第1章 绪论
随着我国国民经济的快速发展，一大批重大岩体工程已建、在建或拟建。岩体在施工和运营过程中不可避免地会受到动载荷的影响，例如，在隧道、矿山巷道、边坡以及岩质地基等工程中，采用爆破法施工时会产生动载荷，深部岩体工程中岩爆和冲击地压也会产生动载荷。岩体工程产生的动载荷以应力波的形式在岩体内传播。应力波在岩体内的传播会导致一系列的动力灾害，从而影响岩体工程的稳定性。研究岩体内应力波传播规律是岩体工程动态稳定性分析的基础。
岩体是漫长地质演化过程中形成的天然材料，具有不连续性、非均质性和各向异性等特性。岩体经受地质作用后会产生各种尺度的不连续结构面，例如宏观节理和细观裂隙等，如图1.1所示。其中，细观裂隙为几何尺寸相对应力波波长而言较小的不连续结构面，宏观节理为几何尺寸相对应力波波长而言较大的不连续结构面。岩体的力学特性受不连续结构面的物理特性和几何尺寸支配，不连续面的存在不仅会使岩体的整体强度降低还会影响应力波的传播。
岩体内宏观节理会导致应力波的透射和反射。细观裂隙会导致应力波幅值的衰减和波形的弥散。当岩体内宏观节理和细观裂隙共同作用时，应力波在岩体内的传播规律极其复杂，会发生衰减、弥散和滞后等现象，进而影响岩体工程的稳定性。因此，研究应力波在岩体内的传播规律对岩体工程建设具有重要意义。
图1.1 天然岩体
目前，岩体内的宏观节理和细观裂隙对应力波传播规律的影响已被广泛研究。应力波在岩体内传播规律的研究方法主要有两大类：等效连续介质方法和位移不连续方法。
1.1 等效连续介质方法
等效连续介质方法是将岩体等效地看作连续均匀的介质，通过连续介质与岩体的数学比拟引入有效模量来建立等效连续介质与实际岩体之间的联系，进而考虑节理裂隙对岩体动态力学性能的影响[1-33]。根据比拟方式的不同，等效连续介质方法可以进一步分为静态等效连续介质方法和动态等效连续介质方法。静态等效连续介质方法通常根据不连续结构面的分布情况和力学特性来推导有效模量。采用静态等效连续介质方法，Zhao等[34]确定了含小间距平行节理岩体的有效模量，分析了节理对应力波传播规律的影响。节理的存在会导致岩体材料的各向异性，Schoenberg[35]提出了等效横观各向同性模型来表征包含一组平行节理的岩体。该模型采用五个有效模量高效地反映了岩石的弹性特性、节理间距和节理刚度等对应力波传播的影响，并准确预测了应力波通过一组平行节理岩体的传播波速。为了更精确地表征岩体的动态力学特性，动态等效连续介质方法通常根据地震活动度和岩体内波传播速度来推导有效模量。Thomsen[36]使用动态等效连续介质方法，研究了应力波斜入射通过各向异性介质的传播规律，推导了各向异性介质内应力波传播的速度表达式，讨论了应力波传播速度与入射角的关系。
等效连续介质方法可得到透射波的显式表达式。早期使用该方法研究应力波传播规律时，通常将岩体等效为弹性连续介质，该方法存在两个局限性：①不能真实反映应力波通过非连续岩体的衰减机制；②不能完全反映岩体的动态力学特性，例如应力波传播的频率依赖性[37-39]。
基于地震波在天然节理岩体内的传播规律，Pyrak-Nolte等[40]使用等效黏弹性连续介质方法研究了应力波在岩体内传播的衰减规律，并且讨论了应力波传播的频率依赖性。Cook[41]指出可将节理岩体等效为黏弹性连续介质。等效连续介质方法无法考虑应力波在节理处的反射特性，为了解决这一问题，Li等[28]提出了线性等效黏弹性连续介质方法结合虚拟波源研究含平行节理岩体内应力波的传播规律，该方法采用线性等效黏弹性连续介质得到了应力波通过含平行节理岩体的透射波波形，精确预测了应力波在岩体内传播的透射规律。同时，该方法采用虚拟波源来模拟应力波在平行节理之间的多次反射。Li等[28]采用该方法准确预测了应力波通过平行节理岩体的波形弥散、幅值衰减和频率依赖性，描述了应力波通过含一组平行节理岩体的透反射机制。为了研究应力波在含非线性节理岩体内的传播规律，Fan等[42]提出了非线性等效黏弹性连续介质方法，采用分段线性模型来考虑节理的非线性变形行为。Li等[43-45]的研究表明，应力波在含非线性平行节理岩体内传播时，不仅具有频率依赖性还具有幅值依赖性。
1.2 位移不连续方法
