第1章 数学模型及二阶线性偏微分方程的分类与化简
数学物理方程是来源于物理、力学等自然科学及工程技术领域的偏微分方程.典型的数学物理方程包括波动方程、热传导方程、拉普拉斯(Laplace)方程等，它们分别描述了三类不同的物理现象:如波动(声波和电磁波)、输运过程(热传导和扩散)以及状态平衡(静电场分布、平衡温度场分布和速度势等)，从方程本身来看，又代表经典的三类方程，即双曲型、抛物型和椭圆型方程.本课程的主要任务是如何求解这些方程及其定解问题，通常的方法是将一个数学物理方程的求解设法转化为一个常微分方程的求解.常用的求解方法有分离变量法、行波法、积分变换法和格林(Green)函数法等等.
本章首先从几个具体的实际问题出发，利用物理、力学中的守恒律和*小势能原理等基本定律建立相应的数学模型，从而导出三类典型的数学物理方程、理想流体力学方程组及欧拉-拉格朗日方程，并确定相应的定解条件，而这些模型统称为守恒律模型和变分模型.*后介绍二阶线性偏微分方程的分类与化简.
1.1 守恒律模型
1.1.1 弦振动问题
模型有一根长度为 l 拉紧的均匀柔软弦，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律.
建模在考察该模型时需要做一些基本假设:
(1)弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略不计，因此弦可以视为一根曲线，它的(线)密度ρ是常数.
(2)弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线段附近，而弦上各点垂直于平衡方向(即水平方向)运动，而所谓微小是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小.
(3)弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲，弦上各点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克(Hooke)定律.
(i)不受外力作用时弦振动的情形.
应用动量守恒来导出弦的振动规律.根据牛顿第二定律知，作用在物体上的力等于该物体的质量乘以该物体的加速度，于是在每一个时间段内作用在物体上的冲量等于该物体的动量的变化.由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片断分别进行考察.为此如图1.1，建立坐标系，将弦的两端固定在 x 的两点上，其距离为 l，由基本假设，用u(x，t)表示弦上各点在时刻 t 沿垂直于 x 方向的位移，在弦上任取一弦段 MM′，它的弧长为，由假设(2)可知很小，于是与1相比可以忽略不计，从而
(1.1.1)
这样可认为该段弦在振动过程中并没有伸长，所以由胡克定律可知，弦长的伸长量≈0，这说明弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，即张力 T 与 t 无关.我们把在 M 处的张力记为 T(x)，对应在 M′处的张力记为T(x+dx)，由基本假设(3)可知，张力 T(x)的方向总是沿着弦在 M 点处的切线方向.
图1.1
如图1.1所示，在 M 点处作用于弧段 MM′的张力在 x 轴， u 轴两个方向上的分力分别为，其中α是张力 T(x)的方向与水平线的夹角，负号表示力的方向与 x 轴正方向相反.在弦段的另一端 M′作用于弦段 MM′的张力的分力分别为，其中α′是张力 T(x + dx)的方向与水平线的夹角.
由于弦只在 x 轴的垂直方向作横振动，所以弦段 MM′在水平方向上受的合力为零，即
(1.1.2)
由于假设弦仅在平衡位置附近作微小振动，所以，
(1.1.4)
于是(1.1.2)变为
(1.1.5)
故 T 是一个与 x 无关的常数.
由基本假设(2)可知
(1.1.6)
(1.1.7)
所以张力在 x 轴的垂直方向的合力为，从而在时间段[τ，τ+ dτ]内，该合力产生的冲量为
(1.1.8)
另一方面，在时刻τ弦段[x， x + dx]的动量为
在时刻τ+ dτ，该弦段的动量为.
所以从时刻τ到时刻τ+ dτ，弦段[x， x + dx]的动量增加量为
(1.1.9)
由于在[τ，τ+ dτ]内的冲量应等于动量的增加，故，
从而
(1.1.10)
由 dτ， dx 的任意性可知，
用 x 代替ξ，记，则上式可写为
(1.1.11)
该式就是不受外力作用时弦振动所满足的方程，称为弦的自由振动方程，由于它描述弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程.
(ii)受外力作用时弦振动的情形.
若在 t 时刻，点 x 处外力(线)密度为 F(x， t)，其方向垂直于 x 轴，则小弦段 [x， x + dx]上所受外力为，它在时间段[τ，τ+ dτ]中产生的冲量为.
于是在(1.1.10)的左端添上这一项，得到，
由此可得
(1.1.12)
其中.
类似可以推导出二维波动方程(例如薄膜振动)
(1.1.13)
和三维波动方程(如声波的传播和电磁场的传播)
(1.1.14)
1.1.2热传导问题
模型考察一导热体，当此导热体内各处的温度不一样时，热量就要从高温处向低温处传热，试确定它的内部各点在任意时刻的温度所满足的规律.
要建立该模型，首先要了解与这个问题有关的物理规律.
(1)傅里叶定律物体在无穷小时段 dt 内沿法线方向 n 流过一个无穷小面积 dS 的热量 dQ 与物体温度 u 沿曲面 dS 法线方向的方向导数成正比，即
(1.1.15)
其中 k = k(x， y， z)为热传导系数.如果物体为均匀的且各向同性，则 k 为常数.
上式中的负号出现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此 dQ 应和异号.
(2)能量守恒律物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和.
在物体中任取一闭曲面Γ，Ω是由Γ所包围的区域，则从时刻 t1到 t2通过Γ流入区域Ω的全部热量为
(1.1.16)
流入的热量使Ω内温度发生变化.在时间段[t1， t2]内，区域Ω内各点温度从u(x， y， z， t1)变化到 u(x， y， z， t2)，它应吸收的热量为
(1.1.17)
其中 c 为比热，ρ为密度.若物体是均匀的且各向同性的，则 c，ρ为常数.因此
(1.1.18)
若 u 关于 x， y， z 具有二阶连续偏导数，关于 t 具有一阶连续偏导数，对上式左端项应用格林公式，右端项应用牛顿-莱布尼茨公式，则成立.
交换积分次序，就得到
(1.1.19)
由于 t1， t2与Ω是任意的，故
(1.1.20)
此方程称为非均匀的各向异性的热传导方程.
如果物体是均匀的，此时 c， k 及ρ均为常数，记，则(1.1.20)变为
(1.1.21)
该方程称为三维齐次热传导方程.
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