第1章泛函分析基本概念与变分法要点
　　首先给出一些泛函分析的概念和符号.
　　1.1空间与泛函
　　1.1.1空间
　　空间首先是元素的集合，例如实数空间是所有实数构成的集合，复数空间是所有复数构成的集合.但元素的集合还不能称为空间.当对集合中的元素施加某种特定的限制，或规定某些特定的运算，或者要求满足若干特定的规则时，才成为各种各样不同类型的空间.
　　集合中的元素也称为点.
　　1.给定集合X，在X上定义开集(定义方式可视具体情况而定).Σ是X上的开集族，满足
　　全集X和空集在Σ中，
　　Σ中有限多个开集的交属于Σ，
　　Σ中无穷多个开集的并属于Σ，
　　则称开集族Σ是集合X上的一个拓扑结构.定义了拓扑结构的集合X就是一个拓扑空间.
　　2.设X是一个拓扑空间，假设对，分别有不相交开集U，V作为它们的开邻域，就称X是一个Hausdorff空间.
　　3.给定集合X，如果对X中任意两元素x，定义函数ρ:则称函数ρ(x，y)是X上的距离或度量.定义了距离ρ的集合X记为(X，ρ)，称为度量空间或距离空间.
　　在实数集合上定义两点间的距离为，则全体实数的集合就成为度量空间，记为或简单记为R.
　　4.给定集合X，如果对X中任意两元素x，y2X及实数域R中任意两数则称X是一个实线性空间.将定义中的实数域R换成复数域C，就得到复线性空间.本书中如无说明，凡提到线性空间都是指实线性空间.
　　假设X是一个向量空间，则X是一个线性空间.
　　5.设X是一个线性空间，在X上定义函数，
　　则称(X，f)是一个赋范线性空间，f称为范数.空间的范数通常用表示，所以赋范线性空间就表示为.对于有限维空间上的范数，也常用表示，这时空间就表示为.
　　如果在赋范线性空间中用范数定义度量，则按照度量空间的定义，是一个度量空间.
　　在不引起误解的情况下，定义范数后的赋范线性空间也可简单地用线性空间原先的符号X表示.
　　在度量空间中可以给出有界集、点列收敛及Cauchy点列的概念.
　　度量空间(X，ρ)的子集A，如果存在r>0使满足，就说子集A是(X，ρ)中的有界集.
　　度量空间(X，ρ)的点列，如果存在，点列按范数收敛于x0.按范数收敛也简单称为收敛，可记为.
　　一个点列，如果对，存在时总能成立，就称fxng是一个Cauchy点列.
　　在度量空间中，可以利用距离的概念定义开集.
　　设是度量空间X中的一个子集.就说x0是集合A的一个内点.如果集合A中的每一个点都是它的内点，则A就是X中的一个开集.
　　6.设是一个赋范线性空间，如果对X中的任一Cauchy点列，总有一个收敛子列，在时满足，则说空间X是完备的.完备的赋范线性空间称为Banach空间.
　　Banach空间的典型例子是lp空间和Lp空间，其中是实数.这时
　　除此之外，如果，记为，其上定义范数则成为一个Banach空间.
　　对其上定义范数，则也是一个Banach空间.
　　在某些线性空间中可以定义内积.例如在向量空间Rn中，
　　如果是函数空间，则在X上也可定义内积，即对任意两个函数，定义内积此处，仍表示中的内积，表示函数空间中的内积.
　　在实函数构成的线性空间X上，定义内积实际上是规定了X中每两个元素到实数域R上的对应关系，这样的对应关系必须满足
　　7.设一个赋范线性空间，如果它的范数是根据内积定义的，则是一个酉空间.
　　设是一个完备的赋范线性空间，即Banach空间，如果它的范数是根据内积定义的，则称它是Hilbert空间.也就是说，完备的酉空间是Hilbert空间.
　　根据函数空间X上所有函数光滑程度的不同，对内积的定义也可以有所不同.
　　如果X上函数仅满足，则内积由(1.2)给出，这时函数空间，或简记为L2函数空间.
　　如果X上函数满足，则内积可定义为，这时称为H1[α，β]函数空间，或简记为H1函数空间.
　　如果X中的函数除满足之外，还满足其他一些条件，则内积可等价定义为
　　除了(1.2)、(1.3)和(1.4)定义的内积外，如果X中元素满足条件，则内积通常可定义为，
　　并由此内积定义相应范数，即为H2空间.当时，H2空间中也可由内积定义等价范数.如果是一个可逆线性算子，必要时也可将函数空间上的内积定义为.更多的等价范数将在第4章讨论.
