第1章 张量代数的基本知识
　　连续介质力学涉及各种物理量和它们所遵循的基本方程，人们通常总是在某一选取的坐标系中进行描述，并*终实现对它们所表达的问题的分析。但是这些物理量及其遵循的规律是客观存在的，并不随坐标系的选取而改变，即应具有坐标不变性。因此，在不同参考坐标系中，相应物理量的分量之间必须满足某种变换关系，以保证物理本质的不变性。这些物理量通常用张量描述，张量就是研究坐标变换中的不变性关系的。
　　在连续介质力学中，采用张量作为分析问题的工具是很有利的，它不仅使烦琐的数学公式变得简明、清晰，同时，由于张量的坐标不变性，定义物理量和建立它们所遵循的基本方程不受具体的坐标系的限制。
　　考虑到二阶张量是*常用的张量，本章以二阶张量为主要对象，介绍张量的定义、一些基本的运算符号规定和运算规则，对二阶张量的一些性质和特征量(如不变量、特征值和特征矢量等)进行较详细介绍，涉及的高阶张量主要是四阶张量，它往往由两个二阶张量所定义，其中一种方积方式经常遇到，为此给予专门介绍。本章所有讨论仅限于参考系为笛卡儿(Descartes)坐标系的情况，对于曲线坐标系下的张量运算将在附录中作简要介绍。
　　抽象记法(也称符号记法)中的张量均使用黑斜体表示，例如，使用 u、v、w、x 和 y 代表矢量(一阶张量)，S、T、W、R 和 Q 代表二阶张量；C、F、C 和F 等 Euclid 符号代表四阶张量。
　　1.1 矢量、指标记法、Kronecker 符号与置换符号
　　1.1.1 矢量
　　根据平行四边形法则，任意矢量相加产生一个新的矢量，且具有以下性质式中0代表零矢量，它没有特定的方向，长度为零。使用α，β表示标量，矢量u 与标量α相乘产生一个新的矢量αu，若α>0，则它与 u 同方向，若α<0，则它与 u 方向相反，进一步，具有以下性质任意两个矢量 u 和 v 的点积产生一个标量，故点积也称为标量积，使用表示，满足下面的性质
　　若，若以及双线性性质
　　(1.1)
　　矢量的长度或者模由的平方根所定义，使用|u|表示，即
　　(1.2)
　　式中符号表示“定义为”。一个矢量 e，若|e|=1，则称它为单位矢量；若，则称矢量 u 和 v 正交。
　　两个矢量 u 和 v 之间的矢量乘(也称叉乘)使用 u × v 表示，产生一个新的矢量，满足下面的性质
　　(1.3a)
　　(1.3b)
　　(1.3c)
　　(1.3d)
　　根据这些定义式，可知点积和叉乘的几何解释应是
　　(1.4a)
　　(1.4b)
　　式中θ是矢量 u 和 v 之间的夹角，k 是与矢量 u 和 v 所在平面相垂直的单位矢量。于是有
　　(1.5)
　　几何上代表以 u 和 v 为边的平行四边形的面积。
　　上面的讨论采用黑体符号进行整体表述，没有涉及坐标系(基)和坐标分量，因而具有坐标不变性，这种表述非常简明、清晰。然而，在具体计算，特别是数值计算分析中，往往需要将矢量放在一个特定的坐标系(基)里使用分量进行讨论。
　　1.1.2 指标记法与 Kronecker 符号
　　选取特定的笛卡儿直角坐标系，其三个相互正交的单位基矢量使用表示，由于正交性，它们应满足
　　(1.6)
　　定义 Kronecker 符号为
　　(1.7)
　　式中下指标 i =1，2，3；j =1，2，3。因此，所定义的符号δ具有九个分量，可用单位矩阵以矩阵的形式表示(通常让第一个指标对应行，第二个指标对应列)。按照指标记法规定，在表达式的每一项中，只出现一次的指标称之为自由指标，如式(1.7)中 i 和 j，自由指标均在1到3之间自由变化而不必再作专门注明。于是，基矢量的正交性式(1.6)可简记为
　　(1.8)
　　即任意两个基矢量之间的点积就等于 Kronecker 符号。
　　在选定的坐标基下，矢量 u 可一般表示为
　　(1.9)
　　式中 u1，u2，u3是 u 的三个坐标分量。为简便起见，约定：在表达式的每一项中，凡是重复出现两次的指标，都表示将这个指标依次取为1、2、3时所得的各项进行累加求和，而将原来的求和符号省略，这就是求和约定，其中重复出现两次的指标称为哑指标。于是，式(1.9)可简记为
　　(1.10)
　　将上式中的哑指标 i 用 j 替换，然后两边使用ei点积，考虑到u与ei的点积即u 在ei上的投影就是u的第i个分量 ui，再利用式(1.8)和定义式(1.7)，应有
