第1章引言
超奇异积分是比反常积分更为广义的一类积分.众所周知，反常积分是相对于经典的黎曼积分而言的，常见的反常积分包括无限区间上有界函数的积分和有限区间上无界函数的积分，如
我们常见的柯西主值积分的奇异性要比I2的奇异性高.其表达式为
对柯西主值积分的奇异点s求导数就可以得到超奇异积分
尽管形如(1.4)式的超奇异积分早已出现在文献[60]中，但是由于其积分核的超奇异性，一直没有得到工程师和数学家的重视.直到20世纪后三十年，随着奇异积分方程和边界元方法尤其是自然边界元方法的发展，超奇异积分的理论和数值计算才再次进入工程师和数学家的视野.
科学与工程中的大量问题可以归结为无界区域上偏微分方程的数值求解问题[3-11]，如弹性力学、断裂力学、空气和流体力学、电磁场、热传导和计算生物等.在这些问题中物理区域的无界性给问题的求解带来了本质性的困难，而已有的成熟的数值方法[12-13]如有限差分法和有限元方法等都不能直接用于该类问题的数值求解.解决这类问题的一个办法是引进一个人工边界将无界物理区域分为两部分:有界的计算区域和余下的无界区域.新引进的人工边界成为有界计算区域的边界.在人工边界上得到原问题的解满足准确的边界条件或构造的近似边界条件.准确的人工边界元方法也称为自然边界元法或Dirichletto Neumann(DtN)方法.在该方向，我国的冯康、韩厚德、余德浩等对该方法的理论发展与实际工程应用做出了开创性的工作，随后Keller，Givoli，Chen等也对该方法的发展与应用做出重要贡献.
在积分方程理论方面，一些学者如Kress[113-115]，Lifanov和Poltavskii[131-133]，Vainikko[175]等对积分方程尤其是奇异积分方程的理论做了深入的研究，后来随着高速大型计算机的出现及其迅猛发展，离散求解积分方程成为可能，但当时由于有限元法的出现并迅速发展，加上其广泛的适应能力，边界元方法在一段时间内并未受到足够的重视.随着有限元法逐渐成熟，其缺点也逐渐暴露，为寻求能够弥补有限元法不足的新方法，边界元法脱颖而出，成为工程分析中的一种新的有效工具之一.
边界元方法(boundary element method，BEM)的应用具有广泛的工程背景[273-277，286，287]，在*近的四五十年中得到迅速的发展.国际上许多学者对这一方法的理论和应用作了很大的贡献，如英国的Brebbia[7-9]，美国的Hsiao[69-83]，德国的Wendland[177-179]，法国的Nedelec[152-155]以及我国的冯康[49-51]、杜庆华[36-39]、余德浩[11-13，20，21-28，30-34，42-45，84-87，89-92，97-99，103-111，117-125，127，129，134-137，139180，182-189，197-244，246-261，266-270，272-275]、韩厚德[62-68]、祝家麟[282-285]、Chen[14-16]等.文献[302]详细介绍了自然边界元方法的*新研究进展.
由不同的边界归化方法得到不同类型的边界积分方程，它们可能是非奇异的，可能是弱奇异的，可能是柯西型[60]奇异的，也可能是超奇异[41，163，164]的.而由自然边界归化得到的积分方程都是超奇异的.相应的超奇异积分在通常黎曼意义下是发散的，没有意义的.由于其超奇异性带来的数值计算的困难以及对这类积分的定义和性质没有足够的理解，在很长的一段时间内人们都极力避免去计算超奇异积分.直到20世纪七八十年代，随着科技的进步和计算机技术的发展，关于超奇异积分计算的研究工作才开始重新得到关注.
随着人们对超奇异积分的深入研究，适用于计算超奇异积分的相应的数值求积公式渐渐出现，主要包括高斯型求积公式[17，94，95，100，101，164，168，173，174]、复化牛顿-科茨公式[19，118-124，137，138，141，182，190-194，262，263，302]、整体插值型公式[54，55，61，157，164，167，171，172]、基于Sigmoidal变换的求积公式[46-48]、离散涡法[131，132]等.当密度函数充分光滑时，高斯求积方法和S型变换法非常有效.当解函数的光滑性较低时，上述两种方法就失去了其优越性，而复化牛顿-科茨法基于分片插值适合解函数光滑性较低的情况.另外，复化牛顿-科茨公式在数值上更加容易实现，并且它对网格的选取相对灵活和宽松.
