第1章 张量的基本概念和代数运算
张量分析是连续介质力学的重要数学基础[1， 2]， 广泛应用于流体力学、弹性力学、塑性力学、材料力学、理论力学、量子力学等力学分支中.*近十余年来， 基于多模态数据(自然图像、高光谱图像、医学图像、视频、社交网络数据)的张量表示和多元统计分析， 研究者把它广泛应用于机器学习、模式识别、图像处理和数据挖掘等人工智能领域[3-6].由于使用的对象和目的不同， 在力学和人工智能领域中， 张量的定义和代数运算存在一些描述的不同之处.为了让交叉学科的研究者能够从数学角度更好地理解张量的定义及其代数运算的本质， 在本章中， 我们*先根据文献[1]从并矢的角度出发介绍张量的定义及其代数运算， 然后详细讨论机器学习、模式识别、图像处理和数据挖掘领域中的张量定义及其代数运算与力学中相关概念的联系.
1.1 矢量及其代数运算
定义1-1(矢量) 在三维欧氏空间中， 矢量是具有大小和方向且满足一定规则的实体， 用小写黑体字母表示， 例如: u， v， w等.它们所对应矢量的大小(模或者值)分别用|u|， |v|， |w|表示.称模为零的矢量为零矢量， 用0表示.称与矢量u的模相等但方向相反的矢量为u的负矢量， 用.u表示.
矢量满足下列规则.
(1)相等: 如果两个矢量具有相同的模和方向， 则称两个矢量相等.
(2)矢量和: 按照平行四边形法则定义矢量和.同一空间中两个矢量之和仍然是该空间中的一个矢量.矢量和满足交换律u+v=v+u和结合律(u+v)+w=u+(v+w).
(3)数乘矢量: 矢量u乘实数a仍是同一空间中的矢量， 记作.数乘矢量满足分配律和结合律(ab)u=a(bu).
定义1-2(线性相关) 矢量组线性相关是指存在一组不全为零的实数， 使得.
定义1-3(线性无关) 矢量组线性无关是指当一组实数全为零时， 才成立.
定义1-4(矢量的维数) 一个矢量空间所包含的*大线性无关矢量的数目称为该矢量空间的维数.
定义1-5(矢量的点积) 两个矢量u和v的点积， 式中(u， v)表示矢量u和v的夹角.
定义1-6(矢量的叉积) 两个矢量u和v的叉积(也称矢积)是垂直于u和v构成的平面的另一个矢量， 定义为
(1-1-1)
三个矢量的二重叉积满足恒等式
定义1-7(矢量的混合积) 三个矢量的混合积为.在三维欧氏空间中， 令， 其中是基矢量， 则
1.2 斜角直线坐标系的基矢量和矢量分量
设平面内坐标线互不正交的直线坐标系x1， x2如图1-1所示.其中， g1和g2是沿坐标线x1和x2的参考矢量.对于任意的矢量P， 设它在g1和g2上的投影分量分别为p1和p2， 则P可以表示为下列形式:
(1-2-1)
设与gi(i=1， 2)对偶的矢量gj(j=1， 2)满足下列条件:
(1-2-2)
(1-2-3)
则称gi(i=1， 2)和gj(j=1， 2)分别为协变基矢量和逆变基矢量.显然， 我们称其为矢量P的逆变分量.
图1-1 平面内的斜角直线坐标系设
P在g1和g2上的投影分量分别为p1和p2， 则P也可以表示为下列形式:
(1-2-4)
显然， 我们称其为矢量P的协变分量.在笛卡尔坐标系中， 基矢量是标准正交基， 一组协变基矢量和对应的逆变基矢量完全重合， 不需要区分上下指标.
三维空间中的点位置可以用原点到该点的矢量表示(见图1-2).对于直线坐标系， r与坐标呈下列线性关系:
(1-2-5)
图1-2 三维空间中的斜角直线坐标系
协变基矢量和逆变基矢量gi的几何关系见图1-3.
图1-3 逆变基矢量与斜变基矢量的集合关系
由和矢量叉积的定义1-6， 我们知道: g1平行于矢量g2×g3.令g1=αg2×g3， 由g1 g1=1可得
(1-2-6)
从而
(1-2-7)
其中
同理， 我们可以得到
(1-2-8)
(1-2-9)
令
(1-2-10)
(1-2-11)
则有
(1-2-12)
其中
矢量P对协变基矢量和逆变基矢量的分解式分别如下所示
(1-2-13)
(1-2-14)
且有
(1-2-15)
(1-2-16)
上述两个公式称为矢量分量的指标升降关系.
1.3 张量的定义及表示
任意两个矢量a和b并写在一起称为并矢， 一般记作ab.并矢ab与任意的矢量f之间的点积满足下列规则
(1-3-1)
(1-3-2)
显然， 上述表达式所表示的变换是线性变换.
由并矢的定义可知: 除交换律之外， 并矢服从初等代数的运算规律:
(1)结合律
(1-3-3)
(1-3-4)
(1-3-5)
(2)分配律
(1-3-6)
(1-3-7)
(1-3-8)
(1-3-9)
设
(1-3-12)
显然， 并矢ab代表了由并基矢量eiej组成空间中的点， 该点可以记成下列矩阵:
(1-3-13)
一般来说， N个矢量a1， a2， ， aN的并矢a1a2 aN称为N阶并矢.
下面， 我们从并矢的角度给出张量的定义.设由N个矢量a1∈RI1， a2∈RI2， ， aN∈RIN形成的N阶并矢空间中的点T是由I1I2 IN个有序数Ti1， i2， ， iN组成的集合， 从形式上可以看成I1I2 IN维空间中的一个点.在旧坐标系和新坐标系中， 我们分别用和表示同一个点的坐标分量. 如果
(1-3-14)
则称T为N阶张量.
与矢量类似， 我们可以把张量看作一个实体， 即将张量表示成各个分量与基张量的组合， 称为张量的实体表示法(并矢表示法).如在同一个坐标系中， N阶张量T可以表示为
(1-3-15)
利用协变基矢量和逆变基矢量之间的关系， 我们可以把张量T表示为下列形式:
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