第1章 绪论
非线性随机动力学已研究了一甲子，理论上已较成熟，但仍有不少难题. 非线性随机动力学的进步在很大程度上是基于数学中关于马尔可夫过程与相应随机微分方程的研究成果. 非线性随机动力学中唯一可精确求解的情形是激励为白噪声，非线性动力学系统的响应是马尔可夫过程，其转移概率密度服从福克-普朗克-柯尔莫哥洛夫(Fokker-Planck-Kolmogrov，FPK)方程. 给定白噪声激励的非线性动力学系统，建立与求解FPK方程，得到响应的概率分布与统计量，就是精确解法. 然而白噪声与马尔可夫过程都只是数学概念，现实中并不存在. 现实中的随机激励都是色噪声，问题是什么条件下色噪声可以近似为白噪声，从而可用上述精确解法? 另外，高维FPK方程求解十分困难，问题是能否与如何降低所要求解的FPK方程的维数，从而降低求解FPK方程的难度或减少计算量? 随机平均法给出了上述两方面问题的一种解答，指出当激励色噪声的相关时间远小于系统的松弛时间时，该色噪声可用当量的白噪声代替；当系统的响应同时包含慢变过程与快变过程时，该系统可用慢变过程的时间平均近似，而当该系统的退化保守系统在某个子流形上遍历时，时间平均可代之以对快变过程的空间平均，从而消除系统中的快变过程，降低了所要求解的FPK方程的维数. 正如本书前言所述，随机平均法是非线性随机动力学中一种强有力的近似解析方法，有许多优点，也已获得相当广泛的应用.
随机平均法*先由斯特拉托诺维奇(Stratonovich，1963；1967)基于物理考虑提出，并应用于通信系统中的噪声问题，其后，哈斯敏斯基(Khasminskii，1966)提供了严格的数学提法与证明. Papanicolaou和Kohler(Papanicolaou and Kohler，1974)作了引申，Blankenship和Papanicolaou(1978)进一步证明，在时间趋于无穷时平均方程仍近似于原系统. 哈斯敏斯基(Khasminskii，1968)又提出了同时含慢变和快变过程的伊藤随机微分方程的平均原理.??20世纪七八十年代，随机平均法被S.T. Ariaratnam、M.F. Dimentberg、J.B. Roberts、P.D. Spanos等众多学者应用于研究单、多自由度拟线性和单自由度强非线性随机振动系统的响应、稳定性及可靠性，他们的研究成果已总结在评述论文(Roberts and Spanos，1986；Zhu，1988；1996)与专著(Dimentberg，1988；朱位秋，1992；Lin and Cai，1995)等中.
20世纪90年代中期，Lin和Cai(1995)推导了一般非线性随机系统的随机平均方程，明确地区分了随机平均和时间平均及其条件，给出了非光滑型和光滑型平均方程，并将随机平均法应用于多种单自由度和二维非线性随机动力学系统，特别是对生态系统进行了系统的研究(Cai and Lin，2007). 与此同时，朱位秋提出(朱位秋，2003；Zhu，2006)并与合作者及学生发展了高斯白噪声激励的拟哈密顿系统随机平均法，后又推广于拟广义哈密顿系统与含遗传效应力的拟可积哈密顿系统，推广于高斯与泊松白噪声共同激励、分数高斯噪声激励、色噪声激励的拟哈密顿系统. 本书就是20世纪90年代以来上述两个团队关于随机平均法及其应用研究成果的系统总结.
本书内容可分成三部分，**部分包括第2、3章，为本书的预备知识；第二部分包括第4～10章，为本书的主体，论述各种随机激励下各类非线性动力学系统的随机平均法；第三部分包括第11～13章，介绍随机平均法在自然科学和技术科学中的若干应用. 以下介绍各章主要内容和要点.
第2章中介绍本书所涉及的随机过程与相应的随机微分方程及微分规则，包括高斯白噪声、扩散过程、维纳过程与相应的伊藤随机微分方程、伊藤微分规则及FPK方程；泊松白噪声、马尔可夫过程与相应的含复合泊松过程的随机微分方程，和该随机微分方程等价的含泊松随机测度的随机微分积分方程及Di Paola-Falsone微分规则；分数高斯噪声与相应的分数随机微分方程及分数随机微分规则.
