第1章 微分流形
　　本章给出微分流形的定义，研究流形之间的映射及其线性化，我们列举了许多具体的微分流形的例子，并将Lie群作为重要的例子加以介绍。
　　1.1 流形的定义和例子
　　流形是一种特殊的拓扑空间，是欧氏空间中*线、*面的推广，在微积分中，我们曾研究过*线的弧长、*面的面积等问题，在古典微分几何中，我们进一步研究了*线和*面的“弯*”性质，发展出了重要的*率概念。Gauss发现：*面的*率实际上只依赖于*面的**基本形式，这为将*面从欧氏空间中抽象出来进行研究奠定了基础，此外，Gauss-Bonnet定理将几何量（*率）和拓扑量联系在一起，从而启发我们用几何手段来研究拓扑问题，现代微分几何和拓扑学的主要研究对象就是流形。
　　回忆一下，所谓拓扑空间是指一个配对，其中x为一个集合，也是一个集合，其元素都是x中的子集，并且满足以下条件：
　　(i) ；
　　(ii) 中有限个元素之交仍属于；
　　(iii) 中任意多个元素之并仍属于。
　　这样的称为x上的一个拓扑，中的元素称为开集。拓扑空间是点集拓扑学或一般拓扑学的主要研究对象，在点集拓扑学中，人们研究拓扑空间的连续性质以及在连续变换下保持不变的性质，为用微积分的手段研究拓扑空间的性质，我们必须对其施加进一步的限制，在点集拓扑学中，具有可数拓扑基的拓扑空间称为A2的，具有Hausdorff性质的拓扑空间称为T2的。
　　定义1.1.1（Cr流形） 设M是具有A2，T2性质的拓扑空间，如果存在M的开覆盖，以及相应的连续映射族，使得
　　(i)为从Ua到欧氏空间开集上的同胚；
　　(ii)当时，如下的转换映射为映射，则称M为Cr流形。
　　我们称或为M的局部坐标覆盖，为一个局部坐标系，为局部坐标邻域，为局部坐标映射，设p∈Ua，记为的第i个欧氏坐标，称为第i个（局部）坐标函数，有时也称为p附近的局部坐标，上述定义中的几称为流形M的维数，记为。为了强调流形的维数，有时也把M记作Mn。
　　我们就流形的概念作一些解释：
　　(1) 如果所有的转换映射都只是CO（连续）的，则称M为拓扑流形，当1≤r<∞时，称M为微分流形，如果转换映射都是无限次可微的，则称M为C∞流形或光滑流形，当转换映射都是实解析（记为）时，称M为实解析流形。
　　(2) 设u为M上的开集，为连续映射，且的像为开集，到其像上是同胚，如果和之间的转换映射均为的，则称和局部坐标覆盖是相容的，利用选择公理容易证明：对于任何一个局部坐标覆盖，均存在一个包含它的“*大”的局部坐标覆盖，使得任何与均相容的局部坐标系都含于之中，我们把这样的称为拓扑流形M的一个Cr微分构造或微分结构。
　　(3) 存在这样的拓扑流形的例子，该拓扑流形上不存在任何相容的微分构造；另一方面，可以证明（这是微分拓扑学的内容），给定一个微分构造，一定存在一个相容的微分构造，为了方便起见，在没有明确说明的情况下，下面的微分流形是指光滑流形。
　　例1.1.1 欧氏空间及其开集。
　　在上取恒同映射id：则成为微分流形，恒映射是其（整体）坐标，显然，中的开集也都是n维微分流形：一般地，微分流形的开子集也继承了微分结构成为微分流形。
　　我们把上面所定义的上的微分结构称为标准微分结构，需要注意的是，除了标准的微分结构以外，还存在和标准微分结构不相容的其他微分结构，例如，考虑Ⅸ上的映射，显然为同胚，因此它定义了上的一个微分结构，它和标准的微分结构不相容（为什么？）。
　　例1.1.2 单位圆周S1。
　　记则S1为的子拓扑空间，令则，因此，分别在U1和U2上定义映射则和均为同胚，且转换映射同理可计算，它们均为光滑映射，因此S1为光滑流形。
　　可以证明，在分类的意义下，和S1是仅有的两个连通一维流形，为了给流形分类，我们先引入可微映射的概念。
　　定义1.1.2（Ck映射） 设为两个微分流形之间的连续映射，如果任给和附近的局部坐标系均存在p附近的局部坐标系，使得，且在这两个局部坐标系下的局部表示
　　为映射，则称为流形之间的Ck映射。Ck映射的全体记为Ck(M，N).
