第1章绪论
1.1数学的本质与数学核心素养
乔治 康托尔(GeorgeCantor，1845—1918)曾经说道“数学的本质就在于它的自由(The essence of mathematics lies in its freedom)”(Mathematische Annalen，Bd.21).日本数学家米山国藏(1877—1968)在其有名的著作《数学的精神、思想和方法》中将“数学的本质在于思考的充分自由”作为重要的数学思想之一.
苏联著名数学家A.D.亚历山大洛夫详细考察分析了数学的特点，并从数学历史的视角对算数、几何、初等数学、变量的数学以及现代数学的产生、研究对象以及内容、思想和方法等进行了全面深刻的考察，在对恩格斯的《反杜林论》中关于数学本质的深刻论述基础上揭示了数学的本质，指出á:“独*的‘公式语言’，应用的广泛，数学结论的脱离实验的特征以及它们的逻辑的不能避免和令人信服.数学的这种思辨的特征是它的非常本质的特点”“数学的思辨的特点，它的结论的逻辑必然性和看来不可变动的性质，以及新概念和新理论产生于数学内部的事实;数学应用的特点也被这个与内容无关的性质所规定.”所以数学的抽象性成为数学*本质的特点之一，也是数学的力量所在.
美国著名数学家R.柯朗和H.罗宾在他们的名著《什么是数学——对思想和方法的基本研究》中指出:“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求.它的基本要素是:逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性.虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值.”
由教育部制订的《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》于2020年5月出版，其中在课程性质与基本理念、学科核心素养与课程目标、课程结构以及课程内容等方面都进行了重大的调整和深刻的阐述，提出了数学核心素养指标体系以及学业质量内涵与水平的描述和划分，这标志着我国课程改革进入一个相对理性和成熟的新时代.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》分别从数学的研究对象、来源以及数学的思维方式及其与现实世界的关系等层面阐述了数学学科的本质特性，指出:“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.”同时阐述了数学与现实社会的联系及其教育价值，指出:“数学与人类生活和社会发展紧密关联.数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言.数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分.数学是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥着越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.随着现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到很大的提升，伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络、文本、声音、图象等反映的信息进行数字化处理，这使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展.数学直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展.”“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.”
《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出的课程基本理念是:
(1)学生发展为本，立德树人，提升素养;
(2)优化课程结构，突出主线，精选内容;
(3)把握数学本质，启发思考，改进教学;
(4)重视过程评价，聚焦素养，提高质量.
从数学教育哲学的高度来理解和把握数学课程的基本理念，我们可以看出，数学课程的基本理念不仅涉及数学教育观——“学生发展为本，立德树人，提升素养”、数学课程观——“优化课程结构，突出主线，精选内容”以及数学观和数学教学观——“把握数学本质，启发思考，改进教学”，还涉及数学教育测量与评价观——“重视过程评价，聚焦素养，提高质量”等数学教育哲学的诸多方面，值得我们深入地思考与研究.其中，特别突出的一个观点，就是发展数学学科核心素养和数学核心素养水平的有效达成贯穿数学课程基本理念的始终.正如数学课程标准所指出的那样，“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称‘四基’);提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称‘四能’)”.*终达到“三会”之境界——会用数学眼光观察世界，发展数学抽象和直观想象素养;会用数学思维思考世界，发展逻辑推理和数学运算素养;会用数学语言表达世界，发展数学建模和数据分析素养.这就是课程标准提出的高中阶段“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”六大数学学科核心素养.因此，“以发展学生数学学科核心素养为导向”和落实数学学科核心素养的数学教育取向，不仅是数学教育的出发点，更是以“学生发展为本”的教育理念的落脚点和归宿.
这值得我们数学教育研究领域的每一个研究者关注，也是本书特别关注的一个研究视角——在数学教学的实践中，如何落实“四基”，培养“四能”，*终达到“三会”之境界，从而在真正意义上落实数学学科核心素养.
1.2研究的问题
我国著名数学教育家北京师范大学曹一鸣教授在为拙著《数学课程标准与教学实践一致性——理论研究与实践探讨》(科学出版社，2017)一书所写的序言中指出:
教育领域没有什么问题比“课程改革”更受到社会的广泛关注.教育行政部门、教育专家(包括各学科领域的专家)、教师、学生以及家长都会在不同程度上卷入其中.然而作为关联权益群体中*核心的部分——学生和教师——在这个问题上往往很少具有话语权.课程从研究者、制订者到实际实施者(老师)和受益者(学生)存在着多层级的衰变.