　　(1.11)
　　式中 i 是自由指标，从1到3自由变化，而 j 是哑指标，需累加求和。根据上式的*后一个等式，Kronecker 符号可理解为指标替换符号，它将被乘矢量中的哑指标 j 替换为它自身中的自由指标 i。进一步有
　　(1.12)
　　应用式(1.8)和式(1.11)的*后一个等式，两个矢量之间的点积可表示为显然，矢量 u 的长度的平方可表示为
　　(1.13)
　　1.1.3置换符号
　　置换符号定义为，当两个或两个以上指标取相同值时1，当 i， j， k 按正序取值时.1，当 i， j， k 按逆序取值时
　　(1.14)
　　或者直接写成其余21个分量均为零。根据上面的定义，应有(1.15)对于右手正交坐标系，两个基矢量之间的矢量乘应满足上面的关系应用置换符号则可简洁地表示为
　　(1.16)
　　式中 i 是哑指标，但在右边的累加求和中只有的一项不为零。将 i 用 l 替换，然后两边使用 ei 点积，得
　　(1.17)
　　式中1是哑指标。利用 Kronecker 符号的指标替换性质，参考式(1.11)，有
　　(1.18)
　　将式(1.16)中的哑指标 i 用 l 替换，然后两边同乘 Eijk，并利用后面式(1.28)的第一式，得
　　(1.19)
　　因此
　　(1.20)
　　利用置换符号，任意两个矢量之间的矢量乘可表示为
　　(1.21)
　　得分量表达式是或展开表示为三个矢量的混合乘记作[u，v，w]，即有
　　(1.22)
　　它在几何上代表以这三个矢量为边的平行六面体的体积，如图1.1所示，因为根据定义
　　其中代表底面积，代表高。在式(1.22)中使用式(1.21)和式(1.8)，有
　　(1.23)
　　很容易证明，上述混合乘就等于三个矢量的九个分量所组成矩阵的行列式，即
　　(1.24)
　　式中 det 代表求行列式。上面的行列式只有当三个矢量 u，v，w 线性相关时，即其中至少两个矢量相互平行时，才会为零。利用式(1.22)和式(1.3a)，可证明下
　　列等式关系成立
　　(1.25)
　　图1.1 混合乘的几何意义
　　若结合定义式(1.18)和式(1.22)以及式(1.8)，并考虑到三个矢量的混合乘就等于它们在坐标基矢量上投影分量所形成的矩阵行列式，见式(1.24)，还可将置换符号写成行列式的形式使用上式，并考虑到转置矩阵的行列式与矩阵本身的行列式相等，两矩阵乘的行列式与两矩阵行列式的乘积相等以及，得

目录
前言
第1章 张量代数的基本知识 1
1.1 矢量、指标记法、Kronecker符号与置换符号 1
1.1.1 矢量 1
1.1.2 指标记法与Kronecker符号 3
1.1.3 置换符号 4
1.1.4 矢量的坐标变换 7
1.2 二阶张量的定义 9
1.2.1 定义为线性变换的二阶张量及其分量表示 9
1.2.2 两矢量之间的并乘、二阶张量的表示及其与矢量的点积 11
1.3 二阶张量的基本运算规则 13
1.3.1 二阶张量的和与标量乘 13
1.3.2 二阶单位张量 14
1.3.3 二阶张量之间的点积 15
1.3.4 二阶张量的转置：对称张量和反对称张量 16
1.3.5 二阶张量的逆 18
1.3.6 二阶张量之间的双点积 20
1.3.7 二阶张量的迹 21
1.3.8 二阶张量的坐标变换 22
1.4 二阶张量的主不变量、特征值和特征矢量 23
1.4.1 主不变量 23
1.4.2 余因子张量 25
1.4.3 特征值和特征矢量 28
1.5 二阶张量的幂与Hamilton-Cayley定理 30
1.6 对称张量 32
1.6.1 特征值与特征矢量 32
1.6.2 偏张量及其特征值与特征矢量 33
1.6.3 对称张量的另外一种分解 37
1.6.4 对称张量的正定性 39
1.7 反对称张量 41
1.8 正交张量 44
1.8.1 正交张量的定义 44
1.8.2 非正常正交张量 45
1.8.3 正常正交张量使用反对称张量的表示 48
1.8.4 正交张量的Euler角表示 51
1.9 高阶张量 51
1.9.1 三阶张量 51
1.9.2 四阶张量 54
1.9.3 高阶张量 56