　　由于本书第2章需用到空间可分的概念，这里预作简要介绍.
　　设X是一个度量空间，如果存在可数子集，则说度量空间X是可分的.
　　设X是一个酉空间，如果存在可数子集，是酉空间X中的一个完全标准正交系.
　　命题1.1设X是一个实的Hilbert空间，如果X中有一个完全标准正交系，则X是可分的.反之亦然.
　　证明，是空间X中的一个完全标准正交系.由有理数集在R中的稠密性，可取有理数集，因为有理数集是可数的，即知X是可分的.
　　设Hilbert空间X是可分的，我们来构造一个完全标准正交系.由X可分，故有可数点集，存在满足.在中取一个非零元素，不妨设就是，之后在中去掉后余下的元素中取一个与x1正交的元素，不妨设就是，以此类推，得到一个可数的两两正交集族，不妨仍记为.之后对每个.将空间中的每个点看作以该点为终点、原点为始点的向量，则对，就是x在ei上的投影.因此如果是一个标准的正交系，当且仅当.
　　现假设不是一个标准的正交系，则存在，有使.
　　易知，一个实的有限维Hilbert空间必定是可分的.
　　进一步有以下命题.
　　命题1.2设X是一个实的可分无穷维Hilbert空间，则X与空间同构.
　　证明设两个Hilbert空间X，Y上的内积分别是，如果存在一一映射的线性算子，就说空间X，Y是同构的.
　　设和分别是上的完全标准正交系，定义，显然这是双向一一映射，且满足

目录　
《现代数学基础丛书》序　
前言　
第1章　泛函分析基本概念与变分法要点　1　
1.1　空间与泛函　1　
1.1.1　空间　1　
1.1.2　泛函　7　
1.1.3　空间上的不等式　13　
1.1.4　泛函与临界点　16　
1.2　变分法的产生　18　
1.3　变分法用于微分方程边值问题的研究　22　
第2章　临界点存在定理和指标理论　26　
2.1　临界点存在定理　26　
2.1.1　(PS)-条件与极大极小原理　26　
2.1.2　极值点的存在性　35　
2.1.3　鞍点存在定理和山路引理　40　
2.2　指标理论和多个临界点的存在定理　49　
2.2.1　指标理论与伪指标理论　49　
2.2.2　指标与临界点个数的关系　52　
2.2.3　临界点个数的具体估计　53　
2.2.4　Z2指标理论与伪Z2指标理论　55　
2.2.5　S1指标理论和伪S1指标理论　58　
2.3　Zn指标理论和伪Zn指标理论　61　
2.4　Sn指标理论和伪Sn指标理论　71　
2.5　周期轨道和临界点　77　
2.5.1　几何上不同的周期轨道　77　
2.5.2　指标的规范性　82　
2.5.3　Sn指标与几何上不同的周期轨道个数　84　
2.5.4　Zn指标与几何上不同的周期轨道个数　85
第3章　带p-Laplace算子微分方程边值问题　95　
3.1　带p-Laplace算子微分方程单侧多点边值问题　96　
3.1.1　预备知识和主要结果　96　
3.1.2　若干引理　97　
3.1.3　定理3.1的证明　100　
3.1.4　定理3.1的示例　100　
3.2　带p-Laplace算子微分方程双侧多点边值问题　101　
3.2.1　泛函构造及定理证明　102　
3.2.2　定理3.2的示例　104　
3.3　带p-Laplace算子微分方程混合边值问题　105　
3.3.1　问题和结论　105　
3.3.2　定理3.3的证明　106　
3.3.3　定理3.3的示例　110　
3.3.4　定理3.4的证明　111　
3.3.5　定理3.4的示例　118　
3.4　带p-Laplace算子微分方程的Dirichlet边值问题　119　
3.4.1　问题和结论　119　
3.4.2　边值问题的转换　120　
3.4.3　Fenchel变换和泛函的临界点　122　
3.4.4　定理3.5的证明　129　
3.4.5　定理3.5的示例　131　
3.5　二阶脉冲微分方程两点边值问题　131　
3.5.1　Sturm-Liouville边值问题的特征函数系　132　
3.5.2　脉冲线性方程边值问题　133　
3.5.3　脉冲非线性方程边值问题　136　
3.5.4　非线性二阶方程Sturm-Liouville边值问题的正解　137　
第4章　偶数阶时滞微分方程的周期轨道　142　
4.1　自伴线性算子和半线性方程　142　
4.1.1　自伴线性算子和半线性方程的概念　142　
4.1.2　周期函数空间上的两类线性算子　143　
4.1.3　周期函数空间上的算子P和Ω　150　
