第1章 几何约束关系的自由度分析方法
　　尺寸与公差指标用以指定几何要素相对于其理想状态的变动范围，包括几何要素的尺寸和形状的变动范围以及几何要素相对于基准的变动范围与变动模式，公差指标的正确设置必须遵循几何要素之间的约束关系。几何约束关系可用几何要素之间可测量的距离和角度参数来评价，距离和角度的方向必须是几何要素的自由度的方向。因此，公差指标就是控制几何要素在自由度方向的变动范围，而自由度分析方法是分析几何要素公差指标合理性的基本方法。几何要素的定位完整性分析、公差分析与综合的数学模型、公差标注正确性验证等技术均需应用自由度概念。传统的几何要素自由度根据人为设定的坐标系来定义，它没有反映几何要素的本质情况，本章给出的基本几何要素的本征自由度定义克服了这一缺陷，建立的本征自由度的表示及其操作算法使得几何约束关系分析具有统一和通用的方法。
　　1.1 几何要素的自由度定义
　　1.1.1 基本几何要素的传统自由度定义
　　在公差设计的合理性、正确性验证技术中，基于自由度分析的方法是传统和有效的研究方法[1-4]，人们对基于自由度的公差分析和设计技术已进行了数十年的研究，取得了大量有价值的成果[5]。有关基准约束目标自由度的关系问题早就引起了人们的注意。吴永宽等[6]提出了基准约束目标自由度的具体条件。美国机械工程师协会报告标准ASME Y14.5.1M-1994[7]也在关于基准参考框架(DRF)的定义部分讨论了自由度的概念，枚举了点、线、面的全部相对位置关系，从几何位置控制的角度得出只有六种类型的基准参考框架的结论，并列出了全部有意义的基准组合。Kramer[8]使用符号推理的方法来决定零件在装配体内的自由度。Wu等[9]将自由度模型与属性数据模型相结合来开发装配公差分析模型。Shen等[10]提出了确定一个基准体系自由度的计算代数公式，试图将基准约束自由度能力的计算用于公差验证技术中。
　　吴玉光[11]将夹具约束工件的自由度归纳为线平移自由度、线转动自由度、面平移自由度和面转动自由度等四类。公差标注也可以理解为对几何要素的约束，公差标注的正确性主要体现在公差类型选择的有效性、各种公差关系之间约束自由度的一致性、公差数值设置的合理性等多方面[12，13]，通过自由度分析就可以检查公差标注的正确性。
　　自由度分析方法源于机构组成原理中的刚体约束理论。根据运动学原理，空间刚体具有三个移动自由度和三个转动自由度，机构中构件的连接实际上就是约束了构件之间的相对自由度。因此，根据自由度分析方法就可以建立机构的组成原理。零件存在制造误差及误差分布的随机性，几何要素的实际位置相对于其理想位置必然存在微小偏离，一批零件中的同一几何要素偏离其理想位置的程度各不相同，若将几何要素根据偏离程度进行排列，则每一个位置都可以看成同一几何要素相对于其理想位置的微小位移的结果，因此几何要素也具有“运动”的特征，可见它们与刚体类似，也具有自由度性质，自由度分析方法也可用于几何要素的位置偏差分析。但与刚体的自由度又不完全相同，几何要素具有几何本身的特性，即几何要素的位置在某些方向上具有不变性，几何要素具有不动度，在不动度方向的变动不影响设计要求的功能特性，因此几何要素具有的自由度数量通常小于六个。例如，点要素没有转动自由度，直线要素没有沿平行于自身直线方向的平移自由度和绕直线自身的转动自由度，平面要素没有沿平行于平面本身的平移自由度和绕自身法线的转动自由度等，因此点、直线和平面分别只有三个、四个和三个自由度。
　　由于点、直线、平面是构成零件形体的基本几何要素，零件的尺寸公差和几何公差均以其作为标注和测量的对象，几何要素的自由度分析方法首先需要研究点、直线和平面等三个基本几何要素的自由度。受自由度原始概念的影响，基本几何要素自由度的传统定义仍然借用刚体自由度的表示方法，即沿直角坐标系的三个坐标轴方向的平移自由度(T)和绕三个坐标轴的转动自由度(R)，如图1.1(a)～(c)所示。习惯表示法中，基本几何要素自由度沿坐标轴方向确定，但坐标系的定义却没有明确的规定，因此自由度方向的定义尚不明确，而且对于同一个几何要素在不同的坐标系下就会出现不同的自由度。此外，在没有坐标系定义的场合，自由度也没有办法表示。
