第1章 绪论
本章主要介绍张量的基本概念、张量主要研究内容， 以及张量与量子态的关系等.
1.1 什么是张量?
在不同的背景下， 张量具有不同的含义， 可以从这几个方面来理解张量：张量是矩阵的自然推广、张量是多重线性函数、张量是一个客观存在、张量是一个物理量等.
1.1.1 张量是矩阵的推广
在大数据背景下， 张量 (tensor) 就是多重数组 (multi-way array) 或者超矩阵(hypermatrix)， 是矩阵的推广. 数域 F 上的一个 m 阶张量定义为
其中 (n1， n2， * ， nm) 称为张量*的维数. 当数域* = * 时， *称为实张量; 当域*=*时，* 称为复张量. 一阶张量是数域*上的向量， 二阶张量是数域*上的矩阵， 三阶或三阶以上的张量称为高阶张量. 所以， 张量可以归纳为多重数据(multi-way data) 的范畴， 有些文献称其为高维数据.
例如， 一个 3 × 3 × 3 的三阶张量* 为
或者表示为立方体的形式:
如果 n1 = n2 = = nm = n， 则称张量* 为数域 *上的 m 阶 n 维方张量， m 阶 n 维方张量集合记为 *. 如果把 T 中元素的下标做任意置换后元素的值不变， 则称方张量 T 是对称张量， m 阶 n 维对称张量集合记为S[m]F[n].
例如， 假设一个三阶 n 维张量*， 其中元素， 则该张量是对称张量， *.
1.1.2 张量是多重线性函数
2005 年， Lim 在文献 [112] 中提出， 张量可以被看作为多重线性函数. 假设*是数域*上的一个*阶张量， 则它定义了一个*的多重线性函数 (multilinear functional)
这里*. 所以， 张量也可以归纳为多重线性代数的范畴.
例如， 矩阵* 唯一定义了一个*的双线性函数.
在本书中， 统一用 “*” 表示转置. 这里. 又如， 张量*唯一定义了一个* 的三重线性函数
这里*.
若 *是*阶*维对称张量， 则它唯一定义了一个次数为*的齐次多项式 (homogeneous polynomial) [144]
这里*. 所以， 对称张量的研究有时可以采用代数几何的方法.
例如， 若矩阵*， 则它唯一定义了一个二次型
又如， 设张量* 是对称的， 满足*， 其他元素为零， 则它唯一定义了一个三次齐次多项式
1.1.3 张量是一个客观存在
张量是一个客观存在， 不依赖于坐标系的存在而存在. 我们知道， 一阶张量是向量， 二阶张量是矩阵， 三阶及其以上阶的张量是高阶张量.
首先， 向量是一个客观存在. 例如， 三维空间中的一个向量*， 在某个标准直角坐标系*下， 几何上它表示为 v = xi + yj + zk， 代数上它表示为v = (x， y， z) 但是， 在另外标准直角坐标系 {i′， j′， k′} 下， 它可表示为* 假设这两个坐标系之间的关系是
那么， 向量 v 在两个坐标系的坐标表示关系是
于是，
其次， 矩阵是一个客观存在. 假设空间*上有一个矩阵*， 在空间*和*的标准直角坐标系 {e1， e2， ， en1} 和 {f1， f2， ， fn2} 下， 该矩阵表示为 A. 另外， 在空间* 和* 的一组标准直角坐标系 * 和*下， 该矩阵表示为 B. 并假定坐标系之间的关系
若矩阵 A 和 B 有秩 1 分解 *由上面向量的讨论， 得到
其实， 矩阵 A 和 B 是矩阵 M 在不同坐标系下的坐标表示， 矩阵 M 也可以理解为如下
在这个意义下， 矩阵是不依赖于空间坐标系的客观存在.
*后， 张量也是一个客观存在. 假设 m 阶张量， 在向量空间 *的标准直角坐标系*下的数据张量为* 那么张量 T 可表示为一些秩 1 张量的和
在这个意义下， 张量 T 也是一个客观存在， 在不同的坐标系下 T 有不同的数据张量表示.
假设张量 T ， 在向量空间*的另一组标准直角坐标系*下的数据张量为*， 且坐标系之间的关系为
那么， 数据张量 A 和 B 之间的关系为
其实， 物理张量也是一个实体的定义， 与坐标系的选择无关. 物理张量的表示有分量表示法和实体表示法， 这与前面介绍的数学上的张量定义是一致的 [1] .
