第1章计算机辅助几何设计的历史
　　本章叙述了计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)从诞生起到目前的主要发展情况，20世纪80年代中期之前的历史回顾主要取材于Farin有关计算机辅助几何设计历史的经典论文[1]，80年代中期之后到目前的历史素材主要取材于各种书籍、报纸、杂志以及网络资源[2-7]。我们采用的定义是：计算机辅助几何设计是一门处理自由曲线、曲面或空间体的构造和表示的学科。
　　1.1引言
　　CAGD一词是由Barnhill和Riesenfeld于1974年在美国犹他大学组织的关于这个主题的会议上提出的。那次会议汇集了来自世界各国的研究人员，可被视为该领域的奠基活动。这次会议出版了后来在国际上影响深远的会议论文集。《计算机辅助几何设计》杂志于1984年由Barnhill和Boehm创办。
　　另一个早期的会议是1971年在法国巴黎举行的。那次会议专注于汽车设计，是由当时的汽车协会主席贝塞尔(Bezier)组织的。该会议论文集是由法国《汽车工程师》(Ingenieursde l’Automobile)杂志发表的。
　　1982年开始在德国的MFO(Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach，上沃尔法赫数学研究所)举办了一系列专题讨论会，这些专题讨论会是由Barnhill、Boehm和Hoschek组织的。十年后，在德国Schloss Dagstuhl的计算机科学研究所由Hagen发起了类似的专题讨论会。在美国，SIAM(Society for Industrial and Applied Mathematics，工业和应用数学学会)组织了一系列会议，第一次会议于1983年在纽约特洛伊(Troy)举行，由McLaughlin组织。在英国，“曲面的数学”系列会议是由数学与应用研究所(the Institute of Mathematics and its Applications，IMA)发起的。在挪威和法国类似的会议由Schumaker、Lyche和Laurent创办。
　　在中国，苏步青院士于1978年在《自然杂志》发表《计算几何的兴起》[2]一文；苏步青和刘鼎元1981年在《自然杂志》上进一步发表了《计算几何的新发展》[3]一文，对上文进行了补充；同年，苏步青和刘鼎元在《数学进展》杂志上发表了《计算几何》[4]一文，对该学科进行了较全面的介绍；苏步青和刘鼎元的专著《计算几何》[5]于1981年由上海科技出版社出版，美国Academic Press出版社于1989年出版了这本书的英译本Computational Geometry:Curve and Surface Modeling[6]，英译者是中国科技大学常庚哲教授；孙家昶研究员的专著《样条函数与计算几何》[7]在1982年由科学出版社出版。
　　在苏步青院士的组织和推动下，1982年，中国召开了第一届计算几何和CAD(Computer Aided Design，计算机辅助设计)学术会议。1982年1月，在复旦大学，举办同行邀请式的“计算几何研讨会”。当时，浙江大学梁友栋教授和山东大学汪嘉业教授刚刚分别从美国和英国访问两年回国，带来了国际上*新的研究成果和研究动向。在这次会议上，按照苏步青院士的提议，决定由复旦大学、浙江大学、山东大学三校联合举办面向全国的更大规模的研讨会和学习班。1982年7月在山东青岛三校联合主办“计算几何学习班”。国内高校、研究所、工业界共有120名代表参加。代表们普遍反映收获很大，希望能够一两年再举办一次。1984年7月在山东烟台三校联合主办“计算几何和CAD学习班”。讲课内容除了“计算几何”外，特别增加了开发CAD技术所必需的“计算机图形学”、“数据库”和“软件工程”等课程。会议之前只是在《计算机世界》报纸上发了一条消息，却有360名代表出席，变成大型学习班。
　　此外，由中国数学会举办的“计算几何与样条函数学术会议”于1986年6月19日～25日在安徽屯溪市举行，来自35个单位的95名代表出席了这次会议，会议收到了110篇学术论文，会上安排了8个综合性大会学术报告，并分计算几何和样条函数两个大组，做了80多个专题报告，会议出版了论文集。
