第1章 绪论
1.1 常微分方程、时标动力方程边值问题的发展概况
本节就本书主要研究的几类边值问题的历史及现状做一简要总结.
1.1.1 常微分方程非局部边值问题
按照定解条件， 常微分方程边值问题可以分为局部问题和非局部问题两类.众所周知， **的 Dirichlet 边界条件、Robin 边界条件、Neumann 边界条件、周期边界条件以及 Sturm-Liouville 边界条件只是在区间的两个端点上给出的， 故这些属于局部边界条件的范畴. 对于这类边值问题， 自 19 世纪 Sturm-Liouville时期以来， 尤其是 20 世纪上半叶由 Hilbert 等奠定了常微分方程边值问题的基础理论后， 不论在问题的深度和广度上， 还是在研究方法上都已有了长足的发展.
所谓非局部边值问题， 是指常微分方程的定解条件不仅依赖于解在区间端点的取值， 而且依赖于解在区间内部某些点上的取值. 在实际问题中， 如果考虑实际测量的误差及相关因素的干扰， 非局部边值问题则可以更加准确地描述许多重要的物理现象. 例如， 在数学领域， 它们出现在用变量分离法解偏微分方程以求解一维自由边值问题 [17]; 在物理领域， 由 N 部分不同密度组成的均匀切面的悬链线的振动可以转化为多点边值问题. 弹性稳定性理论的许多问题也可以归结为多点边值问题的处理 [18]. 1987 年， Il’in 和 Moiseev 在文献 [19] 中率先研究了二阶常微分方程多点边值问题， 随后， 关于常微分方程非局部边值问题的研究取得了重大进展 [20–24].
20 世纪 80 年代初期， 人们对非牛顿流体力学 [25–27]、多孔介质中的气体湍流理论 [28， 29]、非线性弹性理论与冰河学 [30]、燃烧理论 [31]、种群生态学 [32， 33]、血浆问题、宇宙物理等大量的应用领域及对非线性偏微分方程的径向解的研究发现 [34]，对这些问题的研究可以归结为所谓的带有 p-Laplace 算子的微分方程
的研究， 其中 .p(x) = |x|p.2x， p > 1 称为 p-Laplace 算子. 自 20 世纪 80 年代末以来， 许多国内外专家学者均对此类方程在多点边界条件下的边值问题进行了研究， 并取得了很大进展.
文献 [35， 36] 分别研究了下面的具非线性边界条件的两点边值问题:
(1.1.1)
其中 g1， g2 为定义在 (.∞，+∞) 上的非减连续奇函数， 且它们中至少有一个满足：
存在 b > 0 使得
文献 [9] 讨论了广义 Sturm-Liouville 边值问题正解的存在性
(1.1.2)
其中 ξi ∈ (0， 1)， ai， bi ∈ (0，+∞)， i ∈ {1， ，m. 2}， α， β， γ， δ>0 是给定的常数.
学者在处理这种边值问题时， *先给出与问题 (1.1.2) 等价的只包含两个正项的积分方程， 然后运用锥上的不动点定理得到了正解的存在性结果.
文献 [37] 研究了边值问题
其主要方法是反解方程 (.p(u′))′+q(t)f(t， u， u′) = 0， 然后将边界条件代入得到边值问题的唯一解， 该解可表示为
其中
文献 [38] 研究了非线性项可变号的二阶三点边值问题
(1.1.3)
学者巧妙地定义了一个 θ 算子， 使得 θ . T = max{(Tu)(t)， 0}， 然后结合截断函数和拓扑度理论得到了边值问题 (1.1.3) 至少一个正解的存在性.
在不同的边界条件下， 一些学者研究了非局部边值问题的对称解， 得到了一些解存在的结果， 例如， 2005 年， 文献 [39] 研究了边值问题
其中， μi > 0 且. 学者利用Avery-Peterson 不动点定理给出了其存在三个对称正解的充分条件.
文献 [40] 应用 Mawhin 连续性定理研究了如下多点共振边值问题对称解的存在性
其中且
文献 [41] 研究了四点边值问题
(1.1.4)
其中 .p(s) = |s|p.2s， α， β > 0， 0 < ξ < η < 1. 运用锥上的不动点定理， 得到了边值问题 (1.1.4) 正解的存在性.
之后， 文献 [42] 同样研究了边值问题 (1.1.4)， 并且称此类边值问题为 Sturm-Liouville 型四点边值问题. 为了得到正解的存在性， *先对非线性项 f 的取值范围作了一定的限制， 然后巧妙地构造了一个锥并运用锥上的 Krasnosel’skii 不动点定理， 得到了一个及两个正解的存在性.
