第1章 高阶非线性Schr*dinger方程的物理意义及其怪波解
　　在光纤中随着信息量的增加，超短脉冲引起人们的关注.①当脉冲宽度在10个飞秒以下，四阶非线性项不能忽略;②当光纤频率接近于光纤的共振频率也要考虑高阶非线性项;③自频率变陡，窄脉冲具有高的光学量，在高速的长距离光纤传输系统中必须充分考虑近似在广义Schr*dinger方程中的三阶、四阶非线性项.
　　1.1 四阶非线性Schr*dinger方程
　　四阶非线性Schr*dinger方程如下:
　　(1.1)
　　其中Ψ为慢变包络，"为无量纲的小参数.
　　(1.1)的 Lax 对为
　　(1.2)
　　其中为向量特征函数.矩阵 U; V 有如下形式:
　　(1.3)
　　其中 且
　　我们得到方程(1.1)的达布变换是方程(1.1)的特征函数且特征值为，则也是方程(1.2)关于特征值的特征函数.方程(1.1)一次迭代的新位势为
　　(1.4)
　　其中为了得到新的解，对于 DT 方法，可选取Ψ=0为种子解，我们得到一系列新解.(1.1)是方程(1.2)的相容性条件.为了使计算更加方便，我们可以写成如下分量形式:
　　(1.5)
　　其中为复特征值.
　　如选取Ψ=0为种子解，则我们不能得到(1.1)的有理解、怪波解.如要得到有理解，我们应选取种子解为(1.1)的平面波解.设
　　(1.6)
　　代入(1.1)可得
　　(1.7)
　　为得有理解， 应满足
　　可得(1.6)为
　　(1.9)
　　利用达布变换，可得(1.1)的有理分式解，并用此方法可得
　　(1.10)
　　1.1.1一阶有理分式解
　　对于一阶有理分式解也称为怪波解，猜想 R; S 有如下形式:
　　(1.11)
　　其中 ai; bi;以及 ci (i =1;2)都为复数.将上式代入(1.5)，并比较系数可得
　　(1.12)
　　其中 b1; d2为自由参数.由(1.12)可知
　　(1.13)
　　故将代入(1.4)可得
　　(1.14)
　　易证当时，(1.14)是一阶有理分式解.如图1.1和图1.2.
　　图1.1 (a)ε=0的一阶有理分式解Ψ1(x， t).(b)ε=0， t =0的一阶有理分式解Ψ1(x， t)
　　图1.2 (a)ε=1的一阶有理分式解Ψ1(x， t).(b)ε=3的一阶有理分式解Ψ1(x， t)
　　1.1.2 二阶有理分式解
　　R; S 有如下形式:
　　(1.15)
　　其中
　　(1.16)
　　由达布变换，二阶有理分式解Ψ2(x; t)为
　　(1.17)
　　其中 D1上面已经给出， D2有下面形式:
　　(1.18)
　　将代入(1.1)可得(1.1)的二阶有理分式解(图1.3—图1.5).