　　图1.1 基本几何要素的自由度的习惯表示法
　　基本几何要素自由度的习惯表示法没有体现几何要素自身的几何特性，即没有将基本几何要素所具有的自由度与几何要素自身的几何特性建立联系，当将其应用于公差分析和测量时，还存在着诸多问题，这些问题包括：①约束自由度计算公式没有通用性，不能处理被测目标与基准处于一般位置的情况；②不能明确指明约束某一特定自由度的具体基准要素，因此无法区分各项公差与具体基准要素的关系，从而不能支持公差检验和公差标注正确性分析。这是习惯表示法不便于建立基准要素约束自由度能力计算公式的原因，也使得当前计算机辅助设计(computer aided design，CAD)软件的公差模块均缺少了公差标注合理性检查功能。以上情况说明基本几何要素的自由度的习惯表示法是存在问题的。
　　1.1.2 基本几何要素的本征方向和本征自由度定义
　　一个几何要素的定位必然相对于一个参照系进行，这个参照系就是基准或者基准体系，而基准也必定由几何要素来承担，基准必须从基本几何要素中提取，因此公差技术中确定几何要素的位置必然要和其他几何要素联系起来，而不能孤立讨论几何要素的自由度或者仅根据几何要素自身来设置坐标系，几何要素的自由度的定义必须在这一前提下进行。事实上，每一个目标几何要素都有一个与自身以及和其基准要素的几何特性相关的固有方向，本书将这个固有方向定义为基本几何要素的本征方向。对于直线要素，本征方向为直线本身；对于平面要素，本征方向为目标平面的法线方向；对于点要素，本征方向则根据不同的基本几何要素的几何类型可分为基准点指向目标点的方向、经过目标点的基准直线的垂线方向、经过目标点的基准平面的法线方向等三种情况。
　　根据本征方向特性，可以将基准要素对目标要素自由度的约束要求分为四类：①约束沿本征方向的一个平移自由度；②约束垂直于本征方向的全部平移自由度；③约束沿本征方向的一个转动自由度；④约束垂直于本征方向的全部转动自由度。本征方向的定义使得自由度除了平移和转动两个类型特性，还有平行和垂直于本征方向两个方向特性。与这些约束能力相对应，这些被约束的自由度也分为四类：①线平移自由度，即沿一个给定方向的平移自由度；②面平移自由度，即沿一个平面内任意方向的平移自由度，或者说沿垂直于一个给定方向的平移自由度；③线转动自由度，即绕一个给定轴线的转动自由度，或者说沿旋转轴方向固定的转动自由度；④面转动自由度，即绕一个平面内任意轴线的转动自由度，或者说旋转轴垂直于一个固定方向的转动自由度。这四类自由度的总和正好就等于几何要素的全部自由度，因此几何要素的传统的三个平移自由度和三个转动自由度可以划分为以上四个类别，本书将这四类自由度命名为本征自由度。
　　点、直线和平面等三个基本几何要素的本征自由度如图1.2所示，点具有一个线平移自由度T和一个面平移自由度TT，直线具有一个面平移自由度TT和一个面转动自由度RR，平面具有一个线平移自由度T和一个面转动自由度RR。这些本征自由度的方向均沿着几何要素的本征方向，几何要素的本征方向确定之后，本征自由度也就直接确定了，可见本征自由度的确定脱离了几何要素的位置坐标系，因而即使在没有定义坐标系的场合也可以利用本征自由度来说明几何约束的问题。
　　图1.2 基本几何要素的本征自由度
　　图1.2中，Tu、Tv和Ru、Rv分别表示方向已经确定的线平移自由度和线转动自由度。例如，Tu和Tv分别表示相互垂直且分别沿u轴和v轴方向的线平移自由度，这里的u、v轴相对于x、y轴分别转动一个角度；Ru、Rv分别表示绕u轴和v轴的线转动自由度，且u轴和v轴相互垂直。图1.2中用两个字母TT和RR分别表示面平移自由度和面转动自由度，用一个字母T和R分别表示线平移自由度和线转动自由度，用带下标的字母T和R分别表示沿下标所代表方向的线平移自由度和线转动自由度。由图1.2可知，当已知时，TT就可以分解为Tu和Tv，RR就可以分解为Ru和Rv。因此，本征自由度和传统自由度在一定条件下可以相互转化，相对于传统的自由度定义，线平移自由度和线转动自由度就是传统的给定方向的平移自由度和转动自由度，面平移自由度可以转化为两个独立的线平移自由度，面转动自由度也可以转化为两个线转动自由度。由此可见，当已知时，点、直线、平面等基本几何要素的本征自由度和传统的自由度是完全等价的；当不确定时，面平移自由度和面转动自由度的位置和方向都是可以确定的，但此时传统自由度方向的确定就缺乏依据了。
