第一章概率论基础和离散时间鞅论
　　中世纪欧洲盛行用掷骰子进行赌博，概率论就起源于研究与之相关的概率问题.但直到20世纪初概率论还未被认为是数学的一个分支.现代概率论的数学基础是Kolmogorov在1933年奠定的，他采纳Lebesgue的测度论框架创立了概率论公理化体系.本章首先介绍现代概率论的若干基本概念和结果，重点介绍与条件数学期望有关的结果;然后介绍离散时间鞅论，包括鞅变换和Snell包络.我们假定读者已经具备测度论的基础知识.
　　§1.1概率论的基本概念
　　§1.1.1事件与概率
　　考虑一项试验.用表示试验的所有可能的结果的集合，称为样本空间.每个结果称为基本事件.样本空间的子集，称为事件.本身称为必然事件.我们说事件发生，是指试验结果是的一个元素.如果试验结果是有限或可数多个，我们可以用组合数学来研究有关的概率问题.但如果试验结果是不可数无限多个，我们可能不好考虑单个试验结果，因为它们出现的概率可能为零.这时我们需要在测度论框架下研究概率问题.
　　在测度论中，我们用表示一个空间，它是我们事先界定的研究对象，它的元素用表示;或;分别表示;属于或不属于不含任何元素的集合称为空集，以记之.我们用或表示是的子集，用
　　分别表示与的交、并、差和对称差，即
　　我们用表示并称为(在中）的余集，于是有有时也用表示，称义与互不相交.显然有.
　　设为一由的子集为元素构成的集合.我们用和分别表示它们的并和交.设为一由的子集构成的有限或可数序列.若两两不相交（即)，则常用表示.若，称为的一个划分.
　　对任一集列，令
　　若，称的极限存在，并用表示的同一上、下极限，称它为的极限.
　　以的某些子集为元素的集合称为上的）集类.称集类为代数（或域)，如果，且对有限交及取余集运算封闭（由此推知对有限并及差运算封闭).称为我数，如果，且对可列交及取余集运算封闭(由此推知对可列并及差运算封闭).包含一集类的*小狀数称为由生成的代数，记为.
　　设为上的一代数，称序偶为一可测空间，中的元称为可测集.设为定义于取值于的函数.如果有可数可加性或可加性，即
　　则称为上的上的测度.若，则称为有限测度.如果存在的可数可测划分，使得对于每个，则称有限测度.若，则称为概率测度，并称三元组，为概率空间.以下我们用表示一概率测度.
　　设，为一概率空间，若，称为零概集.如果任何零概集的子集皆属于，称关于是完备的，并称为一完备概率空间.设为一概率空间，令
　　则为一完备概率空间，它是包含的*小完备概率空间.称的完备化，称;为关于的完备化.
　　§1.1.2独立性、0-1律和Borel-Cantelli引理
　　设义和为事件，如果，则称事件yl和B独立.一事件类称为独立事件类，如果对T的任何有限子集，我们有
　　这时称该事件类中的诸事件相互独立，这比两两独立条件强.
　　称事件类乂和事件类独立，如果中的任何事件和中的任何事件独立.更一般地，设为由事件类构成的族.如果从每个事件类中任取一事件，由它们组成的类都是独立事件类，则称该族为独立族，并称该族中的事件类相互独立.容易证明如下的
　　独立类扩张定理
　　下面的Kolmogorov0-1律是有关事件独立性的一个重要结果.
　　Kolmogorov0-1律
　　Borel-Cantelli引理
　　§1.1.3积分、随机变量的（数学）期望
　　§1.1.4收敛定理
　　下面定义随机变量序列的几种收敛.
