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精彩书摘

第1章广义微分的构造
　　本章主要讨论变分分析中-阶广义微分的基本工具.我们在此遵循文献[514，529]中对偶空间几何方法的路线来定义广义微分，该方法围绕着逼近技术和集合的极值性展开.从集合法锥的非凸稳定性的构造开始，我们继续进行单值映射与集值映射的上导数，以及(增广）实值函数的次微分的构造.为了简化说明并强调主要变分概念的本质，本书第1-6章中的主要结果均在有限维空间中进行讨论，而对于其在无穷维空间中的扩展，我们在每章的练习和注释部分给予讨论并给出提示及参考文献.
　　因此，除非另作说明，在第1-6章中考虑的所有空间都是有限维的并且具有内积和范数的欧氏空间；我们通常使用标准符号进行表示.若不引起混淆，我们使用1BX或简单地用1B表示以原点为中心的闭单位球，用尽表示以z为中心、为半径的闭球.同样，对偶空间中闭单位球(当出现时）通常用或简单地用表示.
　　给定-个非空集合，符号分别代表集合的闭包、凸包、闭凸包、边界和内部.
　　回顾中的集合被称为锥，若且对所有的及都有.除非另作说明，的锥包定义如下
　　在某些情况下(特别是在第7，8章中将特别强调)，符号表示所讨论的集合的凸锥包，两个集合的线性组合定义如下：
　　其中符号：=代表“按定义等价”且，是中的标量.对于空集，我们约定.
　　除了通常使用表示单值映射外，我们经常考虑集值映射(或多值映射）与，其中尸⑷c在由中所有子集构成的集合类中取值当然，在无限维空间中也类似).极限构造
　　(1.1)
　　被称为F在无处的Painlev&Kuratowski外/上极限.下面考虑的所有映射都是正常的，即存在某个使得.
　　1.1闭集的法向量与切向量
　　在广义微分的几何定义中我们从非空集合的法向量的构造开始，这对整个理论至关重要.给定，下文中均假设(除非另作说明）在附近是局部闭的，即存在使得集合是闭的.这实际上并没有限制通用性，因为否则我们可以取的闭包.无论如何，集合的闭性对于支撑大多数涉及极限过程的变分论点是必不可少的.尽管集合的局部闭性假设以及(集值）映射的对应闭图假设和(广义实值）函数的下半连续性假设都在本书中-直存在，但我们有时会提醒读者注意该问题.
　　1.1.1广义法向量
　　给定集合，与其相关的距离函数为
　　(1.2)
　　(1.3)
　　定义1.1
　　(1.4)
　　其中上极限的定义见(1.1).每个称为n在$处的基本或极限法向量，其也可描述为：存在序列及使得，当时，有.
　　显然(1.4)是中的闭锥.该锥的-个显著特性是可将其用于局部闭集边界点的完整刻画，可以将其视为凸集的支撑超平面定理的非凸对应表述；参见命题1.7.
　　命题1.2
　　证明
　　法锥(1.4)的另-个重要性质是鲁棒性，即相对于初始点的微小扰动的稳定性，可以很容易地从定义中得出.接下来，我们使用符号
　　命题1.3(基本法向量的鲁棒性）我们总有
　　法锥的以下简单但有用的乘积特性也是该定义的直接结果.
　　命题1.4
　　回顾对于任意的及，如果，则集合是的，即集合包含连接任意点的整个线段.以下例子说明法锥(1.4)在非常简单设置中可能是非凸的.
　　例1.5
　　下-个定理表明在处的法锥(1.4)可以通过在附近点处的广义法向量的-些凸集的外极限(1.1)等价描述.
　　给定，定义在;处的正则法向量的集合如下
　　(1.5)
　　及对任意的e>0，考虑它的扩张
　　(1.6)
　　注意到对例1.5中所示闭集边界点$=(0，0)，凸锥(1.5)可能是平凡的，即.这种现象违背了对任意闭集在边界点处法锥的自然期望.另-方面，下面的定理1.6告诉我们及;仞在附近点处的元素可以用于构造集合“真实”的法向量.这激励我们将正则法向量(1.5)的集合标记为在5处的预法锥，在文献中它也被用作“正则法锥”.注意到(1.7)中第二个表示表明其极限过程关于预法锥的扩张是稳定的.这种稳定性对于证明变分分析和广义微分中的许多重要结果是必需的；见下文.
