第1章 量子器件的物理基础
19世纪末，英国著名物理学家汤姆孙总结了物理学所取得的成就，他说，物理学的大厦已经完美地建立起来了，但是晴朗的天空飘着两朵乌云，一朵是以太漂移，另一朵是黑体辐射的紫外灾难。汤姆孙勋爵一语中的，恰恰是这两朵乌云在20世纪初催生了现代物理学的两大支柱，以太漂移催生了相对论，黑体辐射的紫外灾难催生了量子论，进而发展出来对人类社会发展和我们日常生活影响巨大的量子力学[1]。相比较于经典力学，相对论对人们看待时空带来了重大的改变。可是量子力学对于经典力学的革命性改变远远超过了相对论，比如经典力学和我们日常生活中习以为常的因果律、测量、轨迹等概念，都被如测不准关系、几率波、量子态等全新的概念所改变。量子力学无论是在物理理论发展方面，还是在实际技术应用方面，都取得了很大的成功。量子力学的所有结论都经受住了实验的验证，量子力学在原子分子物理、原子核物理、粒子物理、光学、凝聚态物理、化学、生物等领域都得到了广泛的应用。诺贝尔物理学奖很多颁给与量子论或者量子力学相关的成就。量子力学是晶体管和激光器的理论基础之一，晶体管和激光器的发明催生了个人计算机、手机、互联网、移动通信和光纤通信等信息技术，造就了我们现在所处的信息时代。
可是，由于量子力学的基本概念实在与人们对物理世界的感知完全不同，与千百年来人们对物理世界的认识所建立起来的常识相违背，人们很难理解和接受量子力学，一些重要的概念在很长一段时间里都存在着较大的争议。费曼这样的天才物理学家都自认为不懂量子力学。但是，随着技术的进步，实验能力的大幅度提高，更加进一步验证了量子力学的正确性。
本章是为读者对量子器件的理解提供一个初步的、概念性的量子力学基础。对于以先进半导体工艺制备出来的量子器件，读者掌握初等非相对论量子力学的一些基础知识及其在固体中的应用，就能够对量子器件的工作原理建立起基本的认识，有助于人们在科技政策制定、投资决策等提供必要的初步知识准备和常识。
我在这里提醒读者，看明白本章的内容基本上不需要数学基础知识，只需要读者清空自己的脑袋，不要去纠缠本章所叙述概念的背景，不要与我们周边的认知和常识相比较，建议以看科幻小说的方式和心态(需要说明的是，内容绝不是科幻小说，而是实实在在的物理学，当然，这个认知等看完了本章内容再回味效果会更好)，轻松地阅读下去，就能欣赏量子力学的奥妙，掌握本章知识。
1.1 量子力学基础
量子器件里扮演主角的是电子，电子的质量只有，经典电子半径，是典型的微观粒子，电子的运动行为与我们所看到的宏观物体的运动完全不同。1924年法国物理学家德布罗意在他的博士论文中，根据光子的波粒二象性，提出了像电子这样的微观粒子也应该像光子一样具有波粒二象性，微观粒子的这种波动特性，称为物质波，也叫德布罗意波。德布罗意根据光波长与普朗克常数的关系，推导出微观粒子的物质波长公式为(1.1)，其中，λ为物质波长，为普朗克常数，p为粒子的动量。
人们会好奇地认为，光的波动性早在1807年就被杨氏双缝干涉实验所验证[2]，为啥微观粒子的波动性一直没有人注意。关键就在于波长的差别太大。对于能量为1eV的光子，光的波长为1.24μm，在两百年前显微镜技术的进步，人们能够测量微米尺度的物理量，验证波长为微米级的光波动性不足为奇。但是，对于能量为1eV的电子，电子的动量和能量已经非常小了。请注意，电子的物质波长与动量成反比，能量越小、动量也就小，相应的物质波长就应该越长。1eV的电子物质波长是，即1.24nm，为同等能量光子波长的千分之一。100年前，人们没有办法直接测量纳米尺度的物理量，物质波概念就只有靠天才的德布罗意大胆地猜出来了。人们当时对德布罗意关于物质波的大胆猜想很难接受，他的导师法国著名物理学家郎之万教授只好把他的论文寄给爱因斯坦评判。爱因斯坦对此大加称赞，德布罗意才拿到博士学位。
采用类似于杨氏双缝干涉来直接验证电子的波动性在当时是不可行的。好在劳厄早在1912年成功地观测到了X射线照射晶体出现的衍射现象，这个实验发现是科学发现史上著名的一箭双雕，既发现了X射线也是一种波，又发现了晶体的周期性点阵结构。对X射线而言，晶体实际上就是一个三维光栅，而且是名副其实的纳米级或者亚纳米级光栅。德布罗意提出物质波概念以后，美国贝尔实验室的戴维森和革末于1926年就观测到了电子束照射到晶体上出现的衍射现象，验证了电子的波动性。