1.9.4 张量的方积与四阶单位张量 57
1.9.5 四阶张量的特征张量与特征值 59
第2章 张量分析初步 63
2.1 张量函数 63
2.2 张量函数的线性化与方向导数 65
2.2.1 基本定义与性质 65
2.2.2 若干例子 68
2.3 张量函数的梯度 70
2.3.1 标量值张量函数的梯度 70
2.3.2 张量值张量函数的梯度 74
2.4 张量函数的时间导数 76
2.5 张量场 80
2.5.1 梯度 80
2.5.2 散度 83
2.5.3 旋度 84
2.5.4 Laplace算子和Hessian算子 85
2.5.5 积分定理 86
2.6 各向同性张量函数 89
2.6.1 标量值各向同性函数 89
2.6.2 张量值各向同性函数 92
2.6.3 各向同性张量 93
2.7 各向同性标量值张量函数表示定理 95
2.7.1 自变量为一个对称张量的标量值各向同性函数 95
2.7.2 自变量为一个对称张量和一个矢量的标量值各向同性函数 96
2.7.3 自变量为多个对称张量和反对称张量的标量值各向同性函数 96
2.8 各向同性张量值张量函数表示定理 101
2.8.1 自变量为一个对称张量的张量值各向同性函数 101
2.8.2 自变量为一个张量和一个矢量的张量值各向同性函数 104
2.8.3 自变量为两个对称张量的对称张量值和反对称张量值的各向同性函数 105
2.8.4 自变量为一个对称张量和一个反对称张量的对称张量值和反对称张量值的各向同性函数 110
第3章 变形几何 113
3.1 连续介质 113
3.2 构形与运动 114
3.3 变形梯度 116
3.4 伸长与变形张量 119
3.4.1 伸长比与变形张量 119
3.4.2 主伸长比与主方向 121
3.5 变形梯度的极分解——伸长和转动 123
3.5.1 极分解 123
3.5.2 变形椭球 125
3.5.3 变形梯度和正交张量的主轴表达 127
3.5.4 伸长张量U使用C及其主值的闭合表示 128
3.6 几个简单变形实例的分析 129
3.6.1 均匀拉伸 129
3.6.2 平面变形 130
3.6.3 简单剪切 132
3.6.4 扭转 138
3.6.5 弯曲 140
3.6.6 不可伸长约束与方向转动约束 142
3.7 体积比、面积比与剪切角 144
3.7.1 体积比 144
3.7.2 面积比 145
3.7.3 剪切角 146
3.8 等体积变形与变形的分解 147
3.9 Green和Almansi应变张量 149
3.9.1 Green应变张量 149
3.9.2 Almansi应变张量 152
3.10 参考构形转动与当前构形转动下变形张量的变换 156
3.10.1 参考构形转动 156
3.10.2 当前构形转动 157
3.11 Hill应变度量、Seth应变度量 158
3.11.1 Hill应变度量 158
3.11.2 Seth应变度量 159
3.12 几何线性化 163
3.12.1 变形梯度及其逆的线性化 163
3.12.2 Green应变张量的线性化 164
3.12.3 其他变形张量的线性化 165
3.12.4 体积比的线性化 167
3.13 变形梯度的相容性 167
第4章 运动分析 169
4.1 物质时间导数 169
4.2 刚体运动与旋率的概念 172
4.3 速度梯度与变形梯度的物质时间导数 173
4.4 各种几何量的时间率及变形率与物质旋率的意义 175
4.4.1 线元的长度率和方向率 175
4.4.2 剪切率 177
4.4.3 变形率和物质旋率的意义 177
4.4.4 体积率 179
4.4.5 面积率 179
4.5 变形率意义的进一步解释 180
4.6 速度梯度的另一种分解 182
4.7 应变张量的物质时间导数 183
4.8 以当前构形作为参考构形 187
4.9 几种旋率 190
4.9.1 Lagrange旋率 190
4.9.2 Euler旋率 192
4.9.3 相对旋率 194
4.9.4 对数旋率 194
4.9.5 旋率不依赖坐标系的表示 195
4.9.6 讨论 200
4.10 Hill应变度量、Seth应变度量的物质时间导数 202