　　定理1.6(基本法向量的等价描述）给定，关于基本法锥，我们有下列描述：
　　(1.7)
　　证明我们将证明分成几部分，每一部分都有其自身的意义.
　　步骤1
　　步驟2
　　步骤3
　　步骤4
　　步骤5我们有如下包含关系
　　命题1.7
　　(1.8)
　　(1.9)
　　证明
　　在上述不等式中代入的表达式则证明了(1.8).根据定理1.6，在(1.8)中任取并取极限即可得的表示式(1.9).

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目录
译者序
前言
第1章　广义微分的构造　1
1.1　闭集的法向量与切向量　2
1.1.1　广义法向量　2
1.1.2　切向原对偶性　7
1.1.3　光滑变分描述　8
1.2　映射的上导数　11
1.2.1　集值映射　11
1.2.2　上导数的定义和基本性质　12
1.2.3　凸集值映射的极值性质　15
1.3　非光滑函数的一阶次梯度　17
1.3.1　增广实值函数　17
1.3.2　上图法向量的次梯度　18
1.3.3　上导数的次梯度　23
1.3.4　正则次梯度和e-扩张　27
1.3.5　极限次微分表示　29
1.3.6　距离函数的次梯度　35
1.4　第1章习题　43
1.5　第1章评注　56
第2章　变分分析的基本原理　68
2.1　有限集系统的极点原理　68
2.1.1　集合极点的概念和例子　68
2.1.2　基本极点原理和一些结果　70
2.2　可数集系统的极点原理　73
2.2.1　可数集系统的极点性质　73
2.2.2　锥与相依极点原理　75
2.3　函数的变分原理　80
2.3.1　一般变分原理　80
2.3.2　次*优性和不动点的应用　81
2.4　基本的交法则和一些结果　83
2.4.1　集合的交与和的法向量　83
2.4.2　次微分和法则　85
2.5　第2章练习　87
2.6　第2章评注　97
第3章　适定性和上导数分析法则　102
3.1　集值映射的适定性质　102
3.1.1　适定性的范例　102
3.1.2　适定性的上导数刻画　107
3.1.3　特殊情形下的刻画　110
3.2　上导数分析法则　113
3.2.1　上导数和法则　113
3.2.2　上导数链式法则　115
3.2.3　其他上导数分析法则　118
3.3　变分系统的上导数分析　119
3.3.1　参数变分系统　119
3.3.2　参数变分系统的度量正则性的上导数条件　124
3.3.3　度量正则性对主要类型的PVS不成立　126
3.4　第3章练习　130
3.5　第3章评注　149
第4章　一阶次微分分析法则　159
4.1　边际函数的次微分　159
4.2　复合映射的次微分　163
4.3　*小值和*大值函数的次微分　166
4.4　中值定理及其应用　168
4.4.1　由对称次梯度表示的中值定理　168
4.4.2　近似中值定理　170
4.4.3　AMVT的次微分刻画　172
4.5　第4章练习　178
4.6　第4章评注　184
第5章　极大单调算子的上导数　188
5.1　全局单调性的上导数准则　188
5.1.1　由正则上导数表示的极大单调性　188
5.1.2　具有凸定义域的极大单调算子　192
5.1.3　由极限上导数表示的极大单调性　195
5.2　强局部单调性的上导数准则　198
5.2.1　强局部单调性和相关性质　198
5.2.2　由上导数表示的强局部极大单调性　201
5.2.3　点基上导数刻画　206
5.3　第5章练习　207
5.4　第5章评注　212
第6章　不可微和双层优化　216
6.1　不可微规划问题　216
6.1.1　下次微分和上次微分条件　216
6.1.2　有限多个不等式和等式约束　221
6.1.3　*优性条件的例子和讨论　223
6.2　双层规划问题　228
6.2.1　乐观和悲观版本　228
6.2.2　值函数方法　229
6.2.3　部分平静性质与弱尖锐极小值　230
6.3　具有光滑和Lipschitz数据的双层规划　235
6.3.1　光滑双层规划的*优性条件　235
6.3.2　Lipschitz问题的*优性条件　241
6.4　第6章练习　242
6.5　第6章评注　249
第7章　具有一定凸性的半无穷规划　254