4.1.4　Hilbert空间上的几个极限　159　
4.1.5　整变量函数的上下界及算子的紧性　166　
4.1.6　算子的可逆性　167　
4.1.7　周期函数空间上的泛函　171
4.2　二阶多滞量微分方程的周期轨道　172　
4.2.1　导言　172　
4.2.2　方程(4.32)的n+1-周期轨道　173　
4.2.3　方程(4.32)的n-周期轨道　188　
4.2.4　本节定理的示例　191　
4.3　2n阶双滞量微分方程的周期轨道　191　
4.3.1　同余映射　192　
4.3.2　方程(4.69)的周期轨道　194　
4.3.3　方程(4.70)的周期轨道　201　
4.3.4　定理4.11和定理4.14的示例　210　
4.4　非Kaplan-Yorke型2n-阶多滞量微分方程的周期轨道(1)　212　
4.4.1　预备引理　214　
4.4.2　情况1中方程(4.121)的周期轨道　216　
4.4.3　情况2中方程(4.121)的周期轨道　225　
4.4.4　情况3中方程(4.121)的周期轨道　230　
4.4.5　定理4.16、定理4.17和定理4.18的示例　235　
4.5　非Kaplan-Yorke型2n-阶多滞量微分方程的周期轨道(2)　239　
4.5.1　方程(4.201)的m+1-周期轨道　241　
4.5.2　方程(4.202)的2(2l+1)-周期轨道　250　
4.5.3　方程(4.203)的2l-周期轨道　257　
4.5.4　方程(4.204)的2l-周期轨道　266　
4.5.5　方程(4.205)的2l-周期轨道　274　
4.5.6　定理4.23的示例　285　
第5章　奇数阶时滞微分方程的周期轨道　290　
5.1　反自伴算子和微分系统的分解　290　
5.1.1　反自伴线性算子和对称向量　290　
5.1.2　对称矩阵耦与欧氏空间RN的正交分解　292　
5.1.3　时滞微分系统的分解　296　
5.2　两类奇数阶多滞量时滞微分方程的周期轨道　300　
5.2.1　两类奇数阶多滞量微分方程的周期轨道　300　
5.2.2　方程(5.32)的4k-周期轨道　301　
5.2.3　方程(5.33)的4k-周期轨道　308　
5.2.4　本节示例　311　
5.3　一般情况下的奇数阶多滞量微分方程　314　
5.3.1　对称向量与反对称阵　315
5.3.2　方程(5.61)的变分结构及相关结论　319　
5.3.3　定理5.7的示例　327　
5.4　2k-1个滞量的微分系统周期轨道　329　
5.4.1　两类奇数个滞量微分方程周期轨道的多重性　329　
5.4.2　相关定理的示例　357　
5.5　2k个滞量的微分系统周期轨道　364　
5.5.1　偶数个滞量微分系统周期轨道的多重性　364　
5.5.2　系统(5.190)周期轨道的多重性　365　
5.5.3　微分系统(5.191)的2k+1-周期轨道　391　
5.5.4　本节示例　413　
第6章　非自治微分系统的调和解　422　
6.1　周期函数空间上的Zn指标理论　422　
6.2　扩展的Fisher-Kolmogorov方程的周期边值问题　425　
6.2.1　两类扩展的Fisher-Kolmogorov方程　428　
6.2.2　边值问题(6.22)的有解性和多解性　430　
6.2.3　边值问题(6.23)的无穷多解性　433　
6.3　扩展的Fisher-Kolmogorov方程的同宿轨道　436　
6.4　非自治4阶时滞微分方程的调和解(1)　441　
6.4.1　方程(6.40)的n+1-周期调和解　441　
6.4.2　方程(6.40)的s+1-周期调和解　456　
6.4.3　方程(6.40)调和解的示例　458　
6.5　非自治4阶时滞微分方程的调和解(2)　459　
6.5.1　n=2k.1，k.1时方程(6.69)的调和解　460　
6.5.2　n=2k，k.1时方程(6.69)的调和解　470　
6.6　非自治多滞量时滞微分方程的调和解　478　
6.6.1　向量与矩阵　479　
6.6.2　向量a为对称向量时方程(6.127)的调和解　487　
6.6.3　向量a为反号对称向量时方程(6.127)的调和解　495　
6.6.4　本节定理的示例　501　
6.7　无穷多个调和解的存在性　506　
6.7.1　定理的证明　507　
6.7.2　定理的示例　515　
参考文献　517　
后记　525　
《现代数学基础丛书》已出版书目　526