　　全国几何设计与计算学术会议(Geometric Design and Computing，GDC)是由中国工业与应用数学学会(ChinaSociety for Industrial and Applied Mathematics，CSIAM)几何设计与计算专业委员会主办的系列全国性学术会议。会议对几何设计与计算相关研究方向进行学术报告、成果展示与学术讨论，目的是使更多的年轻学者和学生对国内外几何设计与计算等领域中的一些学术热点和动态以及发展方向有所了解，对研究方向的把握有所帮助，是一个全国性的学术交流与应用成果展示平台。2002年以来，历届会议分别由山东大学(第1届)、中国科学技术大学(第2届)、西北师范大学(第3届)、厦门大学(第4届)、华南农业大学(第5届)、大连理工大学(第6届)、山东财经大学和井冈山大学(第7届)、浙江理工大学和浙江工业大学(第8届)、中国科学技术大学(第9届)、山东工商学院(第10届)、桂林电子科技大学(第11届)以及北方民族大学(第12届)承办。十二届会议以来，参会人员逐渐增多，在全国的影响力逐渐增大，投稿数量与质量逐步提高，每届都有来自国内外的著名专家向会议投稿，影响力已经波及海外几何设计与计算研究领域。
　　全国计算机辅助设计与图形学(CAD/CG)学术会议由中国计算机学会(China Computer Federation，CCF)主办。1978年10月，在广西阳朔举行了首届计算机辅助设计学术交流会。此次会议成为中国计算机学会下的全国CAD与图形学年会的开端。1986年8月，中国计算机学会成立了计算机辅助设计与图形学专业委员会。此后，全国CAD/CG学术会议在专业委会组织与指导下每两年召开一次，内容包括计算机辅助设计、计算机图形学、计算机动画与游戏、虚拟现实、可视化与可视分析、电子设计自动化、数字内容与媒体等，迄今为止已经成功举办了二十多届，为全国计算机辅助设计与图形学研究人员提供了一个重要的学术交流平台。每一届全国CAD/CG会议评选优秀学生论文2～4篇。为了适应学科发展的新形势，更好地推动中国计算机辅助设计与图形学研究的发展，经协商，一致同意进一步整合资源，并且将每两年召开一次的大会改为每年召开一次的年会，更好地服务于计算机辅助设计与图形学的学术界研究人员和产业界研发人员。
　　1.2早期发展
　　在制造工程中*早记录的曲线使用可以追溯到早期的罗马时代，以造船为目的。一艘船的肋骨(从龙骨延伸出的木板)是由可多次重复使用的模板制作的。这样，轮船的基本几何形状就可以存储起来，而不必每次都重新创建。从13世纪到16世纪，威尼斯人完善了这些技术，轮船肋骨的形状是用切向连续的圆弧段拼接来定义的，用现代的语言来描述就是NURBS(non-uniform rationalB-splines，非均匀有理B样条)。船体是通过改变龙骨上肋骨的形状来获得的，这是今天张量积曲面定义的早期表现。将海洋技术和CAGD技术联系起来的更现代发展可在1961年Theilheimer和Starkweather发表的论文[8]、1966年Berger等发表的论文[9]、1971年Mehlum和Sorenson发表的论文[10]以及1980年Rogers和Satterfield发表的论文[11]中找到。
　　另一个关键事件起源于航空学。1944年，Liming写了一本Practical Analytic Geometry with Applications to Aircraft的书[12]。第二次世界大战期间，Liming曾为NAA(North American Aviation Inc.，北美航空工业公司)工作，这个公司制造了传说中的野马型号战斗机。在他的书中，经典的绘图方法首次与计算技术相结合。此前圆锥曲线既在飞机制造工业也在造船工业中使用，它的基础可以追溯到Pascal和Monge给出的构造。传统上，这些构造作为产品的基本定义以蓝图的形式出现在绘图员的画板上。Liming认识到，另一种选择更有效：用数字来存储设计，而不是手动绘制曲线。因此，他将经典的绘图结构转化为数值算法。优点：数字可以存储在明确的表格中，从而避免了对图纸的带有个人偏见的不同的解释。Liming的工作在20世纪50年代非常有影响力，当时被美国飞机制造公司广泛采用。另一位研究员孔斯(Coons)也参与了飞机图纸到计算的转换，Coons后来因他在麻省理工学院的工作而出名。