当代美国知名教育家古德拉德(John I.Goodlad，1920—)在对课程概念框架的研究过程中发现，人们谈论课程时实际上涉及理想的课程(Ideological Curricula)、正式的课程(Formal Curricula)、领悟的课程(Perceived Curricula)、运作的课程(Operational Curricula)、经验的课程(Empirical Curricula)五个不同层次的课程à.理想的课程来自于研究机构、学术团体和课程专家提出的理想计划.正式的课程是指获得国家教育行政部门或州地方学校委员会等官方批准课程标准(大纲)、教材.领悟的课程是指教师(甚至包括家长)如何理解现有的课程，以及他们对现实持什么态度.运作的课程则是课堂教学中实施的部分.而经验的课程则是学生在学习中经历、体验、习得的课程.
课程改革能否有效地实施，取决于教师如何组织有效地实施课程，开展课堂教学以及学生真正体验课程内容，而不是课程标准、教材甚至学校课程表所列出的课程.基础教育课程改革关系到一代人的成长，关系到国家的发展，改革必须谨慎，必须在实施改革前做好充分的准备，并在实施过程中进行不断的研究.既要研究国外的成功经验，更要研究我国自己数学课程改革的历史和特点，特别是在课程实施中所出现的问题.从理想的课程到实施的课程、学生习得的课程——教学中真实发生的事件，存在着许多不确定的因素.在数学课程改革的实践中，实际教学与课程标准一致性程度的现实状况，以及如何有效提高课程标准与教学实践之间的一致性水平等问题，对于推进数学新课程改革，更好地实现课程标准理念具有极其重要的实践意义.
本课题研究正是聚焦于“理想的课程、正式的课程、领悟的课程、运作的课程以及经验的课程”等领域.具体地说，我们重点研究基于学生发展核心素养的高中数学课程标准所界定的数学核心素养水平的认知诊断(理想的课程、正式的课程)与实现路径(领悟的课程、运作的课程以及经验的课程)等领域的研究.
数学核心素养研究被认为是当今数学课程改革*重要的研究课题，数学核心素养已经成为课程基本理念的核心要素.由经济合作与发展组织(OECD)发起的学生能力国际比较研究“国际学生评估项目”(Programme for International Student Assessment，PISA)，测评即将完成义务教育时，学生在多大程度上掌握了全面参与社会所需要的问题解决能力和终身学习能力，聚焦在15岁学生的阅读素养、数学素养和科学素养上，其中将数学素养定义为“个体在各种背景下进行数学表述、数学运用和数学阐释的能力.它包括数学式的推理，以及使用数学概念、步骤、事实和工具来描述、解释和预测现象.它帮助个体认识数学在现实世界中所起的作用，做出有根据的判断和决策，以成为具有建设性、参与意识和反思能力的公民”.这一项目从2000年开始实施，参与国家(地区)之多，影响之广是空前的，它对21世纪各国课程改革产生了深远的影响.
《中国学生发展核心素养(2017年版)》指出“学生发展核心素养，主要是指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，并指出“中国学生发展核心素养，是以‘全面发展的人为核心’，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养”(中国教育学刊，2016，10:1-3).林崇德先生从国际视域探究大教育背景下学生发展核心素养有关课题，特别是以内容分析法对课程标准所关注的学生发展核心素养指标进行统计分析(林崇德，2016).有学者对数学核心素养指标进行了深入的反思和批判，并提出新的数学核心素养指标体系(何小亚，2016).有学者对某一具体核心素养指标之内涵进行深入的分析(史宁中，2008，2016).有学者集中在核心素养的含义及其与素质教育比较的分析(陈佑清，2016).有学者从教材编写的视角探究核心素养的落实(章建跃，2016).也有学者探究数学素养的操作定义(王光明等，2016).有学者对数学素养的内涵、测评与发展进行过专题研究，但在测评方面的研究主要还是对PISA的数学素养测评的综述(黄友初，2016).还有学者对基于学生核心素养的数学学科能力进行了深入的研究(曹一鸣，2017)等.
《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出:“数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养”，“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养”和“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的”，并提出高中阶段“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”六大数学核心素养指标体系.高中数学课程标准修订的重点是落实数学学科核心素养.这就充分表明关于数学核心素养的研究，亟待数学界、数学教育界有关专家学者进行深入的实证研究与理论思考，以期为新一轮高中数学课程改革提供重要的理论指导.因而，对学生数学核心素养水平的认知诊断(测量与评价)以及对学生数学核心素养有效达成的路径的探究，就成为理论界的一个重要研究课题.
(一)一系列重要研究课题摆在数学教育界面前
数学学科核心素养对学生主体的未来发展有怎样的影响？其机制如何？如何培养和提高学生的数学学科核心素养？如何树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识？如何将数学知识技能的教学与数学核心素养有机地融合？数学课堂教学中如何落实“四基”目标中的“基本思想和基本活动经验”？“四基”与“四能”目标如何在教学实践中统一，从而促成学生数学学科核心素养的有效达成，达到“三会”之境界？这一系列问题又都将落实到一个更为基本的问题——如何对学生的数学学科核心素养有关指标及其水平进行认知诊断(测量与评价)？数学学科核心素养有效达成的实现路径又是什么？
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