第3章中介绍本书所涉及的非线性随机动力学系统的三种数学模型，即一般表达式、随机激励的耗散的拉格朗日方程、随机激励的耗散的哈密顿方程. 鉴于第三种表达式在本书中用得*多，且多数读者可能不太熟悉，特意简述了哈密顿系统与广义哈密顿系统的定义、基本性质以及它们按可积性和共振性的分类，即分成不可积、(完全)可积非共振、(完全)可积共振、部分可积非共振、部分可积共振五类，特别指出了五类哈密顿系统在其子流形上的遍历性，为后面以空间平均代替时间平均提供依据. *后介绍了含遗传效应力，包括滞迟恢复力、黏弹性力及分数阶导数阻尼力的数学模型.
第4章中*先介绍了随机平均原理，推导了一般随机动力学系统的非光滑型和光滑型随机平均方程，指出随机平均法中通常涉及随机平均和时间平均. 随机平均就是当随机激励的相关时间远小于系统松弛时间时可用当量的高斯白噪声代替随机激励，时间平均可用于系统含周期性系数时，也可用于系统同时含快变过程和慢变过程时，用慢变过程的时间平均方程近似原系统，从而降低系统的维数，接着详细推导了分别在高斯白噪声、宽带噪声、宽带噪声加谐和、泊松白噪声、分数高斯噪声等激励下的单自由度非线性动力学方程的幅值包线和能量包线随机平均方程及相应FPK方程，并指出黏弹性力如何解耦为弹性恢复力和黏性阻尼力，以便应用上述随机平均法. *后，对具有双势阱势能的随机动力学系统，指出鞍点和同宿轨道为非周期轨道，对它们不能应用上述随机平均法. 因此，必须分区进行随机平均. 第4章包含了随机平均法的大部分要点，论述和推导都较详尽，并都用例子加以说明，还用数值模拟结果加以验证. 建议初学随机平均法的读者仔细阅读，深刻领会并掌握该章内容，为阅读后续各章打下良好基础.
从第5章开始论述多自由度非线性、特别是强非线性系统在多种随机激励下的随机平均法. 鉴于用哈密顿提法才能讲清楚多自由度强非线性系统各自由度之间的全局关系，因此，第5～10章中分别论述各种随机激励下拟(广义)哈密顿系统的随机平均法，按相应(广义)哈密顿系统的可积性和共振性，分成不可积、(完全)可积非共振、(完全)可积共振、部分可积非共振、部分可积共振五种情形进行表述. 第5章是高斯白噪声激励，不需要作随机平均，只需分五种情形找出慢变随机过程，推导它们的伊藤随机微分方程，再对它们的漂移和扩散系数作时间平均. 此处关键之一是，如何利用五种情形哈密顿系统在某个子流形上的遍历性，以对快变过程的空间平均代替时间平均，从而达到系统降维的目的. 关键之二是，每种情形如何从求解平均FPK方程所得之平稳概率密度导出原系统的近似概率密度. 特别值得一提的是，对任何有限自由度的拟不可积哈密顿系统，平均方程都是一维的，可得统一的平稳概率密度表达式，如同所有线性系统功率谱密度表达式一样简单得令人称奇，但也要付出代价，即对高于两个自由度的拟不可积哈密顿系统，要完成平均方程系数中的多重域积分是相当困难的. 为此，书中介绍了将(2n?1)维域积分化为n重积分的两步广义椭圆坐标变换方法. 5.4节用一个二自由度碰撞振动系统例子说明，应按系统非线性(不可积性)强度的不同，选取拟可积或拟不可积哈密顿系统随机平均法. 作为一个推广，*后一节(5.5节)则介绍了含马尔可夫跳变参数的拟不可积哈密顿系统的随机平均法.
作为连续与跳跃随机激励的一个典型，第6章论述了高斯与泊松白噪声共同激励下拟哈密顿系统随机平均法. 类似于第5章，仍按哈密顿系统的可积性与共振性，分五种情形表述，不需作随机平均，只需对慢变过程作时间平均，且同样根据哈密顿系统在子流形上的遍历性，用对快变过程的空间平均代替时间平均，由平均系统的概率密度转换为原系统的概率密度的公式也一样. 第6章与第5章不同之处在于，泊松白噪声是一种非高斯白噪声，可看作是复合泊松过程的导数过程，在高斯与泊松白噪声共同激励下的拟哈密顿系统在转换成伊藤随机微分积分方程时将同时有Wong-Zakai修正项和Di Paola-Falsone修正项. 该方程还可改写成等价的含泊松随机积分的随机微分积分方程. 在推导慢变过程的随机微分积分方程时需用到跳跃-扩散过程的链式法则. *后导出的平均FPK方程是无穷阶的，为求解该方程必须截断. 第6章中都在四阶处截断，并用摄动法求解平均FPK方程，书中数例的平均法结果都得到了原系统数值模拟结果的验证，并对比了高斯白噪声和泊松白噪声对同一系统的效应. 第6章的一个特点是公式冗长，有些推导与计算尚需查阅有关文献，需要读者十分耐心.
