第1章 超几何型方程
　　本章简单介绍超几何微分方程的概念和性质以及超几何差分方程的定义和性质， 重点介绍非一致格子的概念和由来. 超几何型方程的解是一些特殊函数， 在后面的章节我们将会看到， 其中的一些特殊函数与分数阶微积分 (或离散分数阶微积分) 有十分密切的关系.
　　1.1 超几何型微分方程介绍
　　应用数学和数学物理中的许多问题中， 都会导出方程
　　(1.1.1)
　　这里 σ(z) 和 τ (z) 是至多二阶和一阶多项式， λ 是常数. 我们称方程 (1.1.1) 为超几何型方程 (超几何方程)， 它的解称为超几何型函数 (超几何函数).
　　对于超几何方程 (1.1.1) 的任意解， 下面一个基本性质是满足的.
　　性质 1.1.1 超几何函数的任意阶导数， 仍然是超几何型函数.
　　证明 对方程 (1.1.1) 微分一次， 令 υ1(z) = y′(z)， 那么容易知道 υ1(z) 满足方程
　　(1.1.2)
　　这里
　　由于τ1(z) 是关于 z 的至多一阶多项式， 且 μ1 是不依赖于 z 的常数， 因此方程 (1.1.2) 仍然是一个超几何型方程.
　　同理， 对方程 (1.1.1) 微分 n 次， 我们能够得到关于函数 υn(z) = y(n)(z) 满足的超几何型方程
　　(1.1.3)
　　这里
　　(1.1.4)
　　(1.1.5)
　　1.1.1 超几何型多项式及 Rodrigues 公式
　　上面所考虑方程 (1.1.1) 的特性， 可以让我们根据某个 λ 的值， 构造出一族特解. 事实上， 当 μn = 0 时， 方程 (1.1.3) 有特解 υn(z) = const. 由于 υn(z) =y(n)(z)， 这就意味着：当
　　原超几何方程有 y(z) = yn(z)， 其中 yn(z) 是 n 阶多项式. 我们称这种解为超几何型多项式.
　　为找出超几何多项式的明显公式， 我们用函数 ρ(z) 和 ρn(z) 分别乘以方程(1.1.1) 和方程 (1.1.3)， 那么就可将它们化为自相伴型方程
　　(1.1.6)
　　(1.1.7)
　　这里 ρ(z) 和 ρn(z) 满足微分方程
　　(1.1.8)
　　(1.1.9)
　　对τn(z) 利用 (1.1.4)， 我们能够建立 ρn(z) 和 ρ0(z) = ρ(z) 之间的关系:
　　因此
　　且有
　　由于
　　且
　　我们可将 (1.1.7) 改写成
　　因此， 由递推我们得到
　　这里
　　(1.1.10)
　　我们现在继续要得到超几何多项式的明显表达式. 如果函数 y(z) 是一个 n阶多项式， 即 y(z) = yn(z)， 那么 υn(z) = y(n) n (z) = const， 并且我们得到 yn(z) 的如下表达式
　　(1.1.11)
　　这里是一个标准化的常数， 且 An 由方程 (1.1.10) 确定， 并且
　　因此除了一个常数之外， 方程 (1.1.1) 的多项式解由公式 (1.1.11) 唯一确定. 这些解对应于常数值 μn = 0， 即
　　我们称关系 (1.1.11) 为 Rodrigues 公式.
　　1.1.2 多项式的分类
　　通过线性变换， 方程 (1.1.1) 中的 σ(z) 和 τ (z) 可以化为以下几种情形.