　　另一个早期对CAGD的发展有影响的事件是20世纪50年代数控技术的出现。早期的计算机能够产生数字指令，驱动用于制造钣金零件模具的铣床。麻省理工学院为此目的开发了APT(Automatic Programming Tool)语言。但问题仍然存在：所有相关信息都以蓝图形式存储，不清楚如何将这些信息传递给正在驱动铣床的计算机。
　　利用拉格朗日(Lagrange)插值等熟悉的技术，从蓝图上数字化点和拟合曲线，在早期就失败了。需要新的从蓝图到计算机的方法。在法国，德卡斯特里奥(deCasteljau)和Bezier超额完成了这一任务，使设计师们从手工绘制蓝图的过程中解放了出来。
　　在美国，波音(Boeing)公司的Ferguson和麻省理工学院的Coons提供了替代技术。通用汽车公司开发了第一个CAD/CAM(Computer Aided Manufacturing，计算机辅助制造)系统DAC-I(Design Augmentedby Computer)。它使用了通用汽车公司研究员deBoor和Gordon开发的基本曲线和曲面技术。
　　在英国，Forrest在接触Coons的想法后开始研究曲线和曲面。他在剑桥大学的博士论文包括关于三次曲线和有理三次曲线的形状分类，以及Coons曲面片的推广等方面的工作。Sabin曾在英国飞机公司工作，并在开发CAD系统“数值主几何图形(Numerical Master Geometry)”方面发挥了重要作用。他开发了许多后来被“重新发明”的算法。这包括关于等距、几何连续性或张力样条的工作。
　　所有这些方法都出现在20世纪60年代。在相当长的一段时间里，它们孤立地存在，直到20世纪70年代开始与不同的研究方法结合在一起，*终产生了一门新的学科—CAGD。
　　没有计算机的出现，像CAGD这样的学科就不会出现。*初这些计算机的主要用途并不是为了计算复杂的形状而是简单地产生驱动铣床所需的信息。该信息通常由主计算机输出到穿孔纸带；然后，再由穿孔纸带传递到铣床的控制单元。
　　设计师的主要兴趣并不是铣床，而是一个可以快速绘制设计师概念的绘图仪。早期的绘图仪如台球桌大小或更大；这并不奇怪，因为大多数汽车零部件的图纸都是按比例生产的。绘图是如此重要，以至于几乎所有的CAD都是以绘制图纸为目标的。事实上，CAD经常被认为是“计算机辅助绘图”的代名词。在这些系统出现之前，琐碎的任务非常耗时。例如，从现有视图生成复杂线框对象的新视图需要绘图人员一周或更长时间，而使用计算机只需几秒钟。
　　显示硬件的一个里程碑是CRT(cathode ray tube，阴极射线管)终端的使用。这就回到了示波器，示波器被用于许多科学应用。CRT(已经不再用于CAD应用程序)通过屏幕上的“绘图”曲线显示图像。在简单显示技术中添加一个交互组件，就增加了另一个维度。第一个交互式图形系统是由麻省理工学院的Sutherland于1963年发明的[13]。他的博士论文是麻省理工学院CAD项目的一部分，Coons是他博士论文答辩委员会的成员之一。
　　1.3de Casteljau和Bezier
　　1959年，法国雪铁龙(Citroen)汽车制造公司聘请了一

目录
前言
第1章 计算机辅助几何设计的历史 1
1.1 引言 1
1.2 早期发展 3
1.3 de Casteljau和Bezier 4
1.4 参数曲线 5
1.5 矩形曲面 7
1.6 B样条曲线与NURBS 8
1.7 三角曲面片 9
1.8 细分曲面 10
1.9 科学应用 11
1.10 形状 11
1.11 影响与应用 13
参考文献13
第2章 Bezier曲线曲面 20
2.1 Bezier曲线的原始定义 20
2.2 Bernstein多项式定义和性质 21
2.3 Bezier曲线的性质 22
2.4 Bezier曲线的de Casteljau算法 24
2.4.1 Bezier曲线的递推定义 24
2.4.2 Bezier曲线的导矢 26
2.4.3 Bezier曲线的分割 28
2.4.4 Bezier曲线的延拓 29
2.4.5 Bezier曲线的计算举例 30
2.5 Bezier曲线的其他表现形式 30