分数高斯噪声，虽然它本质上是一种色噪声，但它可看成分数布朗运动的导数过程，分数高斯噪声激励的拟哈密顿系统可转换成分数随机微分方程，因此，第7章中专门论述分数高斯噪声激励下拟哈密顿系统随机平均法. 虽然分数高斯噪声不是白噪声，但仍有多处与第5、6章相同，不需作随机平均，只需分五种情形作时间平均，并可用对快变过程的空间平均代替时间平均，由平均方程得到的概率密度转换成原系统的平稳概率密度公式也一样. 所不同的是，分数高斯噪声激励的拟哈密顿系统在转换成分数随机微分方程时没有修正项，得到的平均分数随机微分方程所支配的随机过程不是马尔可夫过程，只能用数值模拟得到平均方程所支配过程的概率密度和统计量. 其优点是，比从原系统作数值模拟得到同样的概率密度和统计量省不少时间，而且两者结果相当接近.
实际的随机激励都是色噪声，色噪声可以是宽带噪声，也可以是窄带噪声，也可以在某个频域上是宽带噪声，在另外频域上是窄带噪声. 第8章中论述了宽带与窄带噪声激励的拟可积哈密顿系统随机平均法. 8.1节中论述宽带噪声激励的拟可积哈密顿系统随机平均法，可以看作是宽带噪声激励的拟线性系统随机平均法向多自由度强非线性系统的一个推广. 此时，需要同时作随机平均和时间平均. 与第5～7章不同的是，此处需假设可积哈密顿系统做广义谐和运动，拟可积哈密顿系统做随机周期运动，然后按非内共振与内共振两种情形分离慢变过程和快变过程，对慢变过程作随机平均和时间平均，导出支配慢变过程的平均伊藤微分方程和相应的FPK方程. 时间平均同样可用对快变过程的空间平均代替，慢变过程的平稳概率密度与原系统的概率密度之间的关系与第5～7章中的一样.
对于分数高斯噪声激励的拟可积哈密顿系统，当相应的哈密顿系统的频率高于一定值时，分数高斯噪声在此频域可视为宽带噪声，于是可应用8.1节陈述的随机平均法. 8.2节中正是按这一想法处理分数高斯噪声激励的拟可积哈密顿系统，数值模拟结果证实在很大的赫斯特指数和频率范围内这一想法的正确性.
8.3节论述谐和与平稳宽带噪声共同激励的拟可积哈密顿系统随机平均法，同样需假定拟可积哈密顿做随机周期运动，因谐和激励只在外共振时才起重要作用，因此分仅有外共振和同时有内外共振情形. 推导慢变过程的伊藤随机微分方程，作随机平均和时间平均，建立和求解平均FPK方程. 谐和加宽带随机激励相当于窄带随机激励，在此激励下杜芬振子可发生随机跳跃及其分岔，本节中用例子加以说明. 本节方法也适用于谐和与高斯白噪声共同激励的拟可积哈密顿系统.
随机化谐和过程可以是宽带，也可以是窄带，8.4节中用它作窄带随机过程激励拟可积哈密顿系统，同样需假定系统做随机周期运动，只考虑仅有外共振和同时有内外共振情形，幅值或能量方程是确定性的，只有角变量组合的平均方程是随机微分方程，但两者是耦合的，仅需时间平均，仍需求解高维平均FPK方程，因为激励是窄带过程，杜芬型振子在其激励下可发生随机跳跃及其分岔.
在拟哈密顿系统中，恢复力与阻尼力都是非耦合的，但在现实中，有一些力有遗传效应，同时有恢复力和阻尼力的效应，如滞迟恢复力、黏弹性力、分数阶导数阻尼力、时滞力，在对含有遗传效应力
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