第1章辅助方程法初步
1.1辅助方程法简介
辅助方程法是将一个辅助常微分方程的某个解为项的截断形式级数展开式代入非线性波方程后将其化为代数方程组，再借助计算机代数系统进行求解，从而构造非线性波方程的截断形式级数解的代数方法，如扩展双曲正切函数法、通用Riccati方程展开法、辅助方程法、一般椭圆方程展开法、通用F-展开法等[1].
通常一个给定的非线性波方程可以通过行波变换转化为行波约化的常微分方程，然后引入一个以这个行波的相位为自变量且解为已知的辅助常微分方程，再适当选择以辅助方程的解为项的截断形式级数展开式并将其代入行波约化的常微分方程，从而将求解非线性波方程的问题转化为求解代数方程组的问题，这是实现辅助方程法的基本思路.
假设给定了一个(1+1)-维非线性波方程
(1.1)
这里函数H一般为所示变元的多项式且含有未知函数的非线性项及线性*高阶导数项.
作行波变换
(1.2)
其中ξ=k(x-ct)+ξ0为行波的相，k为波数，c为波速，ξ0为初相.
通过变换(1.2)可将方程(1.1)转化为常微分方程
G(u，u′，u′′， )=0，(1.3)
这里G是所示变元的多项式，而
用辅助方程法求解非线性波方程的具体步骤可概括为如下四步.
第一步通过行波变换(1.2)把给定的非线性波方程(1.1)转化为常微分方程(1.3).
第二步引入以F=F(ξ)为未知函数、相位ξ为自变量的辅助常微分方程
且已知它的一个解F=F(ξ)，则可设方程(1.3)具有如下截断形式级数解
其中为待定常数，n称为平衡常数，可令方程(1.3)中的线性*高阶导数项与*高幂次的非线性项相互抵消而确定.
第三步将(1.5)同辅助方程(1.4)一起代入方程(1.3)后令F的各次幂的系数等于零，则得到以ai(i=0，1， ，n)，k，c为未知数的非线性代数方程组.
第四步利用计算机代数系统求解第三步中得到的非线性代数方程组，并将所得到的每组解代回(1.5)后通过变换(1.2)，则得到方程(1.1)的精确行波解.
辅助方程法的上述步骤中有两个关键点.其一，如何选择辅助方程(1.4)及其解.其二，如何确定截断形式级数解(1.5).下面来回答这两个问题.
当辅助方程(1.4)为一阶常微分方程时，通常取如下两种形式
其中，方程的系数为常数，m为正整数.
当m=2时，辅助方程(1.6)为Riccati方程
(1.8)
它对应于通用Riccati方程展开法，而Riccati方程的解为
(1.9)
其中和d为任意常数.
当m=4时，辅助方程(1.7)为一般椭圆方程
(1.10)
与此相应的辅助方程法为一般椭圆方程展开法和通用F-展开法.
应用上更加普遍的是方程(1.10)的如下几种特殊情形.
(1)当时，(1.10)为第一种椭圆方程
(1.11)
与此对应的是第一种椭圆方程展开法和F-展开法.
(2)当，(1.10)为第二种椭圆方程
(1.12)
与此对应的是第二种椭圆方程展开法.
(3)当时，(1.10)为第三种椭圆方程
(1.13)
与此对应的是第三种椭圆方程展开法.
(4)当，和时，(1.10)分别为以下第四种椭圆方程
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
其中(1.16)对应于辅助方程法，通常把(1.16)也称为辅助方程.
一般椭圆方程(1.10)的解可分为如下五种情形，亦即
情形1
情形2
情形3
情形4
情形5
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