超奇异积分的复化牛顿-科茨公式*早由美国学者Linz[141]提出，他给出二阶超奇异积分的复化梯形公式和辛普森公式以及相应的误差估计，其中特别强调了网格选取的重要中点法来克服这一难点.随后余德浩[213，219]对该方法做了推广，首次给出了奇异点与剖分节点重合的梯形公式，后来也对圆周上的超奇异积分给出了梯形公式的计算方法.他还提出了在奇异点附近节点几何加密以提高计算精度的方法.近年来，超奇异积分的超收敛现象也得到了关注.文献[194]研究了区间上二阶超奇异积分任意阶复化牛顿-科茨公式的超收敛现象，证明超收敛现象出现在某个函数零点，从本质上揭示了超收敛现象产生的原因.对于圆周上的超奇异积分，文献[260]给出了复化牛顿-科茨公式的计算公式和相应的超收敛现象，发现了圆周上超收敛现象出现在某些Clausen函数[176]的线性组合的零点，并找到了圆周上与区间上二阶超奇异积分的某种关系.
使用外推法来加速收敛的技巧已经被广泛应用到计算数学的各个领域[40，130，142，144，166，280，286，287]，但研究超奇异积分的外推算法理论还相对较少，文献[117，122]研究了区间上和圆周上梯形公式近似计算二阶超奇异积分误差展开式，当密度函数足够光滑时，在有限部分积分定义下，仅离散密度函数给出了误差泛函中奇异部分的显式表达式;提出了超奇异积分基于有限部分积分定义的外推算法.
目前，对于已有的奇异积分的超收敛的结论仅局限于一维奇异积分和超奇异积分的情况.在工程计算应用广泛的配置法中，一般配置点取为节点，这在计算时是简单有效的;而对奇异积分在已有超收敛现象的基础之上，一个自然的想法是把配置点取为超收敛点，以此来提高奇异积分方程或超奇异积分方程的计算精度.在这方面，对于特殊的配置点法，将详细介绍基于中点公式的求解区间上[196]和圆周上[52]的超奇异积分方程的理论分析.
第2章边界归化方法和典型域上的超奇异积分方程
边界元方法是将区域内的偏微分方程的边值问题归化到边界上，然后在边界上离散化求解的一种数值计算方法，其基础在于边界归化，即将区域内的微分方程边值问题归化为在数学上等价的边界上的积分方程.边界归化的途径很多，可以从同一边值问题得到许多不同的边界积分方程.不同的边界归化途径可能导致不同的边界元方法.本章主要由两部分构成，包括边界归化方法的介绍和典型域上的Poisson积分公式及超奇异积分方程.
2.1边界归化方法
这一部分简要介绍通用的两种边界归化方法(间接边界归化方法和直接边界归化方法)、边界积分方程的数值解法(包括配置法和Galerkin方法)以及自然边界归化的基本思想.
2.1.1间接边界归化方法
间接边界归化是从基本解及位势理论出发得到Fredholm积分方程的.这是经典的边界归化方法.此时积分方程的未知量不是原问题的解的边值，而是引入的新变量，因此这种归化被称为间接边界归化.下面以二维调和方程的边值问题为例进行说明.
考察以逐段光滑的简单(无自交点)闭曲线Γ为边界的平面有界区域内的调和方程第一边值问题：及第二边值问题其中，表示拉普拉斯算子，n为Γ上的外法线方向.边值问题(2.1.1)存在唯*解，而边值问题(2.1.2)在满足相容性条件时，在差一个任意常数的意义下有唯*解.
类似地，考察Ω的补集的内部Ω′上的调和方程第一边值问题：及第二边值问题边值问题(2.1.3)与(2.1.4)解的唯*性依赖于u在无穷远处的性态，即必须对解在无穷远处的性态做一定的限制才能保证解的唯*性.
为了建立解的积分表达式，要用到如下Green公式
其中
表示梯度算子，以及由此推导出的Green第二公式
今后简记又已知二维调和方程的基本解为
其中为平面上的某定点.基
这里δ( )为二维Dirac-δ函数，其定义如下：
且
它是一个广义函数，对任意连续函数φ(x)，满足
详见文献[2，53].
下面的定理给出了上述边值问题的解的积分表达式.
定理2.1.1设u为Ω和Ω′中二次可微函数，分别有
且满足
若，则
其中规定法线方向总是指向Ω的外部，即由Ω指向Ω′，intΓ及extΓ分别表示Γ的内侧及外侧，
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