　　1.1.3 成组要素的本征自由度定义
　　成组要素是由一组类型相同的几何形体按一定的规则阵列布置而组成的几何整体，几何形体由点、直线、平面组合而成，因此成组要素也是由点、直线、平面组成的一个整体几何图框。组成成员的常见排列有圆形阵列和矩形阵列两种布置方式，此外还有沿直线布置和沿曲线布置等特殊的阵列形式。成组要素具有布局和成员两个特性，公差项目对成组要素位置变动的控制也由两部分组成：一部分为几何图框整体相对于基准位置变动的控制，另一部分为成员要素之间的相对位置变动的控制。成组要素作为一个整体与外部基准建立几何公差关系，成员要素之间位置变动的控制通过限制成员要素的坐标位置误差来进行，坐标系则由几何图框确定。
　　成组要素的自由度数量与成员要素和刚体的自由度数量均不相同。首先，成组要素阵列是一个几何图框，它具有比成员要素更多的自由度，如圆形阵列成组要素，其几何图框为圆柱体，该圆柱体除了具有直线的自由度，还具有绕圆柱轴线的转动自由度。其次，成组要素的几何图框具有柱类体性质，即它没有沿柱类体长度方向的一个移动自由度。因此，根据自由度的习惯表示法，成组要素一般具有两个平移自由度和三个转动自由度。
　　成组要素的本征方向和本征自由度可以根据几何图框的约束情况进行定义。对于矩形阵列和圆形阵列的成组要素，其几何图框的位置和方向的约束均可以通过约束其中的一对正交矩形平面来实现。这对正交矩形平面可以根据成组要素的阵列方式进行选取，对于圆形阵列，这对正交矩形平面就是圆柱体的两个正交的直径平面；对于矩形阵列，这对正交矩形平面就是空间立方体的两个对称面。几何图框的本征方向定义为这两个正交矩形平面的交线方向，几何图框的自由度就是这两个正交矩形平面的本征自由度的逻辑和，成组要素的本征自由度的表示如图1.3所示。图中点划线代表几何图框的端面形状，细实线边框代表两个正交矩形平面，与几何图框相连的坐标系的z轴为两个正交矩形平面的交线，x轴方向为其中一个正交矩形平面的法线方向，y轴方向为另一个正交矩形平面的法线方向。对于矩形阵列的成组要素，其两个正交矩形平面相对于成组要素本身是固定的，因此这个坐标系的三个坐标轴的方向均为确定的方向，成组要素的本征自由度方向也是确定的，z轴方向有一个线转动自由度Rz，x、y轴方向分别各有一个线平移自由度Tx、Ty和线转动自由度Rx、Ry。但对于圆形阵列的成组要素，这个坐标系只有z轴的方向是固定的，x、y轴方向还要通过其他条件的确定，图1.3(b)是确定了坐标系方向的自由度情况，对于未确定坐标系方向的圆形阵列的成组要素，其本征自由度只能分解为一个线转动自由度、一个面转动自由度和一个面平移自由度。
　　图1.3 成组要素的本征自由度的表示
　　1.2 本征自由度的表示和操作运算
　　为了应用本征自由度进行公差分析，需要定义本征自由度的逻辑运算操作算子，包括自由度的合并和分解两种操作。一个几何要素所具有的本征自由度的合并是一种逻辑求和，即参与合并的两个移动自由度或两个转动自由度分别逻辑相加。一个几何要素所具有的本征自由度的合并有以下四种情况：
　　(1) 两个不同方向

目录
前言
第1章 几何约束关系的自由度分析方法 1
1.1 几何要素的自由度定义 1
1.1.1 基本几何要素的传统自由度定义 1
1.1.2 基本几何要素的本征方向和本征自由度定义 3
1.1.3 成组要素的本征自由度定义 4
1.2 本征自由度的表示和操作运算 6
1.3 本征自由度与几何公差的关系 6
1.4 基本几何要素约束自由度原理 10
1.4.1 基本几何要素距离测量方向线和角度测量平面的概念 10
1.4.2 基本几何要素之间的DMDL和AMP 12
1.4.3 基准要素和目标要素之间的DMDL和AMP情况举例 14
1.4.4 几何要素之间的DMDL和AMP的确定方法 15
1.5 基准要素的约束自由度能力计算 17
1.6 本章小结 19
参考文献 20
第2章 几何要素控制点变动模型 21
2.1 公差的数学模型 21
2.2 基本几何要素的控制点 22