　　图1.3 (a)ε=0的二阶有理分式解的二阶有理分式解
　　图1.4 (a)ε=3的二阶有理分式解图(a)的等值线
　　图1.5 的二阶有理分式解图(a)的等值线

目录
第1章 高阶非线性Schr*dinger方程的物理意义及其怪波解 1
1.1 四阶非线性Schr*dinger方程 1
1.1.1 一阶有理分式解 3
1.1.2 二阶有理分式解 4
1.2 超短光脉冲的波方程(三阶非线性Schr*dinger方程)7
第2章 一类四阶强非线性Schr*dinger方程组整体解的存在性和爆破问题 10
2.1 近似解的先验估计 11
2.2 问题(2.1)—(2.3)整体广义解的存在性 16
2.3 关于一类四阶强非线性Schr*dinger方程组的爆破问题 20
第3章 具导数非线性Schr*dinger方程的整体解 22
3.1 带权不等式的计算 23
3.2 先验估计 26
3.3 存在唯一性 33
3.4 衰减行为 34
3.5 附录 37
第4章 分数阶非线性Schr*dinger方程的整体适定性 39
4.1 初步估计 40
4.2 三线性估计 44
第5章 复Schr*dinger场和Boussinesq型自洽场相互作用下一类方程组的整体解 49
5.1 积分估计 50
5.2 局部解的存在性 57
5.3 整体解的适定性 63
第6章 一维及高维Schr*dinger-Klein-Gordon方程的整体光滑解 66
6.1 先验积分估计 67
6.2 局部解的存在性 76
6.2.1 Cauchy问题 77
6.2.2 初边值问题 78
6.3 方程(6.1)，(6.2)Cauchy问题和初边值问题整体古典解的存在性、唯一性 79
第7章 Schr*dinger-BBM方程耦合系统的整体流 82
7.1 预备估计 83
7.2 局部适定性 85
7.3 定理7.1的证明 88
第8章 一类拟线性Schr*dinger方程的爆破和轨道稳定性 92
8.1 一类拟线性Schr*dinger方程的爆破和强不稳定性 92
8.1.1 爆破结果 97
8.1.2 驻波的不稳定性 99
8.2 一类拟线性Schr*dinger方程的驻波解的轨道稳定性 104
8.2.1 情况N≥2 106
8.2.2 情况N=1 110
第9章 一类具调和势的Schr*dinger方程的整体解 115
9.1 *佳(*小)常数 117
9.2 Cauchy问题 124
9.3 临界非线性的临界质量 125
9.4 超临界非线性的整体解 129
第10章 Kundu方程的孤立波的轨道稳定性 134
10.1 Kundu方程的精确孤立波 135
10.2 孤立波的轨道稳定性 138
10.3 定理10.5的证明 147
10.3.1 假设10.1的证明 147
10.3.2 证明p(d′′)=n(Hω，υ)=1152
第11章 半直线上非线性Schr*dinger方程的初边值问题 159
11.1 符号与函数空间的一些性质 162
11.2 Riemann-Liouville分数阶积分 163
11.3 群算子估计 165
11.4 关于Duhamel非齐次解算子的估计 165
11.5 关于Duhamel边界强制算子的估计 167
11.6 存在性：定理11.5的证明 171
11.7 唯一性：命题11.4的证明 176
第12章 导数非线性Schr*dinger方程的初边值问题 179
12.1 解的表达 183
12.2 先验估计 186
12.2.1 线性项估计 186
12.2.2 非线性项估计 190
12.3 局部理论：定理12.2和定理12.3的证明 198
12.3.1 解的唯一性 200
12.3.2 定理 12.2 的证明(α∈R)201
12.4 能量空间中全局适定性 204
12.5 实线上NLS方程 206
12.6 附录 212
第13章 非线性Schr*dinger方程在Hs空间的渐近稳定性 213
13.1 结果的背景和陈述 215
13.1.1 关于F的假设 215
13.1.2 孤立子线性化 216
13.1.3 非线性方程 217
13.1.4 描述问题 218
13.2 定理的证明 219
13.2.1 运动的分解 219
13.2.2 χ的积分表示 221
13.2.3 孤立子参数的估计 224
13.2.4 线性估计 227
13.2.5 非线性项的估计 229
13.2.6 在L2 loc中估计χ231
13.2.7 完成估计 232
13.3 附录 1234
13.4 附录 2236
13.5 附录 3239
13.6 附录 4248
第14章 非线性Schr*dinger方程在加权Hs空间的渐近稳定性 252
14.1 初值问题、孤立波和线性传播算子估计 254
14.1.1 NLS在H1空间中的结果回顾 254
14.1.2 孤立波及其性质 255
14.1.3 线性传播算子的估计 257
14.2 局部和弥散部分的方程 259
14.3 散射和渐近稳定定理 262
14.4 耦合通道方程 263
14.4.1 局部存在性 263
14.4.2 解的先验估计 264
14.4.3 整体存在性和大时间渐近性 268
14.4.4 初值Φ0的分解 272
14.5 散射理论 273
14.6 附录1：非线性项的估计 275
14.7 附录2：非线性束缚态的加权估计 276
第15章 Schr*dinger-Boussinesq方程组的初边值问题的适定性 280
15.1 Schr*dinger-Boussinesq方程组解的表达 281
15.2 先验估计 285
15.3 定理15.2的证明 297
参考文献 300