第1章 预备知识
1.1 泛函分析基本知识
设X是实或复数域*上的一个线性空间，称X上的一个非负实值函数 *为范数，若下列条件满足:
(1) ;
(2) ;
(3) .
若 X相应于距离*是完备的 ，则称 X为一个 Banach空间.
赋范线性空间*上的一个连续线性泛函指一个连续线性映射 *.记 *为 X上的连续线性泛函全体 ，其按通常的线性运算及泛函的范数作为范数构成一个赋范线性空间 ，称为 X的共轭空间.共轭空间总是 Banach空间 .同样 ，我们可以定义 X的二次共轭空间*. 对于每一个 *，作 *上的泛函*如下:
我们总有*，使得自然嵌入*给出了一个 X到其象*之间的保范同构.为了简单起见 ，我们把 X和*视为同一 ，这样*.如果 *，则称 X为自反的.
一个非常重要的自反空间的例子是*空间 ，其中 1 <p<∞.设*为*中的一个区域，那么
为一个 Banach空间 (在本书第1—6章，积分均指 Lebesgue积分 ，为简单起见我们略去微元 ).由于*，其中*，故*在 1 < p < ∞时是自反的.
设 X为一个赋范空间， *，若存在*，使得
则称 xj 弱收敛于 x.弱收敛的一个基本性质是
定理 1.1.1(Banach-Alaoglu)设 X是一个自反的 Banach空间，那么 X中的任意有界点列必有一个弱收敛子列.
若赋范空间 X的范数满足下面的平行四边形公式
那么在 X上必定存在一个内积 *，使得
(1);
(2);
(3 .
此时称 X为一个内积空间.若*是完备的，则称其为一个 Hilbert空间.一个重要的 Hilbert空间的例子是 L2空间 . Hilbert空间区别于一般的 Banach空间的基本性质是下面的正交分解性质:设 X0为 X的闭子空间，则对任意的*，存在唯一的分解
其中 *，即 *.
下面的表示定理是证明偏微分方程解的存在性的基本工具.
定理 1.1.2(F. Riesz)设 X是一个 Hilbert空间，* ，则存在唯一的*，使得*且
设 X1，X2为 Hilbert空间 ， *为一个有界线性算子 ，则存在唯一的有界线性算子 *，使得
其中 *与 *分别为 X1与 X2的内积 .我们称 *为 T的共轭算子或伴随算子.
现设 T为 X1的某个稠密子空间 D1到 X2的线性映射 (不一定有界).假设存在 X2的一个稠密子空间 D2以及线性映射*，使得
则称 *为 T的 (相应于 D1， D2的)形式伴随算子 .在本书中我们往往取 Xj， j =1， 2为某类 (加权 ) L2空间 ，而 Dj为其中具有紧支集的 C∞元素所组成的稠密子空间.
1.2 Sobolev空间基本知识
对于多重指标 *，我们采用下面的标准记号:
设*为*中的区域 ，记*为*上具有紧支集的 C∞函数全体.对于(即*上的局部可积函数 )，称 v为 u的 α阶广义导数或弱导数，若
此时记 *.
设 1*，我们在线性空间
上引入范数
那么 *构成一个 Banach空间 ，称其为 Sobolev空间 .注意到 *为 Hilbert空间 .与*类似 ， 也是自反的.
子空间*在*中稠密，但是一般来说，*在 *中不稠密.我们记 *为*在*中的闭包，则其也是一个 Banach空间 ，而*是一个 Hilbert空间 ，特别地 ， *在本书中起着重要的作用.
我们称一个 Banach空间 X1连续地嵌入至另一个 Banach空间 X2 (记作*)，若存在一个有界、一对一的线性映射 * Sobolev空间理论的核心定理是下面的嵌入定理:
定理 1.2.1(Sobolev)
记 *为对应于 *的弱导数.我们考虑下列形式的算子
其中 *为*上的可微函数， *为*上的局部有界的可测函数.设*称*为方程*的一个广义解或弱解，若
类似地，我们可以定义方程组的弱解.
若算子 L的系数矩阵(在*中的每点)是正定的，那么称 L为椭圆的.若进一步假设 (aij)的*大特征值与*小特征值之比有界，那么称 L为一致椭圆的.
第2章 平面区域上*方程的 L2估计
2.1 Dirichlet原理
设*为*中的有界区域 ，我们考虑下面的广义 Dirichlet问题:对于给定的*，寻找*上的调和函数 u0，使得*.
记 *以及*.
定理 2.1.1(Dirichlet原理[10，11]) 存在*，使得
而且 u0在*上是调和的.
证明 记*.我们可取一列 *，使得*.由于
以及
故而
(2.1)
先假设已经证明了下面的 Poincaré不等式
(2.2)
