第1章 绪论
1.1 研究背景与意义
岩石强度理论是研究材料在复杂应力状态下发生屈服或破坏规律的科学，是一门重要的基础理论，其发展已有一个多世纪的历史。关于材料强度，通常有强度准则与强度理论两种提法。材料强度的数学模型是对试验数据拟合，或者是基于对强度规律的认识给出的数学表达式，通常称为强度准则。强度准则的共同特点是没有用于解释材料破坏机制的物理模型，准则中的参数一般没有明确的物理意义。材料强度的物理模型是基于材料破坏的某种观点，形成力学分析模型，进而获得描述材料强度规律的数学表达式，通常称为强度理论。强度理论中的材料参数一般具有清晰的物理含义[1]。强度理论包含描述塑性变形的屈服准则和描述破坏的强度准则。
由于数值计算方法的迅速发展和普遍推广，对描述材料性能的本构理论也提出了更高的要求。本构理论主要是指本构模型，本构模型通常指材料在力作用下的变形响应，即应力-应变关系。随着材料应力-应变关系研究的发展，认识到材料的强度是其应力-应变曲线的一个特殊阶段，因此强度理论可纳入本构模型中，成为本构模型的一个组成部分。而将本构模型数值化实施过程的核心问题是本构积分算法，对本构方程进行积分的数值算法称为本构积分算法或者应力更新算法。本构积分算法是弹塑性有限元计算的关键，一般分为显式积分算法和隐式积分算法，它直接影响到计算结果的精确性和稳定性。
《2016—2017岩石力学与岩石工程学科发展报告》中指出[2]，近年来，我国经济飞速发展，岩石工程项目大规模兴建，在水库大坝、铁路隧道、跨江(海)桥隧等重大工程项目以及地下采矿工程、人防工程及地下空间利用方面的快速发展，促进了科技工作者对岩石强度的持续研究，是岩土工程领域研究的热点问题。由于岩石大多处于复杂应力状态下，强度理论研究对材料力学、塑性力学、岩土力学及各种工程应用都具有十分重要的意义。此外，采用合理的强度理论，又能更好地发挥材料的强度潜力，减轻结构重量，取得较好的经济效益以及节约能源等综合效益。因此，关于该问题的研究不仅具有学术价值，而且由于它更好地发挥材料的潜力，更具有重要的实践意义和经济效益。
21世纪是一个创新的世纪、知识经济的世纪。创新并不意味着简单的发明、发现和创造，而是要在新理论、新技术、新工艺的基础上出现新的生产体系和模式，形成新的生产力，从而真正体现出科学技术是第一生产力的真理。目前，国际上已经提出多种强度理论，但都存在一些局限性或缺陷[1]。例如，有的理论适用于金属材料，而不适于岩石、混凝土等脆性材料；有的理论只考虑大、小主应力的影响而忽略中间主应力等。关于岩石强度理论的研究也逐渐从古典强度理论、广义强度理论等经典强度理论发展到将弹塑性力学、断裂力学、损伤力学考虑进去的强度理论，建立相应的弹塑性损伤本构模型、断裂本构模型及本构积分算法，从宏观唯象研究发展到跨尺度多层次的理性研究是值得深入思考的问题。
1.2 岩石强度理论研究
目前对岩石强度特性的认识以及对强度规律的描述还是有限的，尚不能统一合理地解释各种不同类型材料的破坏机理。世界各国学者曾经提出过众多的强度理论，并进行了大量的试验验证，这些强度理论都是各自提出的，立足于不同的假设，适用的条件各不相同，存在着许多问题，如考虑的情况较为简单、与工程实际差距较大、缺乏内在联系等。1985年，俞茂宏开创性地提出了双剪强度理论，在强度理论方面做了大量的研究工作。他指出强度理论是一个独*和奇妙的研究主题，总结了强度理论具有以下特点[3-6]：①简单而复杂；②古老而年轻；③学科交叉综合；④研究众多而进展缓慢；⑤百家争鸣景象繁荣。