　　显然，Ck映射的复合仍为Ck映射，注意，Ck映射的定义虽然用到局部坐标系，但由于流形定义中要求转换映射都是的，故实际上映射的不依赖于局部坐标系的选取，我们在以后定义其他对象的时候，如果用局部坐标系来定义，则读者需注意验证该定义是否与局部坐标的选取无关。
　　定义1.1.3（微分同胚） 设为微分流形，为同胚映射，如果及其逆映射、均为映射，则称为微分同胚，或简称微分同胚。
　　当我们不加申明的时候，光滑流形之间的微分同胚指的足光滑的微分同胚，我们不区分微分同胚的流形，特别地，在同一个拓扑流形上，如果两个微分结构定义出的微分流形是微分同胚的，则我们称这两个微分结构等价，我们不区分等价的微分结构，作为习题，读者可证明上面**例中上的两个微分结构是等价的，一般地，Moise等证明了维数不超过3的拓扑流形上存在唯一的一个微分结构，后来，Milnor发现在七维球面上存在不同于标准微分结构的微分结构，这个结果当时在数学界引起了不小的轰动，进一步的研究表明在七维球面上一共存在28个不同的微分结构，它们组成一个有限循环群，人们也早就发现，除了以外，欧氏空间上的微分结构都是唯一的，后来，由于Freedman和Donaldson等的工作，人们发现在四维欧氏空间上甚至存在不可数多个不同的微分结构。
　　设为微分流形M的局部坐标覆盖，用分量表示转换映射如下
　　其中是关于的函数记转换映射的矩阵为Jacobi行列式妃为
　　在多元微积分中，*线和*面上的第二型积分都涉及重要的概念：“定向”，定向这个概念对于微分流形也很重要，我们将从不同的角度来介绍它。
　　定义1.1.4（可定向流形） 设M为微分流形，如果存在M的局部坐标覆盖，使得当时，则称流形M是可定向的，为一个定向坐标覆盖，如果不存在定向坐标覆盖，则称流形M是不可定向的。
　　前面两个例子中的欧氏空间和单位圆周都是可定向的微分流形，下面我们再来看一些流形的例子。
　　例1.1.3 n维环面Tn
　　两个微分流形的乘积仍为微分流形，因此为维微分流形，并且是可定向流形，称为礼维环面。
　　例1.1.4 n维球面Sn。
　　记中的子拓扑空间，令显然，映射和分别定义如下容易看出和均为同胚，并且转换映射因此为光滑映射，同理为光滑映射，这说明，为维光滑流形，不难验证它是可定向的紧致连通流形。
　　例1.1.5 n维实投影空间
　　记其中等价关系定义如下存在非零实数入使得，即商空间中的点可以看成经过原点的中的直线，记的等价类为，定义投影映射为商的拓扑定义为商拓扑，即也可以看成的商空间：其中当且仅当。容易看出，在商拓扑下为A2和T2的，下面我们说明上有自然的微分流形结构，为此，对k=l，2， ，n+1，令由等价关系的定义知Uk的定义是恰当的均为开集并且。定义映射龙由等价关系的定义知的定义是恰当的，且为同胚映射，当时，，为了计
　　算转换映射，记为，则因为故转换映射均为光滑映射，这说明为光滑流形。
　　可以证明，当n为奇数时，为可定向流形；当几为偶数时，为不可定向流形，称为n维实投影空间，当时，也称为实投影平面。
　　例1.1.6 流形的连通和。
　　设Mi和M2均为n维微分流形，取，分别在Mi和M2上取Pi附近的局部坐标系和P2附近的局部坐标系，使得，且记并令。考虑映射为微分同胚，因而映射也是微分同胚，考虑商空间
　　它是通过粘合映射定义的，即通过这个办法我们得到了一个新的微分流形，并且在微分同胚的意义下其微分结构不依赖于坐标邻域的选取，记为，称为Mi和M2的连通和，不难证明，与微分同胚，与自身微分同胚。
　　特别地，任给，个二维环面T2的连通和仍为二维紧致连通流形个投影平面的连通和也是二维紧致连通流形，可以证明，加上二维球面，这些就是所有的二维紧致连通流形了，有时又称它们为*面或二维*面。
　　本节*后，我们来介绍什么是流形的定向以及定向和流形连通性之间的关系，*先有如
　　下简单的引理：
