第1章导论
本章主要介绍湍流模式理论的发展历史、湍流的物理特性、湍流的起因及数值模拟湍流的基本条件。
学习要点：
（1） 了解湍流模式理论的发展历史及其在当代计算流体力学软件中的核心作用；
（2） 理解湍流的起因及物理特性；
（3） 理解数值模拟湍流的基本条件。
1.1湍流模式研究发展回顾
自从雷诺（O.Reynolds）［1］提出应用时间平均概念研究湍流运动以来，工程应用中的湍流问题研究一直延续着雷诺平均的方法，通过求解描述湍流运动平均值的流体动力学方程——雷诺平均方程，获取流体运动中重要参数的平均值，如速度、压力、温度、密度、浓度，以及脉动速度的关联值，速度温度的关联值等。这些湍流运动中的平均值参数对于大气、环境、海洋、动力、能源、机械、航空航天等学科与工程的研究具有十分重要的意义，雷诺平均方法至今仍是人们研究湍流运动特别是解决工程湍流问题的主要手段。然而，由于雷诺方程中脉动速度关联项uiuj——雷诺应力（Reynolds stress）的出现，使得方程本身不封闭，建立封闭的雷诺应力模式即成为湍流模式研究的中心课题。
早在一百多年前，法国科学家Boussinesq［2］就曾提出涡黏性假设来描述湍流的平均运动，这一假设的依据是湍流场中有效黏性系数与扩散系数大幅提高的事实，其原因则是由于湍流场中涡的存在。根据Boussinesq假设，普朗特（Prandtl）［3］在湍流边界层实验的基础上，提出了估算涡黏性系数的混合长度模式理论，从而建立了描述湍流平均场的封闭的雷诺平均方程。普朗特认为，湍流的涡黏性系数与湍流涡团的“混合”长度及速度尺度密切相关，大尺度的涡团及运动速度导致涡黏性系数的增加。普朗特混合长度模式成功地描述了边界层湍流及简单剪切湍流的平均参数特性，使湍流模式研究具有了重要的实际应用价值，并在理论上加深了人们对湍流的理解。
冯 卡门（von K rm n）［4］在混合长度理论的基础上，进一步揭示了边界湍流的对数律关系，确定了对数律中的系数——卡门常数。研究表明，卡门对数律在近壁湍流中（如管流、槽流）具有一定的普遍性，使湍流涡团的混合长度与湍流场中的几何尺度有机地联系在一起，并为人们建立近壁湍流模式——壁函数定律提供了理论依据。
随着人们对湍流认识的逐步加深，人们认识到涡黏性系数的确立与湍流运动的历史参数有密切的联系，涡黏性系数模式应当建立在湍流的输运方程基础上。为此，Spalart和Allmaras［5］提出的一方程输运模式，Launder和Spalding［6］提出的二方程输运模式，进一步发展了涡黏性模式理论，其中二方程模式已被广泛应用于工程湍流计算中。
然而，现代湍流模式理论研究始于我国著名科学家周培源。周培源［7］首先提出，湍流的模式理论必须立足于描述雷诺应力输运方程，通过封闭雷诺应力输运方程来获取雷诺应力信息。对雷诺应力输运方程的封闭亦称为二阶矩封闭模式。
二阶矩封闭模式理论的优越性在于它对雷诺应力的输运、生成、再分配、耗散等机制都有明确的描述与定义，并克服了涡黏性模式中涡黏性系数各向同性、雷诺应力与应变率张量的线性关系假设、在非惯性系中不能有效反映科里奥利力对湍流场影响，以及不能反映湍流场中逆梯度扩散现象的局限性。因此，二阶矩模式理论具有描述复杂湍流运动的潜力与前景，具有重要的理论与应用价值，也使其成为当今湍流模式研究的核心。
在对雷诺应力输运方程的研究中，周培源［8］指出了建立脉动压力与应变率关联项模式的重要性，并提出了通过泊松方程来封闭该项的途径。这一思想至今对二阶矩封闭模式研究仍有指导意义。德国学者Rotta［9，10］在对均匀湍流的模化研究中，进一步提出了衰减湍流的各向同性回归理论，首次为压力应变率关联项赋予了重要的物理意义，使人们对雷诺应力在衰减过程中各分量间的相互作用有了新的认识。基于各向同性回归理论建立的压力应变率关联项模式亦被称为Rotta模式。