岩石强度理论是涉及领域广泛的交叉性学科，这些领域包括物理学、力学、材料学、地球科学、土木工程等，关于它的研究是世界性的难题。尤其是20世纪80年代以来，材料本构关系成为有关工程学科和力学学科的研究热点。计算机的推广和应用，促使岩石强度理论出现新的进展。下文按照三个方面对岩石强度理论、岩石塑性本构关系和岩石弹塑性断裂与损伤本构模型进行论述。
1.2.1 强度理论分类
关于强度理论的主题，已有一些综述性的论文和专著，如Yu[7]、沈珠江[8]、Chen[9]等的成果，对数以百计的强度模型或准则归纳分类是十分困难的。Yu[7]给出了以下几种不同的分类方法：①按时间先后分类，可分为第一强度理论，即*大拉应力理论；第二强度理论，即*大拉应变理论；第三强度理论，即单剪强度理论；第四强度理论，即八面体剪应力强度理论或三剪强度理论；第五强度理论，即双剪强度理论。②按照参数的数量分类，可分为单参数、双参数、三参数、四参数、五参数等强度理论。③按剪应力分类，可分为单剪强度理论、双剪强度理论和三剪强度理论。④按方程的线性与非线性分类，可分为线性方程表示的强度理论和非线性方程表示的强度理论。⑤按强度理论的工程分类，可分为单一强度理论和统一强度理论。
线性强度理论的数学表达式为一次线性方程，它在*平面及子午面上的破坏曲线为直线或分段直线，线性强度理论较少，只有第一、第二强度理论及作为上下限的单剪强度理论(Tresca、Mohr-Coulomb屈服准则)和双剪强度理论。非线性强度理论，它在π平面及子午面上的破坏曲线均为连续光滑的曲线，现有的强度理论中大多数为非线性强度理论，如岩石材料的Hoek-Brown屈服准则[10，11]、Wiebols-Cook准则[12]、Mogi准则[13，14]等，土体材料的SMP(spatial mobilized plane)准则* [15，16]、Lade准则[17，18]、沈珠江准则[19]等，混凝土材料的Willam-Warnke准则* [20]、过镇海-王传志准则[21]、宋玉普-赵国潘准则[22]等，金属材料的Mises屈服准则等。非线性强度理论大多数考虑了中间主应力的影响，可以比较合理地描述材料的屈服和破坏特性，也便于与本构模型结合，方便用于荷载变形分析。
然而，现有的线性强度理论和非线性强度理论多为只适用于某一类特定材料的单一强度理论[23]，建立一个包括以往的岩土类材料强度的、适用于多种材料在不同条件下的统一强度理论具有广泛的实用价值。与此同时，随着基础科学及计算机科学的飞速发展，岩土类材料强度研究的新思维、新方法不断涌现，统一的数值计算方法成为强度理论的一个发展方向。
1.2.2 强度理论研究进展
关于强度理论的研究，可以上溯到20世纪以前。公元15世纪，Leonardo da Vinci和Galileo Galilei分别进行了铁丝和石料的拉伸试验，提出了*大拉应力理论的思想雏形。17世纪，Mariotte首次论述了*大拉应变准则的思想。Coulomb根据砂岩强度试验，阐述了*大剪应力理论，并对梁的弯曲、棱柱体的压缩，以及挡土墙和拱的稳定性进行了讨论。1856年，Maxwell首先讨论了形状改变比能与单元破坏的关系，后来经过Beltrami的研究发展，于1885年提出了形状比能理论的雏形。以上关于强度的认识尽管相当直观，但其中的朴素观点对后来有关强度理论的建立起到了很大的启蒙作用。经过Lame、Rankine、Saint-venant、Poncelet、Foppl、Voigt、Mohr、Guest等科学家与工程师的努力，到19世纪末，第一、第二、第三、第四强度理论先后建立[24，25]。
1. 第一强度理论(又称为*大拉应力理论)
当材料承受的任一方向主拉应力达到一极限值时发生破坏，其表达式为
(1.1)
式中，为拉伸强度。