7.1　无穷线性不等式系统的稳定性　254
7.1.1　类Lipschitz性质和强Slater条件　255
7.1.2　参数无穷线性系统的上导数　258
7.1.3　Lipschitz稳定性的上导数刻画　264
7.2　无穷线性约束下的优化　273
7.2.1　具有无穷不等式约束的双变量SIPs　274
7.2.2　SIPs的上次微分*优性条件　274
7.2.3　SIPs的下次微分*优性条件　277
7.2.4　在水资源优化中的应用　278
7.3　块扰动下的无穷线性系统　283
7.3.1　无穷线性块扰动系统的描述　284
7.3.2　基于上导数的块扰动系统的稳定性　284
7.3.3　在无穷凸不等式系统中的应用　291
7.4　无穷凸系统的度量正则性　293
7.4.1　度量正则性的DC优化方法　294
7.4.2　凸图多值映射的度量正则性　296
7.4.3　在无穷凸约束系统中的应用　303
7.5　DC半无穷优化中的值函数　313
7.5.1　DC半无穷规划的*优性条件　314
7.5.2　DC SIPs值函数的正则次梯度　319
7.5.3　DC SIPs的值函数的极限次梯度　322
7.5.4　具有凸数据的双层半无穷规划　332
7.6　第7章练习　336
7.7　第7章评注　339
第8章　非凸半无穷优化　342
8.1　无穷可微系统的优化　342
8.1.1　无穷系统的规范条件　342
8.1.2　非凸无穷约束集合的法维　348
8.1.3　非线性SIPs的*优性条件　358
8.2　Lipschitz 半无穷规划　364
8.2.1　一些技术引理　364
8.2.2　上确界函数的基本次梯度　370
8.2.3　Lipschitz SIPs 的*优性条件　377
8.3　非光滑锥约束优化　380
8.3.1　标量化上确界函数的次梯度　381
8.3.2　点基*优性和规范条件　388
8.3.3　无CQs的规范*优性条件　393
8.3.4　锥约束系统的适定性　396
8.3.5　非凸SIPs的*优性与适定性　402
8.4　具有可数约束的非凸SIPs　406
8.4.1　可数个集合之交的CHIP性质　407
8.4.2　可数个集合之交的广义法向量　414
8.4.3　可数约束下的*优性条件　421
8.5　第8章练习　428
8.6第8章评注　433
第9章　集合优化中的变分分析　439
9.1　由锥诱导的极小点和次微分　439
9.1.1　集合的极小点　439
9.1.2　映射的极小点和次微分　441
9.2　有序映射的变分原理　444
9.2.1　集值映射的极限单调性　444
9.2.2　Ekeland型变分原理　447
9.2.3　映射的次微分变分原理　451
9.3　相对Pareto型极小点的存在性　453
9.3.1　次微分 Palais-Smale条件　453
9.3.2　无约束问题解的存在性　454
9.3.3　显式约束下的存在性定理　461
9.4　多目标问题的*优性条件　464
9.4.1　集值优化中的Fermat法则　464
9.4.2　约束设置的*优性条件　469
9.5　第9章练习　471
9.6　第9章评注　478
第10章　集值优化与经济学　484
10.1　通过集值优化的经济建模　484
10.1.1　福利经济学模型　484
10.1.2　约束集值优化　486
10.1.3　完全局部化极小点的*优配置　487
10.2　完全局部化的*优性条件　490
10.2.1　乘积空间中的确切极点原理　490
10.2.2　集合的渐近闭性　491
10.2.3　局部化极小点的必要条件　493
10.3　局部拓展的第二福利定理　495
10.3.1　一般商品空间的结论　496
10.3.2　有序商品空间　498
10.3.3　弱Pareto型*优配置的正常性　500
10.4　全局扩展的第二福利定理　503
10.4.1　净需求规范条件　504
10.4.2　福利经济学中的全局*优性　505
10.5　第10章练习　509
10.6　第10章评注　511
参考文献　515
符号和缩略词　562
索引　568
《现代数学译丛》已出版书目　590

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