2.5.1 用边矢量表示的Bezier曲线 30
2.5.2 Bezier曲线的幂基表示 32
2.6 Bezier曲线的合成和几何连续性、Bezier样条曲线 33
2.6.1 平面Bezier曲线的合成 33
2.6.2 几何连续性 35
2.6.3 Bezier样条曲线 35
2.7 Bezier曲线的修改、反推顶点插值 Bezier曲线、升阶公式 36
2.7.1 Bezier曲线的修改 36
2.7.2 反推顶点插值Bezier曲线 36
2.7.3 Bezier曲线升阶公式与降阶公式 37
2.8 矩形域上的 Bezier曲面及其几何性质 38
2.8.1 张量积Bezier曲面 38
2.8.2 de Casteljau算法 39
2.8.3 Bezier曲面的性质 40
2.8.4 Bezier曲面的偏导矢与法矢 40
2.8.5 Bezier曲面的分割、升阶与降阶 41
参考文献 42
第3章 有理Bezier曲线曲面 44
3.1 有理Bezier曲线定义 44
3.2 有理一次Bezier曲线 44
3.3 二次曲线弧的有理Bezier表示 45
3.3.1 二次曲线的隐式方程表示 45
3.3.2 二次曲线弧的有理Bezier 形式 45
3.3.3 有理二次Bezier曲线的递推定义 46
3.3.4 有理二次Bezier曲线的形状分类 47
3.4 有理三次Bezier曲线 48
3.5 有理n次Bezier曲线 49
3.5.1 有理de Casteljau算法 50
3.5.2 有理n次Bezier曲线的权因子变换与参数变换 51
3.6 有理Bezier曲面 52
参考文献 52
第4章 B样条曲线曲面 54
4.1 B样条基函数 54
4.1.1 B样条基函数的递推定义 54
4.1.2 B样条基函数的递推过程 55
4.1.3 B样条基函数的性质 56
4.2 B样条曲线 57
4.2.1 B样条曲线的定义 57
4.2.2 B样条曲线的性质 57
4.2.3 B样条曲线的分类 58
4.3 非均匀B样条曲线 59
4.3.1 计算节点矢量 59
4.3.2 B样条曲线求值和求导的de Boor算法 61
4.4 B样条插值曲线的反算 62
4.4.1 三次B样条插值曲线节点矢量的确定 62
4.4.2 反算三次B样条插值曲线的控制顶点 63
4.5 B样条曲线逼近 64
4.6 B样条曲面 67
4.6.1 B样条曲面方程及性质 67
4.6.2 B样条曲面的计算 68
4.6.3 B样条曲面逼近 69
参考文献 70
第5章 有理B样条曲线曲面 73
5.1 NURBS曲线的定义和性质 73
5.1.1 NURBS曲线的三种等价形式 73
5.1.2 NURBS曲线的求导 75
5.1.3 NURBS曲线三种表示方式的特点 75
5.1.4 NURBS曲线的几何性质 76
5.1.5 权因子对NURBS曲线形状的影响 76
5.2 NURBS曲面的定义和性质 77
5.2.1 NURBS曲面的三种等价形式 77
5.2.2 NURBS曲面的求导 79
5.2.3 NURBS曲面的性质 80
5.2.4曲面权因子的几何意义 81
5.3 圆锥截线和圆 82
5.3.1 圆锥截线 82
5.3.2 圆的构造 85
5.3.3 常用曲面的NURBS 表示 88
5.4 NURBS曲线曲面的形状修改 90
5.5 NURBS曲线曲面的拟合 93
5.5.1 整体插值 93
5.5.2 局部插值 95
参考文献 97
第6章 几何连续性 99
6.1 几何连续性概念的提出 99
6.2 参数曲线的几何连续性101
6.2.1 参数曲线的几何连续性的定义 101
6.2.2 两Bezier曲线G2连续的拼接 104
6.3 参数曲面的几何连续性 106
6.3.1 参数曲面的几何连续性定义 106
6.3.2 两Bezier曲面的G1连接 108
6.4 有理曲线曲面的几何连续性 110
6.4.1 有理参数曲线的连续性 110
6.4.2 G2连续有理二次样条曲线构造 113
6.4.3 有理曲面的几何连续性 114
6.5 形状建构与连接 114
参考文献 115
第7章 三角域上的曲面片 117
7.1 三角域上的Bezier曲面及其几何性质 117
