第1章 共轭曲面磨削齿轮加工原理
1.1 齿轮共轭曲面原理与分类
1.1.1 齿轮共轭曲面原理
两个相互运动且保持相切接触（其接触形式可为点接触或线接触）的曲面互为共轭曲面。共轭曲面原理又称齿轮啮合原理，主要采用相对微分法和局部共轭理论，研究两个运动曲面的接触传动问题。通过啮合方程，采用相对微分法，以节点为参考点，根据完全共轭的两曲面瞬间啮合点的挠率与曲率关系，计算出参考点处的曲率、法矢和挠率等参数，以得到局部啮合的齿面［1］。
如图1.1所示，在两运动曲面S1、S2的接触传动中，其中一运动曲面S1固连的运动坐标系为Σ1（t），另一运动曲面S2固连的运动坐标系为Σ2（t），当曲面S1和S2在空间上某点M接触传动时，这两个运动曲面需在M点相切［1］。
图1.1 两运动曲面的接触传动关系
设在M点曲面S1的单位法矢为n1，径矢为r1；曲面S2的单位法矢为n2，径矢为r2。坐标系Σ2（t）的原点O2（t）至坐标系Σ1（t）的原点O1（t）的径矢为m，则应满足如下基本方程组：
（1.1）
设曲面S1关于坐标系Σ1（t）的相对微分为d1，曲面S2关于坐标系Σ2（t）的相对微分为d2，曲面S1 的角速度为ω1，曲面S2 的角速度为ω2，两曲面S1、S2上M点的相对速度为v12，则有
（1.2）
式（1.2）中，d1r1和d2r2位于切平面内，且与n垂直，将式（1.2）两边与曲面的公法矢n作数积，则两运动曲面在接触位置处满足如下啮合方程：
（1.3）
当两运动曲面在任意时间都按啮合方程在接触线上的某一点接触时，称它们为不完全共轭曲面（点接触共轭曲面）；当两运动曲面在任意时间都沿着啮合方程确定的曲线接触时，称它们为完全共轭曲面（线接触共轭曲面）。无论点接触共轭曲面还是线接触共轭曲面，在啮合位置处都满足方程（1.1）和（1.3）。本书主要讨论点接触共轭曲面的螺旋锥齿轮和面齿轮磨削加工。
1.1.2 共轭曲面齿轮分类与特点
磨削加工中点接触共轭曲面的齿轮主要有螺旋锥齿轮和面齿轮两类。下面简单介绍螺旋锥齿轮和面齿轮的分类与特点。
1. 螺旋锥齿轮分类与特点
螺旋锥齿轮用来传递相交或偏置轴间的回转运动，可按多种方式分类。根据齿面节线不同，螺旋锥齿轮可分为弧齿锥齿轮、延伸外摆线锥齿轮；根据主、从动轮轴线之间的相互位置不同，螺旋锥齿轮可分为正交锥齿轮、偏置锥齿轮（准双曲面齿轮）；按齿制不同，螺旋锥齿轮可分为Gleason制锥齿轮、Klingelnberg制锥齿轮、Oerlikon制锥齿轮（Oerlikon公司已合并到Gleason公司），其中Gleason齿制在各国广泛应用［2］。
与直齿锥齿轮相比，螺旋锥齿轮具有如下特点：
（1）重叠系数大，即增大了接触传动比。螺旋锥齿轮齿线是曲线形，使得齿轮在传动过程中至少有两个或两个以上的齿同时重叠交替接触，从而减轻了冲击与振动，传动平稳性好，降低了噪声［2］。
（2）螺旋角也使重叠系数增大，使负荷比压降低，磨损更加均匀，从而提高了齿轮传动的承载能力和使用寿命。
（3）可通过齿面研磨，使齿面更加光顺；还可调整加工齿轮的刀盘半径，通过修正接触区的位置，改善接触区和齿面粗糙度，降低噪声［1］。
（4）可实现较大的传动比，小轮的齿数可以少至五个。
因螺旋锥齿轮具有上述优势，故广泛应用于汽车、工程机械、军工机械等传动领域。螺旋锥齿轮主要类型和特点如下。
1）弧齿锥齿轮
该齿轮的齿面节线是圆弧的一部分，其轮齿采用断续加工方法，通过圆形端面铣刀盘切削而成，如图1.2所示。为了增大重叠系数、保证传动的平稳性，齿轮的螺旋角通常为35°。由于这种齿轮较易实现磨齿加工，磨削精度高，所以弧齿锥齿轮的应用广泛［3］。
图1.2 弧齿锥齿轮传动
2）延伸外摆线锥齿轮
该齿轮的齿面节线是延伸外摆线的一部分，采用连续分度加工方法，通过装有一定刀片组数的端铣刀盘进行切削，加工时刀盘和工件同时回转，如图1.3所示［2］。该齿轮有Oerlikon齿制、Klingelnberg齿制，生产效率较高。
图1.3 延伸外摆线锥齿轮传动
3）偏置锥齿轮
该齿轮为轴线偏置锥齿轮，即将垂直相交轴的小齿轮轴线向上或向下偏置一个距离E，齿轮的节面是双曲线螺旋体表面的一部分，如图1.4所示。轴线偏置可使小齿轮有较大的螺旋角（一般为50°左右），从而增大了小轮的端面模数和直径，提高了小轮的强度和使用寿命；由于在传动过程中沿齿长和齿高方向有相对滑动，所以齿面磨损较均匀，热处理后便于研磨，改善了接触区和齿面光洁度，降低了传动噪声；重叠系数比弧齿锥齿轮传动时要大，可使传动更加平稳，主要用于汽车等传动领域［4］。
