第1章序与拓扑预备
本章给出了全书所需的有关序、拓扑、范畴等的一些基本概念、记号和结论.
1.1节引入的主要概念有Galois联络、Dedekind-MacNeille完备化、完备化不变性质、子集系统、偏序集的M-完备性等.另外，我们还引入了偏序集的性质S、序分离性和强序分离性等概念.
在1.2节中，我们介绍了拓扑诱导的特殊化(预）序，偏序集上的上(下）拓扑、区间拓扑、Z-Scott拓扑、Z-Lawson拓扑、Scott拓扑、Lawson拓扑，偏序集之间的Scott连续映射、Lawson连续映射，偏序集上的序相容的拓扑，拓扑空间中的饱和子集，序拓扑空间，pospace，Priestley空间，Rq序拓扑空间，严格完全正则序拓扑空间和Lawson公开问题等.
1.3节主要介绍了关于偏序集的性质M，引入了关于偏序集的一种弱于性质M的性质Mm
1.1集与序
本书涉及的有关Domain理论、格论、拓扑学、范畴论、集合理论的基本概念、记号和结论，读者可以参看文献[2，27，46，98，99，214，255].在本书中，自然数全体记为，集X的基数记为，可数无限集的基数记为，*小的不可数基数记为叫集的有限子集全体记为即.
下面是本书用到的几个范畴：
(1)Set表示集合范畴；
(2)Poset表示以偏序集为对象，保序映射为态射的范畴；
(3)SUP表示以完备格为对象，保任意并映射为态射的范畴；
(4)INF表示以完备格为对象，保任意交映射为态射的范畴；
(5)INF^表示以完备格为对象，保任意交和定向并映射为态射的范畴；
(6)COM=SUP∩INF是以完备格为对象，完备格同态为态射的范畴；
(7)Top表示以拓扑空间为对象，连续映射为态射的范畴.
定义1.1.1
定义1.1.2
引理1.1.3设，和是单调的.考虑下述各条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
定义1.1.4设P，Q，Qi均为偏序集.
(1)
(2)
显然，若序分离P中的点，则对角映射为序嵌入.
在本书中，一些结论并不需要选择公理，而只需要下面的选择公理DC.
定义1.1.5
(1)
(2)
定义1.1.6
利用cut算子(见定义1.1.6)，Dedekind给出了基于有理数集构造实数集的方法(参看文献[47])，MacNeille在文献[256]中将Dedekind的方法推广至了一般偏序集，给出了通常所称的偏序集的Dedekind-MacNeille完备化.
偏序集的完备化是一个基本问题(参看文献[22，55，64，81，96，174，175，471])，而Dedekind-MacNeille完备化显然是其中*自然而重要的一种.一个自然的问题是(参看文献[46，55，64，113，114]):哪些性质是Dedekind-MacNeille完备化不变性质？另一个与此相关的问题是：作为连续domain概念的推广，哪些推广是“好”的推广(即是Dedekind-MacNeille完备化不变性质)？或者说，基于Dedekind-MacNeille完备化不变性的角度，我们如何将Domain理论的框架用一种“好”的方式进行推广.
为简便起见，在不引起混淆的情况下，我们将Dedekind-MacNeille完备化简称为完备化(参看定义1.1.9).
引理1.1.7设尸为偏序集，则有
(1)
(2)
(3)
(4)
证明(1)显然.
(2)
(3)
(4)
推论1.1.8设P是偏序集，则P到其Dedekind-MacNeille完备化有一个标准的嵌入映射.
(1)j保任意存在并和任意存在交；
(2)是并稠嵌入，因为
对偏序集P，在同构意义下，其Dedekind-MacNeille完备化被下述性质唯一确定：P到完备格有一个并稠和交稠的序嵌入，即对某完备格L，若存在并稠和交稠的序嵌入，则存在完备格同构使(参看文献[64]).
就Dedekind-MacNeille完备化而言，一个自然而重要的问题是：偏序集的哪些性质在完备化下保持？1980年，Erne考虑了“逆问题”，引入了下述
定义1.1.9[54，64]设S是关于偏序集的一个性质，S称为完备化不变性质，若对任意偏序集P，P具有性质S当且仅当P的Dedekind-MacNeille完备化S(P)具有性质S.
“模性”(modularity)和“分配性”(distributivity)在完备化下不保持是1944年分别由Cotlar_和Funayama所发现(也可参看文献.Boolean代数在完备化下保持是由Glivenko和Stone发现的，现在称之为Glivenko-Stone定理(参看文献).同样，Heyting代数在完备化下也是保持的(参看文献).特别值得关注的是，1981年Em^55l首先注意到domain的连续性在完备化下不保持，为此基于Prink理想他对偏序集引入了一种全新的连续性——预连续性(precontinuity)，证明了这种预连续性是完备化不变性质.后面我们将看到其他分配性，如“Raney分离性”称之为分离性，参见文献[63，64，66])和“主分离性”[63，64，66](也可以称之为强Raney分离性）等，均是完备化不变性质(参看文献[10，54，55，58，63，64，66]，也可参看本书第7章)，但用“通常方式”定义的各种“连续性”和“代数性”一般都不是完备化不变性质(参看本书第7章).受在文献中工作的启发，我们可以基于完备化不变性的角度推广各种连续性和代数性.
定义1.1.10
注1.1.11(1)
(2)
命题1.1.12若P是S偏序集，则P°p是S偏序集，即S偏序集是自对偶的.
证明
例1.1.13
定义1.1.14
(1)
(2)
(3)
注1.1.15，有
(i)
(ii)
(iii)
以下是三个常用的子集系统：
(1)
(2)
(3)
在以下讨论中，Z总表示Poset上的一个子集系统.V_PGob(Poset)，称Z(P)为P上的一个子集系统.当将看作偏序集时，其上的偏序总是指集包含关系.
定义1.1.16设1是一个子集系统.
(1)
(2)
(3)
定义1.1.17
(1)
展开