　　(1) 让 σ(z) = 1.z2， τ (z) = -α+β +2)z +β-. 这时方程 (1.1.8) 的解为
　　由 Rodrigues 公式， 可以得到相应的多项式 yn(z) 是
　　这里

目录
序
前言
第1章 超几何型方程 1
1.1 超几何型微分方程介绍 1
1.1.1 超几何型多项式及 Rodrigues 公式 2
1.1.2 多项式的分类 3
1.2 离散变量的超几何型差分方程 5
1.2.1 超几何差分方程的性质 5
1.2.2 超几何差分方程自伴形式 7
1.2.3 超几何型多项式的差分模拟及Rodrigues型公式 8
1.2.4 Hahn， Chebyshev， Meixner， Kravchuk 以及Charlier 多项式 9
1.3 非一致格子的超几何差分方程 13
1.3.1 非一致格子的由来 14
1.3.2 k 阶差商满足的方程 18
1.4 非一致格子超几何差分方程的 Rodrigues 公式 20
1.4.1 Rodrigues 公式模拟 20
1.4.2 yn(z) 的超几何函数表达式 22
第2章 广义 Rodrigues 公式 26
2.1 内容介绍和安排 26
2.2 非一致格子上的差分及和分 28
2.3 Rodrigues 公式 30
2.4 τk(s)， μk 和 λn 的显式表示 32
2.5 非一致格子上超几何差分方程的伴随方程 35
2.5.1 超几何微分方程的伴随方程 35
2.5.2 非一致格子上超几何差分方程的伴随方程 37
2.6 Rodrigues 公式的一个推广 42
2.7 更一般的 Rodrigues 公式 47
第3章 非一致格子上的超几何差分方程的解 52
3.1 超几何微分方程的解 52
3.1.1 特定条件下解的 Rodrigues 公式 52
3.1.2 超几何微分方程的伴随方程 53
3.1.3 超几何微分方程的伴随方程特解求法 53
3.1.4 一般条件下原超几何微分方程求解公式 55
3.2 非一致格子超几何差分方程的解 55
3.2.1 基本概念和运算法则 56
3.2.2 特定条件下解的 Rodrigues 公式 58
3.2.3 两个函数的推广及广义幂函数 59
3.2.4 一般情况下非一致格子超几何差分方程的解 62
3.3 NUS 差分方程新的基本解 64
3.4 NUS 方程的伴随方程 82
3.5 伴随差分方程的特解 91
3.6 一些应用 96
3.7 结论 102
第4章 第二型非一致格子上的超几何差分方程的解 103
4.1 第二型非一致格子上的超几何差分方程 103
4.1.1 第二型非一致格子超几何方程的定义 104
4.1.2 第二型超几何方程的 Rodrigues 公式 111
4.2 一些命题和引理 113
4.3 伴随方程 117
4.4 伴随方程的特解 123
4.5 一些推论 131
4.6 另一种新基本解 134
第5章 向后非一致格子上的分数阶差分方程 150
5.1 背景回顾及问题提出 150
5.2 非一致格子上的整数和分与整数差分 155
5.3 非一致格子上 Euler Beta 公式的模拟 159
5.4 非一致格子上的 Abel 方程及分数阶差分 165
5.5 非一致格子上 Caputo 型分数阶差分 167
5.6 一些应用和定理 171
5.7 非一致格子上 Riemann-Lionville 型分数阶差分的复变量方法 178
5.8 非一致格子上中心分数阶和分与分数阶差分 187
5.9 应用: 分数阶差分方程的级数解 197
第6章 向前非一致格子上的分数阶微积分 201
6.1 非一致格子上的整数和分与整数差分 201
6.2 非一致格子上 Euler Beta 公式的模拟 207
6.3 非一致格子上的 Abel 方程及分数阶差分 213
6.4 非一致格子上 Caputo 型分数阶差分 216
6.5 一些应用和定理 220
6.6 非一致格子上 Riemann-Liouville 型分数阶差分的复变量方法 227
6.7 非一致格子上中心分数阶和分与分数阶差分 239
6.8 应用: 分数阶差分方程的级数解 250
第7章 离散分数阶函数与一些特殊函数 254
7.1 经典正交多项式回顾 254
7.2 分数阶函数 258
7.2.1 分数阶 Hermite 函数 259
7.2.2 分数阶 Laguerre 函数 260
7.2.3 分数阶 Jacobi 函数 261
7.2.4 分数阶 Gegenbauer 函数 263
7.2.5 分数阶 Chebyshev 函数 264
7.2.6 分数阶 Legendre 函数 265
7.3 Pearson 方程求解 265
7.4 离散分数阶函数 269
7.4.1 分数阶 Charlier 函数 269
7.4.2 分数阶 Meixner 函数 270
7.4.3 分数阶 Krawtchouk 函数 271
7.4.4 分数阶 Hahn 函数 272
7.5 离散分数阶差分与超几何方程之间的关系 274
7.5.1 向后分数阶差分形式的解 274
7.5.2 非一致格子上的分数阶函数 279
7.5.3 一致格子上分数阶函数与超几何方程内在联系 281
7.5.4 非一致格子超几何方程向前分数阶差分形式的解 283
7.5.5 非一致格子上的分数阶函数 288
7.6 函数的正交性 288
参考文献 292