第1章 混合随机变量的定义与性质
*立随机变量是概率统计**理论的基本假设， 然而在实际中存在大量不*立的样本数据， *为常见的是时间序列数据. 当时间间隔较短时相邻的时间序列数据通常存在较强的依赖， 但随着时间间隔越来越长， 数据之间的依赖性就越来越弱， 呈现出渐近*立的特征. 除时间序列数据外， 空间数据、网络结构数据、高频数据等都有相依性， 并且具有渐近*立的特征. 所以渐近*立是相依数据的重要特征， 这个特征提供了研究相依随机变量的思路. 对相依随机变量我们可以假设它们是渐近*立的， 然后利用渐近*立的性质建立相应的数学理论.为了刻画渐近*立性， 人们提出了混合随机变量(mixing random variables)的概念， 这是我们本书的主题. 本章我们*先来介绍混合随机变量的概念和基本性质.
1.1 混合随机变量的定义
假设(Ω， F， P)为概率空间， A和B是两个σ-代数事件域.如果两个事件域A和B是相互*立的， 则对任意事件A∈A和B∈B都有
P(AB)=P(A)P(B).
如果两个事件域A和B不相互*立， 则存在事件A∈A和B∈B使得. 基于这种事实， 人们可以定义两个事件域之间的相依系数
(1.1.1)
并称它为事件域的α-相依系数. 显然， 当α(A， B)=0时， 可以认为事件域A和B相互*立; 当α(A， B).=0时， 事件域A和B不相互*立; 当α(A， B)的数值越大时， 事件域A和B偏离相互*立的特征越远.
按照这种思路， 人们可以定义如下的相依系数、ψ-相依系数、ρ-相依系数和β-相依系数:
(1.1.2)
(1.1.3)
(1.1.4)
(1.1.5)
在β-相依系数中， 是在事件域A中Ω的任意一个有限剖分， {B1， B2， ， BJ}是在事件域B中Ω的任意一个有限剖分.
由相依系数的定义， 显然有
α(A， B)=α(B， A)， ψ(A， B)=ψ(B， A)，
β(A， B)=β(B， A)， ρ(A， B)=ρ(B， A).
但是， .(A， B).=.(B， A).所以α-相依系数、ψ-相依系数、β-相依系数和ρ-相依系数关于事件域都具有对称性， 但相依系数关于事件域不具有对称性.另外， 相依系数的取值范围为
α-相依系数、相依系数、ρ-相依系数和ψ-相依系数的取值范围是显然的， 关于β-相依系数的取值范围只要注意如下简单事实即知:
利用事件域之间的相依系数可以定义随机变量序列的渐近*立性.
定义1.1.1假设是定义在概率空间(Ω， F， P)上的实值随机变量序列， 表示由生成的σ-代数域.令
(1.1.6)
(1.1.7)
(1.1.8)
(1.1.9)
(1.1.10)
如果当n→∞时， 有α(n)→0， .(n)→0， ψ(n)→0， β(n)→0， ρ(n)→0， 则分别称随机变量序列{Xi， i.1}是α-混合的(α-mixing)， 混合的， ψ-混合的， β-混合的(β-mixing)， ρ-混合的(ρ-mixing)， 并称α(n)， .(n)， ψ(n)， β(n)， ρ(n)为混合系数.
在定义中， n的大小反映了事件域与之间的间隔大小， α(n)→0(n→∞)意味着事件域与之间具有渐近*立性.因此， 如果随机变量序列是定义中某种混合序列， 则该序列具有渐近*立性.另外， α-混合序列也称强混合(strongmixing)序列.
α-混合随机变量序列由Rosenblatt(1956)*次引入， 后来Ibragimov(1959)提出-混合的定义， Kolmogorov和Rozanov(1960)提出ρ-混合的定义， Volkonskii和Rozanov(1959)提出β-混合的定义.
定义1.1.1也可以写成如下形式.
定义1.1.2假设是定义在概率空间(Ω， F， P)上的实值随机变量序列， 表示由生成的σ-代数域.令混合系数
(1.1.11)
(1.1.12)
(1.1.13)
(1.1.14)
(1.1.15)
如果当n→∞时， 有α(n)→0， .(n)→0， ψ(n)→0， β(n)→0， ρ(n)→0， 则分别称随机变量序列是α-混合的， 混合的， ψ-混合的， β-混合的， ρ-混合的.
下面是混合连续随机过程的定义.
定义1.1.3假设是连续实值随机过程， a表示由生成的σ-代数域. 令
(1.1.16)
(1.1.17)
(1.1.18)
(1.1.19)
(1.1.20)
如果当t→∞时， 有α(t)→0， .(t)→0， ψ(t)→0， β(t)→0， ρ(t)→0， 则分别称随机过程{Xt， t.0}是α-混合的， 混合的， ψ-混合的， β-混合的， ρ-混合的.
混合随机变量序列的定义可以推广到复数随机变量序列(随机过程)， 也可以推广到多元随机变量序列(随机过程)， 这里不再罗列这些类似的定义.
1.2 混合随机变量的相互关系
本节讨论混合系数的相互关系， 由1.1节的定义知混合系数的相互关系是完全由相依系数的相互关系确定的， 所以我们只需要讨论相依系数的相互关系.这些内容可以参阅Roussas和Ioannides(1987)和Bradley(2005)关于混合概念和基本性质的综述论文.
定理1.2.1
证明(1)*先证明2α(A， B). β(A， B). 设A∈A， B∈B. 由于， 所以我们有结论: 若这四个条件中之一成立， 则
另外， 容易验证
由此有
从而有
(2)其次证明. 设. 记
(1.2.1)
(1.2.2)
则
从而由β-相依系数的定义有
(3)*后证明. 由于
以及， 所以
即. 证毕.
定理1.2.2
关于这个定理的说明: Cogburn(1960)和Ibragimov(1962)证明ρ(A， B). 将这个结论改进为.
Denker和Keller(1983)也*立给出.
定理1.2.2的证明(1)*先证明
设A∈A， B∈B. 如果0 上式使用. 得到. 所以
从而结论成立.
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