2.2.1 几何要素的理想坐标系 22
2.2.2 实际几何要素的替代几何表示 23
2.2.3 基本几何要素的控制点定义 24
2.2.4 控制点的变动空间与公差带的关系 24
2.3 基于几何要素控制点表示的公差数学模型 25
2.3.1 平面要素的CPVM 25
2.3.2 直线要素的CPVM 28
2.3.3 点要素的CPVM 29
2.3.4 圆柱要素的CPVM 30
2.4 基于CPVM和蒙特卡罗模拟的公差分析方法 31
2.4.1 几何要素的仿真实例生成方法 31
2.4.2 装配公差分析流程 31
2.4.3 装配尺寸公差分析实例 32
2.5 本章小结 34
参考文献 34
第3章 几何要素的基准体系及其建立规则 37
3.1 基准参考框架和模拟基准要素 37
3.2 基准要素的几何类型 39
3.3 基准坐标系的构造元素 43
3.4 构造元素与基准几何的关系 44
3.5 构造元素的确定规则 45
3.6 建立构造元素的递归算法及其在基准要素正确性验证中的应用 45
3.6.1 建立构造元素的递归组合方法 45
3.6.2 基准要素有效性和基准体系完整性验证规则 47
3.7 基准坐标系自动建立算法流程 49
3.8 基于CPVM的模拟基准要素的确定方法 50
3.9 基于CPVM的平面基准要素的DFS建立方法 51
3.9.1 平面要素的DFS2的确定方法 52
3.9.2 平面要素的DFS3的确定方法 53
3.10 基于CPVM的圆柱基准要素的DFS建立方法 54
3.10.1 圆柱要素的CPVM 54
3.10.2 圆柱要素的DFS2和DFS3的确定方法 55
3.11 基于CPVM的棱柱基准要素的DFS建立方法 55
3.11.1 棱柱要素的CPVM 55
3.11.2 棱柱要素的DFS2的确定方法 56
3.11.3 棱柱要素的DFS3的确定方法 57
3.12 基于CPVM的模拟基准要素确定方法实例分析 58
3.13 本章小结 59
参考文献 60
第4章 几何要素误差传递关系图及其建立方法 61
4.1 机器模型中几何要素误差传递关系 61
4.2 零件装配位置误差传递关系模型 62
4.3 零件内部几何要素位置误差传递关系模型 65
4.4 零件之间误差传递关系图建立方法 70
4.4.1 CAD装配模型中的装配关系树结构 70
4.4.2 零件之间误差传递关系图的数据结构 71
4.4.3 零件之间装配关系图自动建立算法 73
4.5 零件内部几何要素误差传递关系图建立方法 73
4.5.1 误差传递关系图的基本单元 74
4.5.2 三维尺寸公差标注的隐含信息 75
4.5.3 尺寸标注关联要素的基准-目标关系确定规则 76
4.5.4 隐含关系的判断规则 78
4.5.5 零件内部几何要素误差传递关系图自动建立数据准备 78
4.5.6 零件内部几何要素误差传递关系图自动建立算法 79
4.6 装配体几何误差传递关系图的自动建立实例 82
4.6.1 几何公差标注的基准-目标关系确定 82
4.6.2 零件之间几何要素误差传递关系图自动建立算法实例 83
4.6.3 零件内部几何要素误差传递关系图自动建立算法实例 84
4.7 本章小结 86
参考文献 87
第5章 装配模型的坐标系体系及其自动建立方法 89
5.1 基于坐标变换矩阵的几何要素位置计算方法 89
5.2 相关研究介绍 90
5.3 机器装配模型中的坐标系体系结构 91
5.3.1 零件在机器中位置的定义路径 91
5.3.2 几何要素在零件中位置的定义路径 92
5.4 机器模型中坐标系建立规则 93
5.4.1 基准参考框架坐标系相对于第一基准要素实际坐标系的坐标变换矩阵 93
5.4.2 几何要素理想位置坐标系相对于DRF的坐标变换矩阵 96
5.4.3 零件全局坐标系设置及其相对于CAD模型坐标系的坐标变换矩阵 97
5.4.4 零件全局坐标系相对于定位基准实际坐标系的坐标变换矩阵 97
5.5 目标要素在机器坐标系中位置的确定原理 98
5.6 机床主轴系统误差分析实例 100
5.6.1 主轴系统误差传递关系分析 101
5.6.2 主轴系统误差传递关系模型 103
