第1章绪论
1.1壁板颤振问题工程背景
随着飞行速度提高、结构质量轻便等要求的提出，一些新型飞行器如高速民用运输机，可重复使用的发射器，X33、X34及X38等空天飞行器以及高性能战斗机YF22、JSF等都面临着可能的壁板颤振问题［1］，如图1.1［2］所示。壁板颤振是飞行器蒙皮结构或其他薄壁结构在气动力、惯性力及弹性力的共同作用下发生的一种自激振动，是一种气动弹性不稳定现象。壁板颤振可能造成的后果有：①产生强烈的噪声；②壁板在长时间的振动后发生疲劳开裂甚至在飞行中破碎；③壁板覆盖的或其附近的设备失效。*早发生的壁板颤振案例是第二次世界大战中德国的V2火箭，当时有70余枚发生了事故，发生事故的真正原因是火箭头部的壁板结构发生了颤振。20世纪50年代，由于壁板颤振引起液压管路断裂，一架美国战斗机在试飞中坠毁。1992年AIAA动力学专家会议上的一篇报道指出，由于壁板颤振问题，F117A隐身战斗机在试飞中大约有一半的复合材料蒙皮出现了裂纹。因此，1985年颁布实施了美军标《飞机结构通用规范》，要求对蒙皮壁板进行防颤振设计。长期以来，我国在进行飞机结构设计时并没有考虑壁板颤振问题，设计规范中也没有对此提出要求。但是从1988年末起，我国系列飞机也因为壁板颤振问题相继出现了严重的方向舵蒙皮裂纹故障［3］。总之，远至国外的新型飞行器，近至国内的民用飞机，都发生过形形色色的壁板颤振问题。因此，壁板颤振问题是国际学术界与工程界广泛关注的一个问题。
图1.1工程实践中的壁板颤振问题［2］
壁板颤振主要有以下几个特点［4，5］：①壁板颤振是一种典型的超声速现象，大部分壁板颤振现象均发生在超声速气流中；②在飞行器的壁板颤振问题中，气流仅作用在壁板的一个表面上；③发生壁板颤振时，由于受到结构非线性的影响，一般呈现出有限幅值的极限环振动。因此壁板颤振通常不会引发迅速的结构破坏，而是造成结构的疲劳损伤的累积；④在马赫数Ma>2.2的超声速和高超声速壁板颤振研究中，一般要考虑气动加热的影响［613］。在热环境下，气动加热产生的温度效应将影响壁板的颤振特性，具体体现在两个方面［14］：①温度的升高使材料的力学性能发生改变；②结构受热时，如果出现温度分布不均匀或者结构变形受到约束，都要产生热应力。这时，在弹性力、惯性力、气动力和热载荷的耦合作用下，结构、材料、气动力等方面的非线性效应异常显著，必须采用非线性的颤振理论来研究。研究非线性壁板颤振问题，有助于加深对壁板颤振机理的理解，从而找到设计参数对壁板颤振稳定性边界的影响规律，指导飞行器工程中高速飞行器的壁板设计工作。同时由于壁板颤振研究涉及多个学科的知识，其建模方法、分析方法和控制方法均能体现各学科的发展，而且能够在非线性气动弹性力学研究和气动热弹性力学研究等领域得到广泛应用。因此，壁板颤振研究不仅理论意义重大，而且具有重要的工程实用价值。
壁板颤振属于气动弹性力学的范畴，而气动弹性又是流固耦合问题的一个重要分支。流体与固体之间的相互作用是大自然中*为常见的力学现象之一。例如，微风掠过树叶、大雁翱翔于天空、鱼儿畅游于水中等都体现着一种和谐的力学之美。不仅限于自然事物，人类制造的飞行器、机械、桥梁、船舶等文明产物也在不可避免地与浸没它们的流场环境相互作用着。壁板颤振是流固耦合力学在航空航天工程上的一个典型问题，而流固耦合问题在很多领域都是普遍存在的（图1.2）。
图1.2工程中不同领域的流固耦合问题
1）飞机机翼颤振问题［15-22］
（1）高超声速飞行器或火箭等蒙皮颤振问题［1，5，23-27］。
（2）直升机桨叶颤振问题［28，29］。
（3）叶轮机转子的气动弹性问题［30，31］。
（4）太阳帆板“光压弹性”问题［32］。
2）土木工程
（1）大跨度悬索桥的风桥耦合问题［33-35］。
（2）大桥拉索的风致振动［36］。
（3）高耸大楼的风致响应［37］。
（4）水坝耦合［38］。
3）高速火车上亚声速壁板颤振问题［39］（Ma<0.4）
4）船舶水弹性力学［40］
5）石油化工
（1）输液管道中液体与管道的相互耦合振动问题［41］。
（2）装液容器的液体晃动问题［42］。
6）生物化学
（1）呼吸气流与口腔软腭的气动弹性问题［43］（“打鼾”现象的机理）。
（2）血液在血管中流动［44］。
7）机械仿生学［45］
8）长细丝在流体中振动及旗帜挥舞［46，47］
9）风能采集装置［48］
综上，形形色色的流固耦合问题已经涉及航空、航天、航海、石油、化工、机械、生物医学、生物仿生学等各个领域，甚至体育产业也与之有密切关系。据报道，adidas公司设计的世界杯用球“团队之星”、“普天同庆”及“桑巴荣耀”都进行了多次风洞实验，以确保比赛用球的稳定性。从力学的角度来说，流固耦合问题主要涉及流体力学、固体力学、动力学与控制以及热力学，是一门复杂的交叉学科。壁板颤振的研究可以为其他领域的流固耦合问题提供理论依据，因此具有重要的学术理论意义。
1.2壁板颤振问题概述