　　引理1.1.1 连通的拓扑流形必为道路连通的。
　　证明 设M为连通的拓扑流形。Vp∈M，令因为p∈Cp，故Cp非空，又由于拓扑流形局部上和欧氏空间同胚，即是局部道路连通的，因此Cp为非空开集。
　　按照定义易见，当p≠Q时，要么Cp=Cq，要么，因此，如果，则
　　也是开集，这和M的连通性相矛后，这说明。因此是道路连通的
　　设M为微分流形，如果M的两个局部坐标系，满足则称这两个局部坐标系是同向的，和前面微分结构的定义类似，我们有如下定向的定义：
　　定义1.1.5（定向） 设M为可定向微分流形，为一个定向坐标覆盖，如果每一个与中局部坐标系都同向的局部坐标系均包含于内，则称为M的一个定向。
　　由选择公理可知，任给M的一个定向坐标覆盖，总存在一个包含此坐标覆盖的“*大”定向坐标覆盖，即定向，定向这个概念很早就被数学家所意识到了，但直到Poincare发明代数拓扑的时候才被大家真正认识清楚，在学习多元函数积分的时候，我们曾用“左手法则”或“右手法则”来决定定向，代数拓扑学的发展告诉我们，定向实际上是一个拓扑性质（即流形是否可定向与微分结构无关），它由所谓的** Stiefel-Whitney示性类决定，我们在后面将从另外的角度来重新解释定向这个概念。
　　例1.1.7 Rn上的不同定向。
　　考虑上如下坐标映射p：是的一个定向坐标覆盖，它决定的定向和由恒同映財决定的定向不同，一般地，如果是流形M的一个定向坐标覆盖，则也是定向坐标覆盖，它们决定了两个不同的定向。

目录
前言
第1章 微分流形 1
1.1 流形的定义和例子 1
1.2 子流形 7
1.3 单位分解 15
1.4 切空间和切映射 21
1.5 Sard定理及应用 29
1.6 Lie群初步 37
第2章 流形上的微积分 45
2.1 切丛和切向量场 45
2.2 可积性定理及应用 56
2.3 向量丛和纤维丛 63
2.4 张量丛 72
2.5 微分形式 80
2.6 带边流形 93
2.7 Stokes积分公式 97
第3章 流形的几何 105
3.1 度量回顾 105
3.2 联络 111
3.3 *率 122
3.4 联络和*率的计算 130
3.4.1 活动标架法 130
3.4.2 正规坐标 135
3.5 子流形几何 140
3.5.1 第二基本形式 140
3.5.2 活动标架法 143
3.5.3 极小子流形 144
3.5.4 黎曼淹没 152
3.6 齐性空间 156
3.6.1 Lie群和不变度量 156
3.6.2 弃性空间 160
3.6.3 对称空间 163
3.7 主丛及其联络 170
3.8 Gauss-Bonnet-Chern公式 180
3.8.1 向量场的指标 181
3.8.2 单位球丛上的计算 184
3.9 Chern-Weil理论 190
第4章 流形的上同调 205
4.1 Poincare引理 205
4.1.1 Poincare引理 205
4.1.2 映射度回顾 210
4.2 de Rham上同调群的计算 215
4.2.1 群作用与上同调 215
4.2.2 Mayer-Vietoris正合序列 222
4.3 Thom类和相交数 229
4.3.1 Thom类 229
4.3.2 相交数 233
4.4 Hodge理论 240
4.4.1 Hodge星算子 240
4.4.2 Bochner技巧 246
4.5 Dirac算子 253
4.5.1 Clifford代数 253
4.5.2 Clifford丛 262
第5章 流形上的椭圆算子 270
5.1 Sobolev空间 270
5.2 Hodge定理的证明 277
5.3 熟方程与热核 284
5.4 迹与指标公式 296
5.5 指标公式的证明 304
5.5.1 谐振子 309
5.5.2 Atiyah-Singer指标定理 312
参考文献 318
索引 320