易见， 具边界条件
的边值问题也可以被称为 Sturm-Liouville 型四点边值问题.
本书第 2 章研究边值问题
(1.1.5)
1.1.2 常微分方程奇异边值问题正解存在的充要条件
奇异边值问题产生于气体动力学、流体力学、非牛顿流体流动、边界层理论等问题 [29， 43–50]. 近年来， 奇异边值问题已经成为一个重要的研究领域， 请参考文献 [13] 及其中引用的参考文献. 寻求奇异边值问题正解存在的充要条件也是一项意义重大且富于挑战性的工作. 当 p = 2， 即方程不带 p-Laplace 算子时， 有一部分工作得到了该类问题正解存在的充要条件， 例如:
1979 年， 文献 [51] 研究了边值问题
(1.1.6)
其中 λ < 0， 得出边值问题 (1.1.6) 存在 C[0， 1] ∩ C2(0， 1) 正解的充要条件是
同时也得出边值问题 (1.1.6) 存在 C1[0， 1] ∩ C2(0， 1) 正解的充要条件是
1994 年， 在 0 < λ < 1 的情形下， 文献 [52] 得出边值问题 (1.1.6) 存在C1[0， 1] ∩ C2(0， 1) 正解的充要条件是
2004 年， 文献 [53] 研究了奇异边值问题
(1.1.7)
其中 f(t， u) 是超线性的或次线性的， α， β， γ， δ > 0， ρ = γβ + αγ + αδ > 0， 通过运用不动点定理， 作者们得到了边值问题 (1.1.7) 至少存在一个 C1[0， 1] ∩ C2(0， 1)或 C[0， 1] ∩ C2(0， 1) 正解的充要条件.
2006 年， 文献 [54] 研究了奇异边值问题
(1.1.8)
其中 0 < αi < 1， 0 < βi < 1， i = 1， 2， ，m. 2， 0 < η1 < η2 < < ηm.2 < 1 为
常数， 通过运用锥上的不动点定理， 作者们得到了边值问题 (1.1.8) 至少存在一个C2[0， 1] 或 C3[0， 1] 正解的充要条件.
2007 年， 文献 [55] 研究了奇异三点边值问题
(1.1.9)
其中 f(t， u) ∈ C((0， 1)， (0，+∞)) 关于 u 是单调递增的， 在其他一些增长性条件的假设下， 学者得到了边值问题 (1.1.9) 至少存在一个 C[0， 1] 或 C1[0， 1] 正解的充要条件.
2008 年， 文献 [56] 考虑了三点边值问题
正解存在的充要条件， 该条件是 Landesman-Lazer 型的且依赖于实数 λ 和 η.其他的此类文献可参考 [57–62].
2007 年， 文献 [63] 研究了具 p-Laplace 算子的两点边值问题
(1.1.10)
通过运用锥上的不动点定理， 得到了边值问题 (1.1.10) 对称正解存在的充要条件.
2008 年， 文献 [64] 讨论了具 p-Laplace 算子的多点边值问题
(1.1.11)
其中 .p(t) = |t|p.2t， p . 2， 0 < ξi， ηi < 1， αi， βi 与文献中要求的条件相同， 并得到了相似的结论.
1.1.3 抽象空间中的常微分方程边值问题
Banach 空间中常微分方程理论经过几十年的发展， 它已被广泛应用于常微分方程组理论、临界点理论、偏微分方程理论、不动点定理理论和特征值等许多领域， 其重要性日益凸显出来， 其中 Banach 空间中常微分方程边值问题理论已经获得了大量重要结果， 可参阅 [65–70] 及其所引文献. 在研究 Banach 空间中的常微分方程边值问题时， 所使用的工具主要是锥理论、上下解方法、单调迭代技巧、(不等式) 逐次迭代法、锥拉伸压缩不动点定理、不动点指数定理等. 受文献 [65] 的启发， 利用严格集压缩不动点定理， 文献 [66] 研究了 Banach 空间中一类二阶四点边值问题， 并获得了正解和多个正解的存在性结果; 文献 [67] 研究了 Banach 空间中一类二阶 m 点边值问题， 也获得了单个和多个正解的存在性结果; 文献 [68] 研究了 Banach 空间中一类高阶两点边值问题， 获得了多个正解的存在性结果. 本书中， 我们研究了 Banach 空间中带积分边界条件的高阶边值问题.
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