　　定义1.1
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　(5)

目录
《现代数学基础丛书》序
第二版前言
第一版前言
第一章 概率论基础和离散时间鞅论 1
§1.1 概率论的基本概念 1
§1.1.1 事件与概率 1
§1.1.2 独立性、0-1律和Borel-Cantelli引理 3
§1.1.3 积分、随机变量的(数学)期望 4
§1.1.4 收敛定理 6
§1.2 条件数学期望 8
§1.2.1 定义和基本性质 8
§1.2.2 收敛定理 13
§1.2.3 两个有关条件期望的定理 14
§1.3 空间L∞(Ω，F)和L∞(Ω，F，m)的对偶 15
§1.4 一致可积随机变量族 17
§1.5 离散时间鞅 21
§1.5.1 基本定义 21
§1.5.2 基本定理 23
§1.5.3 鞅变换 25
§1.5.4 Snell包络 28
§1.6 Markov序列 30
第二章 离散时间投资组合选择理论.32
§2.1 均值–方差分析 32
§2.1.1 没有无风险证券情形下的均值–方差前沿组合 33
§2.1.2 没有无风险证券情形下均值–方差分析的新表述 37
§2.1.3 存在无风险证券情形下的均值–方差前沿组合 42
§2.1.4 均值–方差效用函数 45
§2.2 资本资产定价模型(CAPM) 46
§2.2.1 市场竞争均衡与市场组合 46
§2.2.2 存在无风险证券时的CAPM 48
§2.2.3 没有无风险证券时的CAPM 51
§2.2.4 利用CAPM的均衡定价 52
§2.3 套利定价理论(APT) 53
§2.4 均值–半方差模型 56
§2.5 多阶段均值–方差分析理论 57
§2.6 期望效用理论 60
§2.6.1 效用函数 61
§2.6.2 Arrow-Pratt风险厌恶函数 62
§2.6.3 风险厌恶程度的比较 64
§2.6.4 由随机序定义的偏好 64
§2.6.5 期望效用*大化与风险资产的初始价格 67
§2.7 基于消费的资产定价模型 69
第三章 离散时间金融市场模型和未定权益定价 71
§3.1 基本概念 71
§3.1.1 未定权益和期权 71
§3.1.2 卖权–买权平价关系 72
§3.2 二叉树模型 72
§3.2.1 单期情形 72
§3.2.2 多期情形 73
§3.2.3 近似连续交易情形 75
§3.3 一般的离散时间模型 77
§3.3.1 基本框架 77
§3.3.2 套利策略和容许策略 78
§3.4 无套利市场的鞅刻画 80
§3.4.1 有限状态市场情形 80
§3.4.2 一般情形:Dalang-Morton- Willinger定理 81
§3.5 欧式未定权益定价 84
§3.6 期望效用*大化和欧式未定权益定价:鞅方法 86
§3.6.1 一般效用函数情形 86
§3.6.2 HARA效用函数及其对偶情形 88
§3.6.3 基于效用函数的未定权益定价 90
§3.6.4 市场均衡定价 92
§3.7 美式未定权益定价 96
§3.7.1 完全市场中卖方的超对冲策略.96
§3.7.2 完全市场中买方*优停止策略和无套利定价 97
§3.7.3 非完全市场中美式未定权益的无套利定价 98
第四章 鞅论和It随机分析 99
§4.1 连续时间随机过程 99
§4.1.1 随机过程的基本概念 99
§4.1.2 Poisson过程和复合Poisson过程 100
§4.1.3 Markov过程 102
§4.1.4 Brown运动 104
§4.1.5 停时、鞅、局部鞅 105
§4.1.6 有限变差过程 106
§4.1.7 连续局部下鞅的Doob-Meyer分解 107
§4.1.8 连续局部鞅和半鞅的二次变差过程 110
§4.2 关于Brown运动的随机积分 115
§4.2.1 Wiener积分 115
§4.2.2 It随机积分 115
§4.3 It公式、Girsanov定理和鞅表示定理 120
§4.3.1 It公式 121
§4.3.2 Brown运动的Levy鞅刻画 123
§4.3.3 Brown 运动的反射原理 124
§4.3.4 随机指数和Novikov定理 125
§4.3.5 Girsanov定理 126
§4.4 It随机微分方程 130
§4.4.1 解的存在唯一性 130
§4.4.2 例子 132
§4.5 It扩散过程 136
§4.6 Feynman-Kac公式 137
§4.7 Snell包络(连续时间情形) 139
§4.8 倒向随机微分方程 140
第五章 Black-Scholes模型及其修正 145
§5.1 未定权益定价和对冲的鞅方法 145
§5.1.1 Black-Scholes模型 145
§5.1.2 等价鞅测度 147
§5.1.3 欧式未定权益的定价和对冲 148
§5.1.4 美式未定权益定价 150
§5.2 期权定价的一些例子 153
§5.2.1 标的股票具有红利率的期权 153
§5.2.2 外汇期权 154
§5.2.3 复合期权 155
§5.2.4 选择者期权 156
§5.3 Black-Scholes公式的实际应用 156
§5.3.1 历史波动率和隐含波动率 156
§5.3.2 delta对冲和期权价格的敏感性分析 156
§5.4 在Black-Scholes公式中捕捉偏差 158
§5.4.1 CEV模型和水平依赖波动率模型 158
§5.4.2 随机波动率模型 160
§5.4.3 SABR模型 161
§5.4.4 方差-Gamma(VG)模型 162
§5.4.5 GARCH模型 163