周培源与Rotta的开创性工作为自20世纪70年代以来随着计算机科学迅猛发展而变得十分活跃的计算流体力学与湍流模式研究奠定了基础。在对剪切湍流的研究中，Naot［11］发现了平均速度梯度对压力应变率关联的重要影响，进而提出了后来被Gibson和Launder［12］所完善的湍流生成各向同性模式（IP模式）。Launder等［13］还首次应用低阶泰勒展开的方法，应用流体力学的基本原理建立了具有理性力学意义的准各向同性模式（QI模式），使二阶矩模式研究脱离了对某个具体实验的纯粹依赖性而具有一定的普适意义。
应用理性力学方法建立湍流模式代表了20世纪80年代二阶矩湍流模式研究的主流，其基础则是Schumann［14］与Lumley［15］提出的可实现性原理，即湍流模式在理论上必须保证各湍流量在物理上有意义。并且，Lumley首次应用可实现性原理建立了三阶速度关联项模式。然而，这一原理提出的*大意义是使湍流压力—应变率模式的研究进入了一个新的领域——非线性模式。Shih等［16］和符松等［17］应用可实现性原理分别成功地提出了非线性的压力应变率模式，使湍流非线性的本质在模式中得到了反映。非线性二阶矩封闭模式的提出也促使人们重新思考涡黏系数模式中的Boussinesq假设的局限性，从而建立了一系列的非线性涡黏系数模式，克服了线性模式中的一些重要缺陷。
湍流模式研究的发展还得益于与其他相关学科的交叉，特别值得一提的是重整化群理论与概率密度函数方法的应用开辟了湍流模式研究的新思路。Yakhot和Orszag［18］应用重整化群方法为kε模式提供了重要的理论基础。Rubinstein与Barton［19］进一步建立了重整化群的二阶矩模式。Howarth和Pope［20］的研究表明，应用概率密度函数方法构造二阶矩模式不仅自动满足可实现性原理，同时也反映了湍流的非线性特性。湍流快速畸变理论、Durbin和Zeman［21］提出的亥姆霍兹方程模式、非惯性系湍流模式准则等，都极大地丰富了湍流模式研究。
进入21世纪来，大规模并行数值计算技术发展迅速，基于二阶精度数值格式的计算流体力学（computational fluid dynamics， CFD）软件广泛应用于工程实际，基于雷诺平均的湍流模式理论RANS也日臻成熟，成为工程设计的常用工具。美国波音公司的首席工程师Spalart和CFX商业软件公司的Menter分别发展并完善了SpalartAllmars（SA）一方程模式［22］和剪切应力输运（shear stress transfer， SST）二方程模式［23］。这两个线性涡黏性模式成为当代CFD软件的主力湍流模式，能够较为准确地预测无分离或小分离的“定常”湍流。然而，这些模式在流动大分离区会高估涡黏性，且无法分辨不同尺度的涡结构，所得气动参数精度不足。由于具有更高精度的大涡模拟方法仍局限于有限雷诺数（小于106）的湍流研究，为满足工程应用的急迫需求，人们发展了兼顾计算精度和效率的雷诺平均/大涡模拟混合方法（hybrid RANS/LES method，HRLM）为大规模的复杂工程计算服务。HRLM的典型代表为由Spalart提出的基于SA模式的脱落涡模拟（detachededdy simulation， DES）方法［24，25］，以及由Menter和Egorov提出的基于SST模式的尺度自适应模拟（scaleadaptive simulation， SAS）方法［26］。此外，对于中等雷诺数（106量级）区间出现的边界层转捩为主要特征的流动，基于完全湍流假设的模式理论失效。Menter等［27］为此发展了适用于低马赫数流动的γReθ转捩模式并安装于其商业软件ANSYS；王亮和符松［28］根据高超声速流动失稳特性，提出了基于SST湍流模式的kωγ三方程转捩模式理论，具有较宽马赫数和不同失稳模态的适用范围。
