第1章 KdV，mKdV 及其高阶方程的物理背景和怪波解
1.1 KdV方程的物理背景及孤立子
众所周知， 1834 年英国科学家 J.Scott Russell 在水面上首次观察到了孤立波现象 [93]. 随后， 英国科学家 Rayleigh 和法国科学家 Boussinesq 对这种波进行了理论分析 [18]. 1895 年， 荷兰数学家 Korteweg 和 de Vries [69] 在研究浅水波的运动中提出了如下的无量纲波方程 (现在称为KdV(Korteweg-de Vries) 方程)
(1.1.1)
这里， 为水面的波峰高度. 他们对孤立波现象作了较为完整的分析， 并从方程 (1.1.1) 中求出了与 Russell 描述一致的、具有形状不变的脉冲状的孤立波
为波速; (1.1.2)
从而在理论上证实了孤立波的存在. 事实上， 早前 Boussinesq 的论文 [19] 就明确给出了 KdV 方程及其基本孤立子解， 其中也得到了 “Scott Russell 孤立波”. 普林斯顿等离子体物理实验室在一系列的研究中证实了 KdV 方程 (1.1.1) 蕴含着丰富的新特性， 包括 1965 年， Zabusky 和 Kruskal [112] 数值上发现了 KdV 方程孤立波之间的弹性碰撞， 随后， Gardner 等 [42] 提出反散射理论求解了 KdV 方程的初值问题， 以及无限多守恒律的存在 [85] 等， 从而开阔了孤立子理论和完全可积系统研究的先河. 尽管我们的重点是在数学问题上， 但是， (1.1.1) 对于各种物理现象仍然是一个重要而有效的模型， 可参见在文献 [69] 的百年纪念之际发表的评论 [32].
1.2 mKdV 方程的物理背景及怪波解
mKdV (修正的 Korteweg-de Vries) 方程是孤立波理论中另一个基本的完全可积模型， 其标准形式为
(1.2.1)
其中u = u(x; t) 是实函数. 此外， mKdV 方程在模拟光纤中的超连续介质谱产生， 在非调和晶格中的声波、等离子体和流体动力学中传播的非线性 Alfvén波等物理实验中都有重要的应用. 1983 年， D. H. Peregrine [89] 从经典的可积非线性 Schr.dinger 方程
(1.2.2)
中得到了有理分式解及怪波解
(1.2.3)
2016 年， A. Chowdurya 等 [27] 得到了 mKdV 方程的有理分式解和周期解， 他们考虑如下聚焦形式的 mKdV 方程
(1.2.4)
其中是实值函数， 为任意的实参数. 方程 (1.2.4) 的 Lax 对 [106] 为
(1.2.5)
即可从 “零曲率” 条件:
推出方程 (1.2.4). 这里 U 和 V 是 2×2 矩阵， 其中 U 为
(1.2.6)
而 V 是关于特征值的矩阵多项式， 其中 Vj 为
(1.2.7)
而
1.2.1 一阶周期解和有理分式解
选取种子解和纯虚特征值， 利用文献 [3] 中类似的步骤可得 mKdV 方程的周期解
(1.2.8)
其中. 图 1.1 展示了频率为的周期解曲线图， 特征值， b 为实数. 该解沿着 t 轴的周期为， 所以对于 0 < b < 1， 0 < k < 2 周期解存在.
图 1.1 mKdV 方程的一阶周期解 (1.2.8)
这些解的*长振荡周期出现在极限k→0 处. 类似于 Akhmediev 呼吸子在极限k→0 时变为怪波的情况 [1， 2]， mKdV 方程的周期解 (1.2.8) 在极限k→ 0时变为如下的有理分式解 (图 1.2)
(1.2.9)
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