第六章 奇异期权的定价和对冲 164
§6.1 Brown运动和它的极值联合分布 164
§6.2 障碍期权 167
§6.2.1 单障碍期权 168
§6.2.2 双障碍期权 169
§6.3 亚式期权 169
§6.3.1 几何平均亚式期权 169
§6.3.2 算术平均亚式期权 171
§6.4 回望期权 178
§6.4.1 回望执行价期权 178
§6.4.2 回望基价期权 180
§6.5 重置期权 181
第七章 It过程和扩散过程模型 182
§7.1 It过程模型 182
§7.1.1 自融资交易策略 182
§7.1.2 等价鞅测度与无套利 184
§7.1.3 欧式未定权益的定价和对冲 188
§7.1.4 计价单位的改变 189
§7.2 期权定价的PDE方法 191
§7.3 用概率方法求欧式期权定价显式解 192
§7.3.1 时间和刻度变换 193
§7.3.2 Merton模型下的期权定价 194
§7.3.3 一般非线性约化方法 195
§7.3.4 CEV模型下的期权定价 196
§7.4 美式未定权益的定价 197
第八章 利率期限结构模型 199
§8.1 债券市场 199
§8.1.1 基本概念 199
§8.1.2 债券价格过程 200
§8.2 短期利率模型 202
§8.2.1 单因子模型和仿射期限结构 202
§8.2.2 单因子模型的函数变换方法 206
§8.2.3 多因子短期利率模型 210
§8.2.4 远期利率模型:HJM模型 211
§8.3 远期价格和期货价格 214
§8.4 利率衍生品的定价 216
§8.4.1 基于函数变换方法的利率模型下的PDE方法 216
§8.4.2 远期测度方法 218
§8.4.3 计价单位改变方法 219
§8.5 Flesaker-Hughston模型 221
§8.6 BGM模型 223
第九章 扩散过程模型下的*优投资组合与投资–消费策略 226
§9.1 市场模型与投资–消费策略 226
§9.2 期望效用*大化 228
§9.3 均值–风险投资组合选择 235
§9.3.1 一般均值–风险模型框架 235
§9.3.2 加权均值–方差模型 236
第十章 静态风险度量 239
§10.1 一致风险度量 239
§10.1.1 币值风险度量和一致风险度量 239
§10.1.2 一致风险度量的表示 241
§10.2 共单调次可加的风险度量 243
§10.2.1 共单调次可加风险度量的表示: 无模型情形 244
§10.2.2 共单调次可加风险度量的表示: 模型依赖情形 247
§10.3 凸风险度量 249
§10.3.1 凸风险度量的表示:无模型情形 249
§10.3.2 凸风险度量的表示:模型依赖情形 250
§10.4 共单调凸风险度量 251
§10.4.1 共单调凸风险度量的表示:无模型情形 251
§10.4.2 共单调凸风险度量的表示:模型依赖情形 253
§10.5 分布不变的风险度量 255
§10.5.1 分布不变的一致风险度量 255
§10.5.2 分布不变的凸风险度量 259
§10.5.3 有关随机序和分位数的几个结果 260
§10.5.4 分布不变的共单调次可加风险度量 262
§10.5.5 分布不变的共单调凸风险度量 271
第十一章 随机分析与半鞅模型 279
§11.1 半鞅与随机分析 279
§11.1.1 上鞅的Doob-Meyer分解 279
§11.1.2 局部鞅和半鞅 281
§11.1.3 关于局部鞅的随机积分 283
§11.1.4 关于半鞅的随机积分 285
§11.1.5 It公式和Doleans指数公式 286
§11.2 半鞅模型 287
§11.2.1 基本概念和记号 288
§11.2.2 关于半鞅的向量随机积分 289
§11.2.3 可选分解定理 291
§11.3 超对冲 292
§11.4 公平价格和可达未定权益 294
第十二章 *优投资的凸对偶方法 298
§12.1 关于效用*大化的凸对偶 298
§12.1.1 问题 298
§12.1.2 完备市场情形 299
§12.1.3 不完备市场情形 301
§12.1.4 Kramkov和Schachermayer的结果 302
§12.2 一个不依赖计价单位的框架 304
§12.2.1 鞅折算因子和超对冲 305
§12.2.2 定理12.1的重新表述 307
§12.3 基于效用的期权定价方法 308
§12.3.1 *小*大鞅折算因子方法 308
§12.3.2 基于边际效用的方法 310
第十三章 期望效用*大化的鞅方法 312
§13.1 期望效用*大化与估价 312
§13.1.1 期望效用*大化 313
§13.1.2 基于效用的估价 314
§13.2 *小相对熵与*大Hellinger积分 316
§13.2.1 HARA效用函数 316
§13.2.2 另一类效用函数 318
§13.2.3 效用函数W0(x)=.e.x 320
§13.3 由一Levy过程驱动的市场 320
§13.3.1 市场模型 320
§13.3.2 关于HARA效用函数的结果 323
§13.3.3 关于形如Wγ(γ<0)的效用函数的结果 327
§13.3.4 关于效用函数W0(x)=.e.x的结果 328
第十四章 *优增长投资组合与期权定价 333
§14.1 *优增长投资组合 333
§14.1.1 *优增长策略 333
§14.1.2 几何Levy过程模型 335
§14.1.3 由跳扩散型过程驱动的模型 340
§14.2 几何Levy过程模型下的定价 344
§14.3 期权定价的其他方法 350
§14.3.1 F.llmer