破坏面为在主应力坐标的正方向，与坐标面平行且相距的三个相互垂直的平面，组成以静水压力轴为中心的正直角锥。它是材料强度研究领域*早出现的一个理论，虽然是对金属疲劳研究得出的，但作为材料研究领域的第一个理论，对岩石强度理论研究也具有重要影响。
2. 第二强度理论(又称为*大拉应变理论)
当材料某一方向的*大拉应变达到一极限值时发生破坏，其表达式为
(1.2)
或
(1.3)
破坏面为以静水压力轴为中心的角锥，顶点位于坐标原点，锥顶夹角小于90°。在试验和工程实践中，*大拉应力理论和*大拉应变理论被证明有种种不足和缺陷。因此，学者和工程师又将眼光转向其他方向，*大剪应力理论应运而生。
3. 第三强度理论(又称为*大剪应力理论)
当材料承受的*大剪应力达到一极限值时发生屈服，其表达式为
(1.4)
破坏面是以静水压力轴为中心的正六角棱柱面，表面不连续、不光滑。包络面在拉、压端均开口，且无交点，且拉、压子午线相同。
4. 第四强度理论(又称为*大形状改变比能理论)
当材料的统计平均剪应力或八面体剪应力达到一极限值时发生屈服，其表达式为
(1.5)
破坏面是以静水压力轴为中心的圆柱面，表面连续、光滑，是对*大剪应力理论的改进。第四强度理论更适合于软钢类塑性材料，在塑性力学中应用*广，也称为能量理论，因为单元体的形状变化是与剪切和剪应力密切联系的。
这四个强度理论称为古典强度理论，对于材料破坏的原因有明确的理论观点，概念明确，表达式简单，参数少且易于确定，但只能适用于特定材料的特定受力状态，一般认为第一、第二强度理论常应用于脆性材料，第三、第四强度理论则应用于塑性材料。主要采用唯象的试验方法，研究者主要依靠经验，所以结果仅适用于简单应力状态，难以准确反映复杂应力状态下岩石等材料强度的变化规律。因此，研究者借助先进的试验测试手段和数学分析方法，建立了诸多广义强度准则及理论[25]。
5. Mohr-Coulomb强度理论
在岩土工程问题分析中，Mohr-Coulomb强度理论(图1.1)在20世纪占统治地位，但该理论*大的缺点是没有考虑中间主应力的影响，中间主应力对岩石强度的影响是存在的。近100年来，对Mohr-Coulomb强度理论没有考虑中间主应力的不足进行了大量的研究。Mohr-Coulomb强度理论是各种强度理论中历史*久、研究*多、应用*广，也是被争论*多的一个强度理论。1773年，法国著名科学家和工程师Coulomb提出一个有关土体强度的定律，他认为岩土类材料受力面上的极限抗剪强度是该面上正应力的函数，其表达式为
(1.6)
式中，为材料极限抗剪强度；c为材料的黏聚力；为材料的内摩擦角；为剪切面上的正应力。
图1.1 Mohr-Coulomb屈服准则的屈服面
拉伸强度极限、压缩强度极限和黏聚力c、内摩擦角以及参数*之间的关系为
(1.7)
或
(1.8)
因此，根据不同的情况，Mohr-Coulomb强度理论可以有各种不同的表达形式，剪应力形式为
(1.9)
6. Drucker-Prager屈服准则
为了克服Mohr-Coulomb强度理论没有考虑中间主应力效应的不足，1952年Drucker和Prager提出了考虑静水压力影响的广义Mises屈服准则，常称为Drucker-Prager屈服准则(图1.2)，其表达式为
(1.10)
或
(1.11)
(1.12)
式中，*和k为Drucker-Prager屈服准则材料常数。
图1.2 Drucker-Prager屈服准则的屈服面
按照平面应变条件下的应力和塑性变形条件，Drucker和Prager导出了、k与Mohr-Coulomb屈服准则的材料常数c、之间的关系，即
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