1.2 张量特征值
2005 年， 祁力群教授和 L. H. Lim 教授分别独立地定义了张量特征值. 假设A 是一个对称的 m 阶 n 维实张量， F(x) = Axm 是次数为 m 的齐次多项式. 当m 为偶数时， 齐次多项式 F(x) 的正定性在自动控制的 Lyapunov 直接法研究非线性自治系统的稳定性中起着重要作用. 当 n . 3 时， F(x) 的正定性可用 Sturm定理来判别. 而当 n . 3 且 m . 4 时， 对 F(x) 正定性判别在数学上是一个难题.为解决 F(x) 或者张量 A 的正定性判别问题， 祁力群教授提出了对称张量 Z-特征值和 H-特征值概念， 并由此提出其他不同特征值概念. 张量特征值与张量的*佳秩 1 逼近具有密切的关系. 张量特征值理论、计算及应用等是张量研究中的一个主要内容.
1.2.1 张量 Z-特征值和 H-特征值
2005 年， Qi [144] 提出了张量 Z-特征值和 H-特征值概念. 假设*，*. 如果满足
则称 λ 是 A 的 Z-特征值 (Z-eigenvalue)， x 是 λ 相应的 Z-特征向量 (Z-eigenvector)，
如果 λ ∈ C， x ∈ Cn， 则称 λ 是 A 的 E-特征值， x 是 λ 相应的 E-特征向量.
如果 *满足
则称 λ 是 A 的 H-特征值 (H-eigenvalue)， x 是 λ 相应的 H-特征向量 (H-eigenvector)，如果 λ ∈ C， x ∈ Cn， 则称 λ 是 A 的特征值， x 是 λ 相应的特征向量. 这里
假设*， m 是偶数， 那么 (1) A 总存在 Z-特征值， 而且 A 是正定(半正定) 当且仅当 A 的所有 Z-特征值为正 (非负); (2) A 总存在 H-特征值， 而且A 是正定 (半正定) 当且仅当 A 的所有 H-特征值为正 (非负).
下面定义另外几个特征值， 包括 D-特征值 (D-eigenvalue)， M-特征值 (Meigenvalue)，U-特征值 (U-eigenvalue) 和广义特征值， 每个特征值的定义均有它的物理背景.
(1) D-特征值 [153] 在扩散峰度成像模型中， 假定 W 是扩散峰度张量 (diffusion kurtosis tensor)， 它是一个四阶对称张量; D 是扩散张量 (diffusion tensor)，它是一个二阶对称正定张量. 如果 λ ∈ R 和 x ∈ Rn 满足
则称 λ 是 W 的 D-特征值.
(2) M-特征值 [150] 在固体力学中， 弹性张量 (elasticity tensor)*是四阶部分对称张量， 即 *. 如果*满足 则称 λ 是 A 的 M-特征值. 如果对于任意的单位向量， 则称张量 A 是强椭圆的. 弹性张量的 M-特征值总存在. 弹性张量 A 是强椭圆的当 且仅当 A 的*小 M-特征值为正.
(3) U-特征值与 US-特征值 [122] 假设复张量 *. 如果 *，满足
则称 λ 是 A 的 U-特征值. 假设对称复张量 S ∈ S[m]C[n]. 如果 λ ∈ R， x ∈ Cn，
满足
则称 λ 是 S 的 US-特征值. 这里*表示内积， 上标*表示复共轭. *大的 U-特征值和 US-特征值分别对应于纯态量子态和对称纯态量子态的纠缠特征值， 并由此可以计算它们的纠缠几何测度.
(4) 广义特征值 I [16] 假设 A， B ∈ T[m]F[n]. 如果 λ ∈ C， x ∈ Cn 满足
则称 λ 是 A 的 B 特征值， x 是相应的 B 特征向量.
(5) 广义特征值 II [27] 假设 A ∈ S[m]F[n]， B ∈ S[m′]F[n]. 如果 λ ∈ C，x ∈ Cn 满足
则称 λ 是 A 的 B 特征值， x 是相应的 B 特征向量.
1.2.2 张量特征值与*佳秩 1 逼近的关系
与张量特征值联系*为紧密的是张量的秩 1 逼近问题. 所谓秩 1 张量是指多个向量的张量积， 即假设*， 它们的张量积*称为秩 1 张量. 有时简单地表示为 *. 若 x ∈ Fn， 则张量* 称为对称秩 1 张量. 有时简单地表示为 xm.
假设 A ∈ Fn1×n2× ×nm. 张量 A 的*佳秩 1 逼近是指下面优化问题
的解*．假设 *是对称张量*的对称*佳秩 1逼近是指下面优化问题
的解*
令
要使*取得*小， 则必有
此时，
(1.1)
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