第1节 常微分方程基本概念
1.1 常微分方程的定义
设R=(-∞，∞)，Rn表示n维欧氏空间，对任何向量x∈Rn，x的模记为|x|.设是一个区域，是一个已知的标量函数.设x=x(t)是一个以t∈R为自变量的未知函数，则如下关系式
(1.1)
称为一个n阶常微分方程，简称n阶方程.
进一步，设是一个已知的n维向量函数.设x=x(t)是一个以t∈R为自变量的n维向量未知函数，则如下关系式
(1.2)
称为一个n维一阶常微分方程组，简称一阶方程组.
如果我们令
和
则一阶方程组(1.2)可以写成如下联立方程组的形式:
此外，n阶方程(1.1)也可以通过引进如下的变量转化成一阶方程组的形式.具体方法如下:设，则我们有
这是一个n维的一阶方程组.
由于任何一个n阶方程都可以通过上述方法转化为一个n维的一阶方程组，
因此从第2节开始我们只对一阶方程组进行讨论.
1.2 解的定义
设x=x(t)是定义于区间I.R上的有直到n阶导数的标量函数，如果对一切，则称x(t)是n阶方程(1.1)定义在区间I上的一个解.
设x=x(t)是定义于区间I.R上的有一阶导数的n维向量函数，如果我们有对一切t∈I，则称x(t)是一阶方程组(1.2)定义在区间I上的一个解.
显然，一个常微分方程可以有许多个解.将一个方程的所有解放在一起组成一个函数集合，称为这个方程的解集合.为了确定常微分方程的某个固定的解，就需要确定这个解的定解条件.定解条件通常有初始条件和边界条件.这里我们主要关心初始条件.对于n阶方程(1.1)，初始条件通常定义为如下形式:
(1.3)
其中t0∈R称为初始时刻，称为初始值，它们都是已知的值.对于一阶方程组(1.2)，初始条件通常定义为如下形式:
(1.4)
其中t0∈R称为初始时刻，x0∈Rn称为初始值，并且它们都是已知的值.
确定n阶方程(1.1)的满足初始条件(1.3)的解的问题称为n阶方程(1.1)的初值问题，通常记为确定一阶方程组(1.2)的满足初始条件(1.4)的解的问题称为一阶方程组(1.2)的初值问题，通常记为
1.3 相空间、轨线、平衡点、周期解
对于一阶方程组(1.2)，我们称变量x所在的空间Rn为它的相空间.
设x=x(t，t0，x0)是一阶方程组(1.2)的满足初始条件(1.4)的解，定义区间为I，显然t0∈I.则相空间Rn中的集合
和
分别称为解x(t，t0，x0)所对应的轨线、正半轨线和负半轨线.有时也称轨线为积分曲线.
对于一阶方程组(1.2)，如果存在一个常数向量使得对一切t∈R，则称是它的一个平衡点.
显然，一阶方程组(1.2)的平衡点x=x.也是它的一个解，并且是常数解.
设x=x(t)是方程组(1.2)定义于[t0，∞)上的一个解，如果存在常数ω>0使得x(t+ω)=x(t)对一切成立，则称x(t)是方程组(1.2)的一个周期解，且ω是它的一个周期.注意，ω可能不唯一.
设是周期解x(t)的一个周期.如果T>0，则T也是周期解x(t)的一个周期，称为*小周期.通常，我们称T>0是解x(t)的周期，指的就是它的*小周期.此时x(t)也被称作T-周期解.
平衡点和周期解是方程组(1.2)的两类特殊解，它们在一阶方程组(1.2)的解的性质的研究中具有非常重要的作用.
1.4 自治方程、周期方程、线性方程
在常微分方程理论中，我们通常把方程组(1.2)称为非自治的微分方程组，简称非自治方程组.若方程组(1.2)的右端函数f(t，x)不显含时间t，即方程组(1.2)变为
(1.5)
这里f(x)是定义在在区域G.Rn上的已知几维向量函数，且满足局部的Lipschitz条件，此时我们称为自治的微分方程组简称自治方程组.若方程组(1.2)的右端函数f(t，x)关于t是周期的，即存在常数ω>0使得对任何的(t，x)∈R×G都有则我们称方程组(1.2)是周期的微分方程组，也称作ω-周期方程组.显然自治的和周期的方程组都是非自治方程组的特殊情况.若方程组(1.2)的右端函数f(t，x)关于x是线性的，即
其中，A(t)是n×n函数矩阵，f(t)是n维向量函数，则称方程组(1.2)是非齐次线性方程组，即
(1.6)
若有f(t)≡0，即
(1.7)
则称为齐次线性方程组，若还有A(t)≡A为一个常数矩阵，即
(1.8)
则称为常系数齐次线性方程组.
第2节 基本定理
本节将介绍常微分方程解的一些基本定理，即解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初值的连续性定理，以及解对参数的连续性定理，它们是本书所涉及内容的理论基础.
考虑如下一般形式的n维常微分方程组
(2.1)
其中是定义于区域Ω.R×Rn上的n维向量函数，即.
定义2.1 (1)称f(t，x)在Ω上关于x满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0使得对任意的(t，x1)，(t，x2)∈Ω都有.
(2)称f(t，x)在Ω上关于x满足局部的Lipschitz条件，如果对任意的(t0，x0)∈Ω，存在(t0，x0)的一个邻域和一个常数，使得对任意的(t，x1)，(t，x2)∈U都有
这里，常数L通常称为Lipschitz常数.
在本节中我们始终假设方程组(2.1)的右端函数f(t，x)在Ω上连续，并且关于x满足局部的Lipschitz条件.
首先研究方程组(2.1)的初值问题的解的存在唯一性问题，我们有下面的结果.
定理2.1(解的存在唯一性定理)对任何(t0，x0)∈Ω，初值问题
(2.2)
存在唯一的解，定义于区间Δ=[t0.h，t0+h]，且满足.(t0)=x0，这里h>0是某个确定的常数.
关于这个定理的证明我们有许多种方法，其中之一就是逐步逼近法，这个方法在常微分方程教程中都有叙述.还有一个方法就是使用Banach压缩映射原理.
下面我们介绍这个方法.
证明选取(t0，x0)在Ω中的一个矩形邻域如下:
并且使得f(t，x)在此邻域内关于x满足Lipschitz条件，L为相应的Lipschitz常数，其中a和b是正常数.我们令常数.
首先，不难证明，在定理条件下，初值问题(2.2)的定义于Δ上的解的存在唯一性等价于如下积分方程的定义于Δ上的连续解的存在唯一性.
(2.3)
不失一般性，以下我们只就Δ的右半区间Δ+=[t0，t0+h]来讨论，至于左半区间的情况是类似的.
我们用C[Δ+]表示所有定义于Δ+上的n维连续函数.构成的空间，并且定义它的模为
其中β>L是一个常数.空间C[Δ+]有下面的一个重要性质.
压缩映射原理设D是空间中的一个非空闭子集，而T是D到其自身的一个映射.设存在常数0<α<1使得对任意的有则必存在唯一的.0∈D使得.
这个原理是由波兰数学家Banach建立的，也称作Banach压缩映射原理.它是泛函分析理论中一个非常重要的结果，在泛函分析教程中都有证明，因此我们这里就不给出证明了.
选取C[Δ+]中的一个闭子集合
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