图1.4 偏置锥齿轮传动
2. 面齿轮分类与特点
面齿轮传动是一种与圆柱齿轮相啮合的传动，与锥齿轮传动相比，具有如下特点［5］：
（1）面齿轮传动中，由于小轮为渐开线圆柱齿轮，所以互换性好，齿轮副啮合的公法线相同，作用力方向不变，啮合时无轴向载荷，从而简化了支撑结构，减轻了重量。而锥齿轮传动中有轴向载荷，使得支撑结构复杂、体积较大。
（2）面齿轮传动是一种点接触传动，能保证定传动比，振动较小，噪声较低。而锥齿轮传动虽然也是一种点接触传动，但其传动比在一定范围内变化。
（3）安装误差对面齿轮传动的影响较小，因此无需对面齿轮进行防错位设计，安装方便。而锥齿轮传动中轴向位置误差将导致严重偏载，必须进行防错位设计。
（4）面齿轮传动相比于锥齿轮传动具有较大的重合度，面齿轮传动空载时可达1.6～1.8，承载时重合度会进一步增大，提高了承载能力，增加了传动平稳性。
（5）面齿轮副中的圆柱齿轮加工互换性好，但不同面齿轮的加工刀具参数不同，会增加刀具数量，使加工成本提高；面齿轮在内径处易产生根切，在外径处齿顶出现变尖现象，面齿轮的齿宽不能设计过大，从而影响了面齿轮的承载能力。而锥齿轮副必须配对加工和使用，检测与维修复杂。
面齿轮具有上述优势，因此广泛应用于能源装备、交通运输、航空航天、工程机械等传动领域。根据面齿轮轮齿方向的不同，可将面齿轮分为直齿、斜齿和弧齿（渐开弧、弧线齿）等三种类型；根据面齿轮传动两个轴之间的相互位置，面齿轮又可分为相交轴面齿轮和偏置轴面齿轮，具有如下特点。
1）相交轴面齿轮
相交轴面齿轮传动如图1.5 所示，可分为正交面齿轮传动和非正交面齿轮传动。当面齿轮轴线与圆柱齿轮轴线夹角为90°时，为正交面齿轮传动；当面齿轮轴线与圆柱齿轮轴线夹角不为90°时，为非正交面齿轮传动。相对于采用普通锥齿轮动力分流传动装置的系统，采用相交轴面齿轮的系统重量轻（减重可达40%），传动振动小、噪声低［6］。
图1.5 相交轴面齿轮传动
2）偏置轴面齿轮
偏置轴面齿轮传动如图1.6所示，可分为偏置正交面齿轮、偏置非正交面齿轮。面齿轮轴线与圆柱齿轮轴线偏置一个距离E，当面齿轮轴线与圆柱齿轮轴线不相交且轴线夹角为90°时，为偏置正交面齿轮传动；当面齿轮轴线与圆柱齿轮轴线不相交且轴线夹角不为90°时，为偏置非正交面齿轮传动。由于偏置面齿轮齿廓的不对称性以及其齿形为斜齿，传动中可选直齿或斜齿圆柱齿轮与面齿轮进行啮合，丰富了小轮选择的种类，但偏置轴面齿轮的整体尺寸相对于相交轴面齿轮会相应变大［7］。
图1.6 偏置轴面齿轮传动
1.2 螺旋锥齿轮数控磨削原理
1.2.1 螺旋锥齿轮数控磨削概述
美国Gleason公司和德国Klingelnberg公司是螺旋锥齿轮加工机床的主要供应厂家，分别于1989年和1990年率先推出了全数控螺旋锥齿轮磨齿机，该磨齿机是一种五轴联动的万能机床，能经济高效地加工出各种齿制的螺旋锥齿轮。我国中南大学于2002年研制出国内第一台螺旋锥齿轮数控磨齿机YK2045，并于2004年推出了磨齿机YK2050和带有偏心机构能磨削成形法大轮的全数控螺旋锥齿轮磨齿机YK2050A，其加工示意图如图1.7所示［3］。
图1.7 螺旋锥齿轮数控磨齿机加工示意图
螺旋锥齿轮磨齿机的结构模型如图1.8所示，它直接用计算机控制三个直线运动轴（X、Y、Z）和两个回转运动轴（A、B），且作联动加工，磨齿时砂轮主轴C轴不参与联动，通过六轴五联动可磨削各种铣齿方法加工的收缩齿制螺旋锥齿轮副。此外，还有D轴（砂轮修整器主轴），其加工过程时为静止（图中未画出）。该磨齿机基于传统型机械摇台式磨齿机结构，其工作循环为：床鞍前进，带着工件与砂轮进入啮合，摇台（X轴和Y轴的联动）与工件的展成运动开始，待加工完一个齿槽后，床鞍退回，此时摇台与工件反向，摇台反转至其原始位置，在其反转过程中，工件分度以到达加工的下一个齿，然后床鞍前进，开始下一个循环［3］。
图1.8 螺旋锥齿轮六轴五联动数控磨齿机结构模型
该磨齿机通过X轴和Y轴的联动来模拟摇台的转动，取消了传统的摇台、偏心鼓轮装置和刀倾、刀转机构，五个轴（X、Y、Z、A、B）的联动通过多轴联动数控系统来实现，取消了所有调整环节和大部分传动链，从而消除了机械传动误差。此
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