居然是有数学道理的。

总序／  1

自序／  3

第一篇 魅力篇

第1章  亲近数学，走进数学新天地——品味数学趣味美

第1节  从玩足球谈起   005

第2节  《几何原本》   009

第3节  神奇的黄金分割   013

第4节  你会猜物价吗   017

第5节  一个有趣的棋子游戏   019

第2章  横看成岭侧成峰，远近高低各不同——殊途同归，看问题求解的和谐美

第1节  一题多解，看解题思路的探求与改进   023

第2节  好问题同蘑菇相似，大都成堆地生长   028

第3节  一题多变，看解题成果的扩大   032

第3章  遥知不是雪，为有暗香来——体会数学的对称美

第1节  感受古都北京的轴对称之美   039

第2节  他怎样打出这一球   043

第3节  太极图——中心对称图形的代表   044

第4节  以美启真——感受解题之美   047

第4章  蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处——感受数学问题解后的反思之美

第1节  反思“曹冲称象”，看解题过程的优化   054

第2节  品味京剧《华容道》，看活动方案的优化   058

第3节  “打开黑房间的电灯”，看清房间的结构并反思当初的摸索   061

第二篇   方法篇

第5章  变被动为主动，终身都受用——自主学习能力的培养

第1节  思维从疑问和惊奇开始   071

第2节  美丽的陷阱   076

第6章  解题前我们需要明白的事——学会审题

第1节  我们该怎么去审题   080

第2节  审题我们应该审些什么   084

第7章  工欲善其事，必先利其器——关注解题策略

第1节  模式识别   091

第2节  数形结合   096

第3节  进退互化   101

第8章  小题不能大做——客观题型求解攻略

第1节  选择题解题策略   110 

第2节  填空题解题策略   120

第三篇   实战篇

第9章   数与式

第1节 “一线串珠”话数轴   133

第2节   “宇宙之大，粒子之微”尽显科学记数法的魅力   135

第3节   完全平方公式的“五般变化”   136

第4节   分式运算的几个小技巧   138

第10章  方程与不等式

第1节   灵活选用合适的方法解方程（组）   140

第2节   分式方程增根也有用   143

第3节   用好 Δ 轻松求解待定系数   145

第4节   不等式（组）中待定系数的确定策略   148

第11章   变量与函数

第1节   一次函数与“三个一次”的美丽邂逅   150

第2节   关注反比例函数图象与几何图形的融合   154

第3节  “缠缠绵绵”的两类函数图象   158

第4节   一把钥匙开一把锁——二次函数解析式的确定方法   161

第12章   直线形

第1节   “双正三角形”演绎不变性   166

第2节   怎样寻找全等、相似三角形   172

第3节   变换视角下的正方形处理策略   178

第4节   解决梯形问题的桥梁——辅助线   181

第13章   圆

第1节   小性质也有大用途——圆周角的应用   189

第2节   关注圆的多解问题   191

第3节   解圆锥题的“四字诀”   195

第4节   阴影部分面积求法解密   198

第14章  统计与概率

第1节   想说爱你不容易——抽样调查   203

第2节   “三数”选用点点通   205

第3节   波动小，成绩就好吗   207

第4节   概率的算法速览  210

附录   数学拔高题，学霸会有几种方法   215