位移不连续方法通常假设节理两侧的应力场是连续的，而位移场是不连续的[46-53]。位移场的不连续是由节理的变形引起的，其大小为节理的闭合量。该方法可以有效地反映节理岩体内应力波传播的透反射规律，并且可以较准确地计算节理厚度相对应力波波长较小的岩体中质点的应力、应变和速度。
根据节理变形特性的不同，位移不连续方法可分为线性位移不连续方法和非线性位移不连续方法。当应力波幅值较小时，节理通常表现为线性变形，可采用线性位移不连续方法来研究应力波通过线性变形节理岩体的传播规律[54-59]。Myer等[60]通过室内试验研究了岩体节理面部分接触的情况，通过调整接触区面积改变线性位移不连续模型中的节理刚度，研究表明基于线性位移不连续方法求得的透射波理论预测值与试验结果具有较高的一致性。在此基础上，Pyrak-Nolte[61]将线性位移不连续方法推广至应力波斜入射通过单个线性变形节理的研究，得到了任意入射角度的简谐波透反射系数的解析解。Gu等[62]研究了简谐波以任意角度入射单个线性变形节理时所产生的透射、反射和波形转换等现象，并通过理论推导求得透射系数和反射系数的解析解。研究发现幅值的衰减和波形的弥散与应力波频率、节理刚度和岩石泊松比密切相关。线性位移不连续方法适用于入射波幅值较小且节理非线性效应可忽略不计的情况，该方法在无损物理探测或爆破远场动力特性分析时较为常用[63-67]。
当应力波幅值较大或节理内含填充物时，节理通常表现为非线性变形，需要采用非线性位移不连续方法来研究应力波通过非线性变形节理岩体的传播规律[68-76]。主要采用改进准静态或循环载荷下节理的非线性模型来研究应力波通过非线性变形节理岩体的传播规律，例如Goodman双曲线模型[77]、BB模型[70]、指数函数模型[78]等。其中，BB模型能简捷准确地反映节理的非线性变形特性，并且容易通过试验获得模型参数，因此，被广泛地应用于研究应力波在非线性变形节理岩体内的传播规律。基于该模型，赵坚等[79]研究了应力波法向入射通过单条非线性变形节理的透反射规律，得到了透射波和反射波的差分形式解。研究结果表明，应力波通过非线性变形节理的透射特性不仅受应力波频率和节理刚度的影响，还受应力波幅值、节理闭合量的影响。随后，Zhao等[26]将该研究推广至应力波通过多条非线性平行节理岩体的情况，研究了节理间距和节理数量对应力波透射规律的影响。
特征线方法可以在时域内快速地求解偏微分方程，Cai等[80]将特征线方法与位移不连续模型相结合求解了应力波通过节理岩体的控制方程，获得了不同入射波通过节理时的透射系数和反射系数的显式差分解。特征线方法适用于求解应力波通过线性变形节理和非线性变形节理的传播规律，该方法便于计算机编程，实现应力波传播的高效计算。
第2章 应力波传播的基本理论
本章介绍应力波的基本概念、应力波传播的波动方程以及求解波动方程的特征线方法，研究应力波在固定端、自由端和不同介质界面处的透反射规律。
2.1 应力波的基本概念
1. 应力波的定义
当动载荷作用于可变形固体的局部表面时，直接受动载荷作用的表面质点因变形离开初始平衡位置，与相邻质点发生了相对运动。表面质点受到了相邻质点所给予的作用力，同时相邻质点受到表面质点的反作用力离开初始平衡位置。由于质点的惯性，相邻质点的运动将滞后于表面质点的运动。依此类推，动载荷在表面引起的扰动将在介质内传播，这种由近及远的扰动称为介质内的应力波。其中扰动与未扰动的分界面称为波阵面，扰动的传播速度称为波速。
2. 应力波的类型
(1) 根据质点振动方向与波传播方向的关系，应力波可以分为纵波(P波)和横波(S波)。其中，纵波的质点振动方向与波传播方向平行，横波的质点振动方向与波传播方向垂直。
(2) 根据应力波与界面的相互作用，应力波可以分为瑞利波、勒夫波和斯通莱波。其中，瑞利波是出现在弹性半空间或弹性分层半空间附近的界面波，勒夫波是弹性分层半空间内的SH波叠加所形成的界面波，斯通莱波是沿两种不同介质交界面传播的界面波。
(3) 根据应力的大小及介质的变形特性，应力波可以分为弹性波和弹塑性波等。其中，弹性波作用后介质产生的变形可以完全恢复，弹塑性波
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