这时候，物理学家立即提出来了两个问题：第一，物质波到底是一种什么样的波，是横波还是纵波；第二，物质波需要有波动方程。把这两个问题回答好了就把量子力学的基础搭建好了。量子力学本质上就是物质波的波动力学。有意思的是两位年轻的物理学家在1926年首先回答好了第二个问题，分别是来自奥地利的薛定谔提出来的薛定谔方程，来自德国的海森堡提出的矩阵力学，随后英国年轻的物理学家狄拉克证明了二者是等价的。海森堡的矩阵力学和薛定谔方程经常被交替使用。薛定谔方程处理低速的微观粒子运动很有成效，称之为非相对论量子力学的波动方程。狄拉克紧接着提出了相对论量子力学的波动方程，能够解释电子自旋量子数，也预测到了正电子的存在，称为狄拉克方程。20多年后，天才的物理学家费曼又提出来了量子力学的另一种描述方式，称为路径积分，在量子电动力学里和粒子物理得到了广泛的应用。下面简要介绍在量子器件里非常有用的薛定谔方程[3]：(1.2)
这是一个复二阶偏微分方程，是复数，称为波函数，这是物理学家第一次把复数真正赋予了物理含义，人们过去也使用复数，那都是为了数学处理的方便。V(r，t)是粒子所处的势场，是空间坐标r和时间坐标t的函数，不同的量子力学问题实际上就是势场V(r，t)的不同。此方程是薛定谔在经典力学的哈密顿描述中*小作用量原理基础上猜出来的，方程是否正确需要靠实验来检验，这是理论物理学与纯粹数学的区别，数学定理要靠逻辑推理来检验。
薛定谔方程*先用来求解氢原子问题，获得了巨大的成功，能够圆满地解释当时氢原子的所有光谱测量实验结果，因而人们很快就接受薛定谔方程。氢原子是一个带负电荷的电子围绕着带正电荷的质子运动，是一个典型的二体问题，势场是库伦势，求解相对容易。当时对氢原子光谱特性的实验研究非常充分，波尔提出来的电子围绕质子运动的轨道量子化能够解释氢原子的光谱实验数据，但是，波尔的理论是生硬假设，猜测出来的结论。薛定谔方程从电子的波动性出发很自然地解释了氢原子的光谱实验。
回过头来看薛定谔方程里的，是空间坐标r和时间坐标t的函数，称为波函数。波函数到底是啥，薛定谔自己也说不清，而且一辈子他都认为别人也没有说清楚。其实，把波函数说清楚了，就回答了前面提到的物质波到底是什么的问题。薛定谔对广泛被人接受的几率波解释也不赞成，他提出来了著名的“薛定谔的猫”，到底是死猫是活猫还是不死不活的猫来诘难物质波的概率解释。对波函数和物质波本质的解释面临逻辑上的矛盾，首先是一个复变量函数，我们知道复数是无法测量的，我们能够测量到的物理量一定是一个实实在在的存在，一定是一个实变量。另一个原因是，粒子是局域的，在空间总是存在一定的范围，但是，波是非局域的，在空间是扩展的。因为即使电子的德布罗意波长只有1nm，也比电子的直径大约6个数量级。1926年，德国犹太裔物理学家波恩对波函数提出了著名的统计诠释，把微观粒子的波粒二象性的逻辑矛盾解决了。波恩认为物质波本质上是一种几率波，波函数被称为几率波幅，粒子波动的空间非局域特性是以的几率大小出现在扩展的空间和时间里来表现，是波函数的复共轭。可以简单地认为：粒子出现在空间某一位置的时刻，粒子是局域的，占有的空间还是取决于它的直径大小，但是，粒子出现在空间这一位置是不确定的，以一定大小的几率出现。是复变量函数不可测量，但是是几率密度分布，是可以测量的。(1.3)
波函数通过这个空间积分进行归一化，说明在非局域的空间里总能够找到一个粒子，而且也只能够找到一个粒子。等同为几率密度分布函数。请大家注意，粒子的运动既是不确定性的，又是确定性的。粒子是以几率形式出现在空间和时间里，这是不确定的；另一方面，决定粒子出现在时空的几率幅即波函数，却由薛定谔方程唯*确定。薛定谔方程是二阶线性偏微分方程，只要给定了初始条件和边界条件，解是存在并且唯*的。因为薛定谔方程不是非线性的，无法推导出混沌解，即出现量子混沌是有争议的[4]，有兴趣的读者可以进一步去读这方面的文章。
波函数统计诠释是量子力学的支柱之一，自提出之日
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