4.10.1 分量表示的物质应变率和空间应变率 202
4.10.2 对数应变的时间率 203
第5章 基本力学定律 209
5.1 Reynold输运定理 209
5.2 质量守恒定律 212
5.3 Reynold第二输运定理 213
5.4 动量守恒定律与动量矩守恒定律 213
5.4.1 惯性参考系、动量和动量矩 213
5.4.2 应力矢量和体积力 214
5.4.3 动量守恒和动量矩守恒 216
5.5 Cauchy应力原理与运动方程 217
5.5.1 Cauchy应力原理 217
5.5.2 运动方程 221
5.5.3 Cauchy应力的对称性 223
5.5.4 运动方程的等价形式 224
5.6 功率关系及机械能守恒 224
5.6.1 刚体运动上广义外力所做功率 224
5.6.2 内力功率 225
5.6.3 机械能守恒 226
5.7 固定空间区域的基本力学定律 227
5.8 参考构形上的基本力学定律 228
5.8.1 第一P-K应力的定义 229
5.8.2 动量守恒与动量矩守恒 231
5.8.3 机械能守恒 232
5.9 应力度量的进一步讨论 233
5.9.1 几种常用的应力度量 233
5.9.2 与Hill应变度量、Seth应变度量功共轭的应力度量 239
5.9.3 参考构形变换与当前构形转动下应力张量的变换 243
5.9.4 应力张量的分解 245
5.10 虚位移原理——动量守恒定律的弱形式 246
5.10.1 虚位移 247
5.10.2 当前构形上的虚位移原理 248
5.10.3 参考构形上的虚位移原理 249
5.11 以当前构形作为参考构形的应力 250
5.12 应力的物质时间导数 251
5.12.1 应力度量物质时间导数之间的关系与它们受刚体转动的影响 251
5.12.2 以当前构形作为参考构形 253
5.12.3 应力的线性化 255
5.13 热力学中的几个基本概念 256
5.14 热力学第一定律 257
5.15 热力学第二定律 259
5.15.1 热力学第二定律的经典表述 259
5.15.2 连续介质的Clausius-Duhem不等式 265
5.16 参考构形中的热力学定律 268
第6章 客观性及其原理 270
6.1 随体(曲线)坐标 270
6.1.1 物质曲线坐标与空间曲线坐标系 271
6.1.2 随体坐标系 272
6.2 前推后拉运算 273
6.2.1 矢量的前推后拉运算 273
6.2.2 张量的前推后拉运算 274
6.2.3 应力张量前推后拉的进一步讨论 276
6.3 随体导数 277
6.4 Lie导数 278
6.5 客观性 280
6.5.1 观察者改变(Euclid变换) 280
6.5.2 客观张量 282
6.5.3 一些运动量在观察者改变下的转换 284
6.6 客观率 286
6.6.1 Jaumann率与随体率 286
6.6.2 其他客观率 289
6.6.3 以当前构形为参考构形 290
6.6.4 讨论 291
6.6.5 第一P-K应力的客观率 292
6.7 标架无差异原理 293
6.8 标架无差异原理应用于热力学第一定律 295
第7章 本构原理 299
7.1 本构方程的一般性原理 300
7.1.1 决定性原理 300
7.1.2 局部原理 300
7.1.3 本构方程的标架无差异原理 302
7.2 简单物质定义的参考构形无关性 304
7.3 本构方程的简化 305
7.4 物质对称性 306
7.4.1 对称群的概念 306
7.4.2 对称群的性质 308
7.4.3 正交张量属于对称群的充分必要条件 310
7.4.4 讨论 310
7.5 物质分类 312
7.5.1 各向同性物质 312
7.5.2 简单流体 314
7.5.3 固体 317
7.5.4 流晶 320
7.6 物质内部约束 321
7.7 本构响应泛函针对不同物质性质的进一步简化 325
7.7.1 无记忆的弹性物质——状态函数型 325
7.7.2 有限记忆的黏弹性物质——微分型 326
7.7.3 记忆衰退与有限线性黏弹性物质——积分型 328
7.7.4 内变量型 329
7.8 各向异性与结构张量 330<