壁板颤振的研究始于20世纪50年代，经历了从线性理论到非线性理论的发展过程。在线性理论中，认为存在一个临界速度（动压），当气流速度超过这个临界值时，壁板的运动以指数形式发散，而在临界速度以内，壁板在小扰动作用下，会不断衰减*终稳定到未变形的状态。但是，在壁板运动以指数形式发散的过程中，运动幅值不断增大，当横向位移达到了壁板厚度的量级时，结构的几何非线性会产生一个面内薄膜力，因此，壁板的运动在有限幅值内做极限环运动。几何非线性表现为结构的应变位移呈非线性关系。壁板颤振涉及结构和气动两个方面，因此根据结构理论和气动理论采用的是线性模型还是非线性模型，将壁板颤振问题的分析模型分为不同的种类。*早在1970年，Dowell［49］较为全面地对20世纪70年代以前的壁板颤振的研究做了总结，并将壁板颤振分析模型分为了四类。1993年，基于非线性活塞理论用于高超声速壁板颤振的分析理论，Gray和Mei［50］拓展出了第五类分析模型。随着气动理论的进一步发展，更精确的计算气动力的方法如欧拉（Euler）方程及纳维斯托克斯（Navier-Stokes）方程被提上日程。因此，Gray和Mei［50］将壁板颤振的分析模型拓展到了第六类（表1.1）。在非线性壁板颤振研究中，多采用冯 卡门（von Karman）板理论的非线性应变位移关系考虑壁板的几何大变形，采用Ashley和Zortarian［51］建立的活塞理论计算壁板表面的气动力。其中线性活塞理论适于Ma<5的低超声速，对于Ma>5的高超声速，应采用三阶活塞理论，从而能够更好地体现气动力的非线性效应。在非线性壁板颤振分析中，结构的几何非线性引起的壁板平面内张力起到“硬弹簧”效应，振动幅值因受到限制而产生限幅运动。相反，气动力的非线性起到“软弹簧”的作用，导致壁板颤振的临界动压降低［5］。已有研究［25］表明，不同参数下壁板的颤振可能呈现五种响应形态：衰减振动、屈曲振动、极限环振动、准周期振动及混沌振动。考虑到气动加热对颤振特性的影响，它会进一步降低颤振边界，并使非线性颤振响应呈现出更复杂的变化。
表1.1壁板颤振分析模型分类
目前用得*多的是第三类，*具有代表性的是Dowell在1966年的研究工作［25］，基于von Karman板的大变形理论描述结构的几何非线性，采用一阶活塞理论计算气动力，建立了二维及三维简支壁板的颤振运动方程，运用伽辽金方法对运动微分方程进行了空间离散，*后结合数值积分四阶龙格-库塔（fourth-order Runge-Kutta method， RK4）方法求解位移时间响应。该模型数学建模简单，分析结构比较典型，因此，在之后对壁板颤振的机理研究、降阶模型研究及数值分析方法研究中，经常被用作标模以验证结果的准确性。
1.3壁板颤振问题分析方法
由于壁板结构是连续系统，壁板颤振方程中同时包含壁板运动的空间信息和时间信息，因此壁板颤振问题的数学方程是一个非线性偏微分方程组。那么，研究壁板的颤振问题在数学上就是求解非线性偏微分方程组的初值和边值问题。由于非线性的存在，一般来说它的精确解是不存在的，因此，只能求助于近似解法。这里暂且抛开壁板颤振这个物理背景，从数学角度更具一般性地总结非线性微分方程组的求解方法。
求解非线性偏微分方程组的近似解法，首先将无限维问题转化为有限维问题，即进行空间离散。*早的空间离散方法是有限差分法。后来发展的方法都是在加权余量法（weighted residual approach）的思想上建立起来的，即用加权余量法迫使微分方程组空间域上的加权余量在某种平均意义上为零，但是在每个求解点上不一定为零。加权余量法，又称加权残量法或加权残余法。当求解点数目n取有限值时，定解方程存在偏差（余量）。取权函数，强迫余量在某种平均意义上为零。采用使余量的加权积分为零的等效积分的弱形式来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。加权余量法在固体力学中是求解线性、非线性微分方程的一种有效方法，它是基于等效积分形式的近似方法，也是通用的数值计算方法。有限元法、边界元法、无网格法都是加权余量法的特殊情况，由于这三种方法各有其特点，所以都各自发展为一种独立的方法。加权余量法*早用于流体力学、传热等科学领域，之后在固体力学中得到了更大的发展。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效方法，而且任何独立的完全函数都可作为权函数。加权余量法分为内部法、边界法和混合法，在内部法中，又可分为：①配点法，以狄拉克δ函数（Dirac delta function）作为权函数；②子域法，如有限体积法；③*小二乘法；④力矩法；⑤伽辽金法。下面给出一些常用方法的简单介绍。
（1）配点法［52］。试函数可以是全局函数或局部函数，试函数完备且满足连续性要求，权函数取狄拉克δ函数。配点法的实质是保证残值函数在某些有限点上为零，但是并不能保证在整个求解域上满足加权余量为零，而且，在这有限个点以外的点上，不能排除近似解不会产生显著的残差，因此，配点法不能保证解的精确性。
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