5.6.3 主轴锥孔位置模拟计算方法 104
5.7 本章小结 105
参考文献 106
第6章 基于真实机器模型的装配位置计算方法 108
6.1 装配接触面对的配合形式 108
6.2 贴合接触情况下的接触面几何类型分析 109
6.3 基于替代几何的装配接触位置分步求解算法原理 112
6.4 三平面装配接触位置分步求解算法 113
6.4.1 基于替代几何的装配位置计算原理 113
6.4.2 面面对齐时第二基准替代平面接触位置的计算原理 115
6.4.3 面面对齐时装配零件的转动和平移参数的计算步骤 116
6.4.4 第三基准替代平面接触位置的确定 117
6.5 本章小结 119
参考文献 119
第7章 公差因子敏感度的自动计算方法 120
7.1 研究现状 120
7.2 敏感度的基本概念 121
7.2.1 敏感度的数学定义 121
7.2.2 工程应用软件对敏感度的定义方式 122
7.2.3 基于控制点变动模型的敏感度数值计算方法 123
7.3 目标要素在机器坐标系中位置的矩阵表示方法 124
7.4 几何要素实际坐标系相对于理想坐标系齐次坐标变换矩阵的旋量
参数表示 125
7.5 雅可比旋量为参数的测量目标齐次坐标变换矩阵表达式 128
7.6 基于雅可比旋量齐次坐标变换矩阵的敏感度自动计算方法 131
7.7 本章小结 133
参考文献 134
第8章 尺寸公差和几何公差关联设计方法 135
8.1 公差相关要求的尺寸公差和几何公差设计存在的问题 135
8.2 装配作用尺寸的计算方法 137
8.2.1 单一尺寸要素自由装配的作用尺寸和极限作用尺寸 137
8.2.2 关联要素基准定向装配的作用尺寸和极限作用尺寸 139
8.2.3 关联要素基准定位装配的作用尺寸和极限作用尺寸 142
8.3 公差相关要求的适用条件 146
8.4 应用公差相关要求的尺寸公差和几何公差关联设计方法 148
8.4.1 单个要素保证距离要求的尺寸公差和几何公差关联设计方法 149
8.4.2 成对装配保证间隙或过盈的几何尺寸与公差关联设计方法 152
8.5 尺寸公差和几何公差关联设计案例 153
8.5.1 单个要素保证距离要求的尺寸公差和几何公差关联设计实例 153
8.5.2 成对要素基准定位装配的尺寸公差和几何公差关联设计实例 154
8.6 本章小结 155
参考文献 156
第9章 应用公差相关要求的几何要素检测检验技术 158
9.1 应用公差相关要求的几何要素检测存在的问题及研究现状 158
9.2 应用公差相关要求的尺寸要素几何类型 160
9.2.1 应用公差相关要求的目标要素几何类型和公差带形状 160
9.2.2 多个基准应用相关要求情况下的组成形式 163
9.3 两个基准要素应用公差相关要求情况下的几何要素检测方法 165
9.3.1 两个基准要素应用相关要求的检验原理 165
9.3.2 两个基准应用公差相关要求情况下的扩大公差带的确定 169
9.4 各种基准组合情况下检验公差带的确定方法 170
9.4.1 圆柱基准和直槽基准对心组合下的目标要素公差带确定方法 170
9.4.2 圆柱基准和直槽基准不对心组合下的目标要素公差带确定方法 172
9.4.3 直槽基准和圆柱基准不对心组合下的目标要素公差带确定方法 174
9.4.4 两个圆柱基准组合下的目标要素公差带确定方法 176
9.4.5 两宽度要素基准组合下的目标要素公差带确定方法 178
9.5 转移公差计算实例 179
9.6 本章小结 180
参考文献 181
第10章 装配公差分析自动化原型软件介绍 183
10.1 自动化公差分析软件的基本介绍 183
10.2 公差分析过程的结构化关键技术 184
10.2.1 控制点变动模型 184
10.2.2 装配公差自动分析的坐标系体系 185
10.2.3 基于替代几何的装配接触位置计算方法 187
10.2.4 机器误差传递关系模型及其建模方法 188
10.3 装配公差分析自动化方法的算法流程 189
10.3.1 公差分析原型软件SwTol介绍 189
10.3.2 原型软件进一步开发设想 191
10.4 本章小结 192
参考文献 192