7.1.1 重心坐标 117
7.1.2 三角域上的Bernstein基 118
7.1.3 三边 Bezier曲面片的方程 119
7.2 de Casteljau算法 120
7.3 三边 Bezier曲面片的升阶 120
7.4 求方向导矢 120
7.5 组合三边Bezier曲面片的几何连续性 121
参考文献122
第8章 T样条曲面 124
8.1 PB样条 125
8.2 T样条理论基础 126
8.2.1 节点区间 126
8.2.2 T样条的概念 126
8.3 T样条曲面的基本方法 127
8.3.1 混合函数局部加细 127
8.3.2 插入控制顶点 129
8.3.3 T样条局部细化 130
8.4 隐式T样条曲面及其基底性质 133
8.4.1 三维T网格及隐式T样条曲面 133
8.4.2 三维T网格的构造 134
参考文献 135
第9章 隐式曲线曲面 137
9.1 隐式曲线曲面的基本概念 137
9.2 隐式曲线曲面的基本性质 139
9.2.1 隐式曲线曲面的几何不变量 139
9.2.2 隐式曲线曲面的几何连续问题 141
9.3 隐式曲线造型 142
9.3.1 隐式曲线插值算法 142
9.3.2 基于径向基网络的隐式曲线 147
9.4 隐式曲面重建 150
9.4.1 隐式曲面重建问题的一般数学描述 150
9.4.2 隐式曲面重建的经典算法 151
参考文献 156
第10章 细分曲线曲面 160
10.1 细分曲线的切割磨光法 161
10.1.1 细分曲线的切割磨光法的算法 161
10.1.2曲线切割磨光法的性质 162
10.2 细分曲面的切割磨光法 165
10.2.1 细分曲面的切割磨光法的算法 165
10.2.2 细分曲面的切割磨光法的性质 170
10.2.3 任意拓扑网格的切割磨光法 171
10.3 典型细分曲线 172
10.3.1 Chaikin割角模式 173
10.3.2 B样条细分曲线 173
10.3.3 四点插值细分模式 175
10.4 典型细分曲面 177
10.4.1 Catmull-Clark细分模式 177
10.4.2 Doo-Sabin细分模式 181
10.4.3 Loop细分模式 183
10.4.4 Butterfly细分模式 184
10.4.5 3细分模式185
参考文献 185
第11章 Coons曲面 188
11.1 双线性混合Coons曲面片 188
11.1.1 双线性混合Coons曲面片的生成 188
11.1.2 双线性混合Coons曲面片的控制网格 190
11.2 双三次Coons曲面 191
11.2.1 三次 Hermite基 191
11.2.2 双三次Coons曲面片的生成 192
11.2.3 双三次Coons曲面片的拼接 193
11.3 双三次混合Coons曲面 195
11.3.1 双三次混合曲面片的生成 195
11.3.2 双三次混合Coons曲面片的控制网格 195
11.4 Gordon曲面 197
参考文献 198
第12章 等距曲线曲面 200
12.1 平面等距曲线 202
12.2 Pythagorean-hodograph(PH)曲线 205
12.2.1 定义和表示 205
12.2.2 三次PH曲线的构造、特征和性质 206
12.2.3 四次和五次PH曲线的构造 207
12.2.4 PH曲线的等距曲线和弧长 208
12.3 具有有理等距曲线的参数曲线(OR曲线) 208
12.3.1 参数曲线的复形式表示 208
12.3.2 参数曲线具有有理等距曲线的充要条件 209
12.4 PH曲线和OR曲线的插值构造算法 211
12.4.1 平面五次PH曲线的G2Hermite插值 211
12.4.2 平面三次 PH曲线偶的C1Hermite插值212
12.4.3 高次抛物-PH曲线的C2Hermite插值 213
12.5 具有有理中心线的管道曲面 214
12.6 二次曲面的等距曲面 215
12.6.1 椭圆抛物面和双曲抛物面的等距曲面 215
12.6.2 椭球面的等距曲面 216
12.6.3 单叶双曲面的等距曲面 217
12.6.4 双叶双曲面的等距曲面 217
参考文献 218