图1.1列出了湍流模式研究里程碑的代表人物。应当指出的是，直接数值模拟对湍流模拟正在发挥越来越大的作用。图1.1湍流模式研究里程碑的代表人物
直接数值模拟尽管仍难应用于实际的工程问题计算，但它对人们了解一些简单的湍流运动机理具有重要意义，其充分发展直槽湍流数据库目前已成功地应用于构造低雷诺数模式。直接数值模拟的发展毫无疑问将进一步为湍流模式的发展提供依据。
1.2湍流的物理特性
一个湍流模式的合理与否，不在于其数学表达形式的简单或复杂，也不在于其要求求解的方程的多少，而在于它是否能够反映湍流运动的物理特性。研究湍流模式，首先要研究的是湍流运动的物理机制与本质特性，然后在正确的物理认识上建立适当的数学模式。因此，在讨论湍流模式本身之前，对湍流的运动特性进行简单讨论是十分有必要的。
许多人也许都注意到，当把水龙头从小到大慢慢拧开时，初始时水流是清晰明亮而又稳定的，随着水龙头的逐步放大，水流会出现抖动，并逐渐加剧，*后出现紊乱的运动。用流体力学的观点来描述，水流则是历经了层流、失稳、湍流这三种形式。可以说，湍流是自然界与工程应用中*常见的一种流动形式。然而，迄今人们尚难对湍流给以一个准确的定义，但一般认为湍流具有如下一些主要特征。
不规则性：在所有的湍流运动中，流体粒子的运动都带有不规则性或随机性。这一特性使得人们应用确定论方法研究湍流十分困难，尽管近几年这方面的研究取得了一些进展（如直接数值模拟），统计方法在可预见的将来仍是解决湍流问题的主要手段。
三维有旋性：一般来说湍流都是三维有旋的，以高强度的涡量脉动为主要表征之一。从这个意义上说，涡量动力学在湍流的描述中具有十分重要的作用。如果速度脉动仅是二维的话，湍流场中的随机涡量脉动是不可能得以维持的。因为二维流场中不存在产生涡量的涡拉伸机制。因此，湍流的三维性与有旋性是内在相关的。无旋流动可以说都不是湍流。例如，海洋表面上的随机波不是湍流，因为它是无旋的。然而，以统计角度看，流场的平均速度则可以是二维或一维以及无旋的。对工程设计人员来说，流动的长期效应往往是主要的，研究湍流的平均物理量因而不仅可以大大简化湍流问题，同时也具有重要的应用意义。
扩散性：湍流脉动导致快速混合，提高动量、热量及质量的传递速率。看起来随机但并不展示脉动速度在周围流体中扩散的流动不能算是湍流。例如喷气飞机的长长的尾迹不是湍流，尽管它产生的初期是湍流。就应用来说，湍流的扩散性是其*重要的特性：它可以防止边界层在机翼表面在大攻角时的分离（当然攻角不能太大）；它提高所有机械中的传热速率；它提高油气混合的速率进而提高燃烧效率；它同时也使物体运动的阻力增加。
耗散性：由于流体黏性的存在，湍流的脉动导致动能的损失与内能的提高。进一步说，这是由于黏性切应力对流体做功所产生的必然结果。因此，湍流的维持必须有连续不断的能量输入，否则，湍流将快速衰减。黏性损失很小的随机运动、水波、声波等不是湍流，实际上，湍流与随机波的主要区别在于前者是耗散性的。
多尺度特性：湍流场中的涡有着众多的尺度（图1.2）。通过对脉动速度进行傅里叶分析可以得出宽广的频率范围。一般来说，大尺度的涡团对应于低频，小尺度涡团对应于高频。这里所谓的尺度为涡团的几何尺度，即通常所说的长度尺度。涡团同样也存在着时间尺度、速度尺度。
1.3湍流的起因
1.3.1大雷诺数条件
对于初始流动为层流，其湍流的产生机制在不同流动场合差别很大，但可以说所有湍流产生的先决条件是流动的雷诺数必须足够大。雷诺数多大才算大？这一问题亦与具体的流动形态有关。例如，在光滑管流中，临界雷诺数为2300左右，若管壁的粗糙度较大，临界雷诺数则可大幅降低，而在平面混合层中的临界雷诺数则与管流的值又有很大差别。但是，不管在哪种流动情况下，雷诺数必须大过一定值才导致层流的失稳。小雷诺数意味着流体的黏性力占主导地位，流动中的不
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