第1章凸函数的极
　　1.1度规函数的极函数
　　首先给出度规函数的定义.
　　定义1.1设k为定义在IRn上的函数，如果k为满足k(0)=0的非负正齐次凸函数，则称k为度规的.因此也可以如下定义.
　　定义1.2度规函数为如下的函数k，存在非空凸集C使得
　　(1.1)
　　依据x与C，0与C的关系及x是否为0，可有如下一些位置关系，这会导致k(x)的不同取值，如图1.1所示.不同情况下对应的k(x)的取值也有所差别.特别地，这些情况将在本章后续一些证明中用到.
　　图1.1凸集C与点x的六种位置关系
　　图1.1中的子图含义如下.
　　(a)
　　(b)
　　(c)
　　(d)
　　(e)
　　(f)
　　关于度规函数，有如下等价判定定理.
　　定理1.1设k为定义在IRn上的函数.k为度规的，等价于epik为IRn+1中含有原点的凸锥且该凸锥不含有u<0的任意向量(x，u).
　　证明　注意到，及函数k的凸性与其上图epik凸性等价.根据度规定义，k为满足k(0)=0的非负正齐次凸函数，可知k(0)=0，由此得到，epik包含原点.k是非负函数等价于上图epik不包含满足μ<0的任意向量(x，μ).最后，k的正齐次性等价于epik是凸锥.这是由于如果k是正齐次的，则对任意的x及任意的λ>0，有k(λx)=λk(x).则对于(x，y)∈epik，有k(x).y.故有
　　即(λx，λy)∈epik.因此，上图epik为锥.
　　另外，已知集合epik为锥，可以定义函数.对于λ.0，有
　　即k(x)为正齐次函数.
　　注1.1
　　注1.2
　　1.2是从两个不同的角度定义了度规函数.
　　在引入度规函数的极之前，我们回顾一下凸锥K的极.凸锥K的极定义为
　　凸集C的极定义为
　　定义1.3度规k的极定义为
　　k.(x.)=inf{μ 0|.x，x μ.k(x)，.x}.(1.2)
　　关于度规的极，我们有如下一些刻画.
　　定理1.2如果k处处有限并且除原点外为正的，则有
　　(1.3)
　　证明
　　故(1.3)成立.□
　　性质1.1如果为凸锥的指示函数，k.即为的共轭.即.是凸锥的指示函数.
　　证明　当，根据凸锥的极的定义有
　　.x，x 0，.x∈K.
　　注意到k为指示函数，故x∈K意味着k(x)=0.则由(1.2)知.若.即存在，使得，则不存在.满足不等式
　　则有
　　因此
　　比度规函数更一般的凸函数的极将在本节的后面通过一个修正的公式来定义.
　　定理1.3如果k为度规函数，则
　　(i)
　　(ii)
　　(iii)
　　证明
　　对于.定义中的条件
　　能够表示成为，且.则上式等价于
　　因而等价于
　　由凸集的极的定义，即
　　则x.=0.因此，可以得到
　　(iii)得证.
　　特别地，可以令凸集C为闭集，由[3，定理7.6]得知，为包含原点的闭凸集，则由[3，推论2.7]得知k.为闭的.现设，这个D为含有原点的凸集，并且.因此得到.即.为闭度规函数.(i)得证.
　　对于(ii)，由于，由[2，定理7.6]知
　　又因为([2，定理7.6])，
　　故有.因此，证毕.
　　推论1.1极运算.在IRn上定义的所有闭度规上诱导出一个一对一的对称对应.含有原点的两个闭凸集相互为极当且仅当它们的度规函数相互为极.即:设C1，C2均为包含原点的闭凸集，则当且仅当，其中为由C1，C2定义的度规.
　　推论1.2　如果C为含有原点的闭凸集，则C的度规函数与C的支撑函数互为度规极.
　　证明　由[3，定理7.6]立即得到
　　推论1.3
　　证明　由定理1.3，，其中C.为C的极，则C.为闭集.故有度规k为闭时，C为闭集.当C为含有原点的闭凸集时，由推论1.2，C的度规函数k为C的支撑函数的度规极，因而为闭度规.
　　注意，正如下节将要介绍的，一种典型的度规函数为范数.当然，也有不是范数的度规函数，下面给出一个例子.
　　例子1.1非范数的闭度规的例子.记
　　(1.4)
　　推导如下.容易验证k(x)是满足k(0)=0非负正齐次凸函数.因为k为度规函数.设，由推论1.2知，k的度规极为D的支撑函数，即
　　1.2范数
　　注意度规函数及其极具有如下性质
　　这些不等式理论是研究凸集的极的初衷.正如[3]中所解释的那样，一对共轭的凸函数对应于形如
　　的“最佳”不等式，一对互为极的度规函数也对应于形如
　　的“最佳”不等式.其中H与J为IRn的子集，h与j分别为定义在H与J上的非负实值函数.说明如下:给定任意上述的不等式，总可以定义如下“较好”的不等式.令
　　则
　　因此这个公式将k的上图表示成为中某些边界穿过原点的闭半空间的交.因而epik为闭，所以k为闭度规.我们有
　　且这个不等式比在及
　　的意义下所给出的不等式要好些.新的不等式意味着且
　　因此，存在“更好”的不等式，即
　　“最好”的不等式是那些不能够用在更大的区域上所定义的更小的函数来代替h或j来加强的不等式.这样的函数就是使得H时，当时，的互为极函数的闭度规函数.