第1章 绪论
奇异摄动问题广泛存在于天体力学、流体力学、固体力学、量子力学、光学、声学、化学、生物学以及控制论、*优化等领域. 奇异摄动问题的特性是， 在所讨论的微分方程中含有摄动系数， 这种参数可以是反映一定的物理性质而自然出现，也可以是人为地引进 [1，2]. *著名的奇异摄动问题是高雷诺数 Navier-Stokes 方程以及磁流动力学问题.
对于奇异摄动问题， 方程的解在某些区域的变化会变得非常剧烈， 即方程的解存在边界层或内部层. 在任意网格和均匀网格上求解奇异摄动问题， 很多经典数值方法都不能有效地逼近， 出现振荡或不精确现象， 而且这种振荡不仅影响到边界层， 也影响到整个求解区域的误差. 这就要求我们去寻找一种非均匀网格， 在边界层细密剖分， 以适应问题的奇异摄动特性.
一般地， 构造求解奇异摄动问题的数值方法有两种基本的策略或者是这两种策略的组合.
策略一， 在已知解的奇性情况下， 在基底中加入一些带有相应奇性的基函数，去逼近原问题的解.
策略二， 在解的带有奇性的地方采取一些特殊的网格剖分， 如加密网格剖分来获得更好的逼近效果.
基于这两种基本策略， 出现了多种数值方法， 例如基于特殊网格剖分的各种形式的有限差分法、有限元法和有限体积法等. 针对奇异摄动问题的各种网格剖分也应运而生， 这包括 Bakhvalov 网格、Shishkin 网格、Graded 网格和*优网格等.
1.1 自适应网格
由于奇异摄动问题的解在某些区域 (边界层或内部层) 内梯度比较大， 经典的差分方法无法得到令人满意的结果， 因此需要根据奇异摄动问题的特性来选取自适应网格， 使得逼近误差达到*优. 从直观上分析， 由于奇异摄动问题的解在边界层或内部层区域变化比较剧烈， 而在外部区域变化比较缓慢， 因此， 在边界层或内部层区域使用加密网格， 而在外部区域使用粗网格， 从而得到一个边界层或内部层加密网格. 为了使得数值方法的误差分析简洁明了， 下面引入两个坐标空间: 要构造的非均匀网格的物理空间和相应的均匀网格的计算空间， 并通过网格变换函数来建立两个空间之间的对应关系. 于是只要在均匀网格上构造合适的网格产生函数就可得到相应的非均匀网格. *先定义网格产生函数.
定义 1.1.1 (网格产生函数) 令 *: [0， 1] * [0， 1] 是一严格单调算子. 若算子 * 把均匀网格* 映射到一自适应网格x上， 则称 x = * 为网格产生函数.
下面介绍几种常用的自适应网格.
1.1.1 Bakhvalov 网格
Bakhvalov[3] 提出在边界层内 (x = 0 附近) 用等距的*-网格， 然后通过边界层型函数映射到 x 轴上， 即边界层内的网格节点 xi 满足
其中参数 q ∈ (0， 1)， 它表示边界层内的网格节点数与总节点数之比; 参数，它决定了边界层内网格节点分布的梯度大小. 在外部区域直接用等距的 x-网格，并选取过渡点* (从边界层区域到外部区域的转换点) 使所构造的网格产生函数具有一阶连续导数. 由此方法构造的网格产生函数为
(1.1.1)
其中过渡点*满足
(1.1.2)
从几何图形上可看出直线*是过点 (1， 1) 与曲线*相切的切线，*是切点.
由于非线性方程 (1.1.2) 不能准确地求解， 因此 Vulanovi. 用 (0，1)-Pade 估计来代替上面网格产生函数中的指数函数部分， 这就有下面的网格产生函数
(1.1.3)
这里选取满足方程 *的 * .
所有由 Bakhvalov 网格产生函数所得到的网格称为 Bakhvalov 网格， 简称为B 网格. 由 Liseikin 和 Yanenko[4] 构造的网格、Boglaev[5] 构造的网格和*近广泛研究的等分布网格， 以及由 Gartland[6] 提出的梯度网格都属于 B 网格.
简单迎风差分格式在 Bakhvalov 网格上的典型收敛结果是
(1.1.4)
其中*.即简单迎风差分格式在 L∞ 模或离散极大模的意义下关于 * 一致一阶收敛.
1.1.2 Shishkin 网格
另一种经常使用的网格是 Shishkin 网格 [7，8]. 它是分片等距网格， 具有比较简单的结构. 令* 是两个网格参数， 满足 *， 并且 * 为边界层内的网格节点数与总节点数的比值. 选取网格过渡点*， 使得当*时， 边界层函数*， 故令
则把区间 [0， λ] 和 [λ， 1] 分别分成 qN 和 (1-q)N 个等距的小区间 (假设 qN 是整数). 如果 *， 则此网格可认为由下面的网格产生函数生成
(1.1.5)
与 Bakhvalov 网格及*提出的修正的*网格不同， Shishkin网格的网格产生函数只具有分段一阶连续导数， 并依赖于节点数 N. 为简便起见，假设*; 否则 N = O*，故用等距网格即可求解此类问题.
尽管与 Bakhvalov 网格相比较， Shishkin 网格结构简单， 并且由它所构造的数值方法易于分析， 但是在 Shishkin 网格上得到的数值解的误差界不如在 Bakhvalov网格上得到的数值解的误差界来得好. 例如， 简单迎风差分格式在 Shishkin 网格上的误差估计为
(1.1.6)
与式 (1.1.4) 相比， 误差界要相差因子 lnN.
为了弥补这个不足， 许多科研工作者不断地改进 Shishkin 网格. Vulanovi.[9]提出引进更多的网格过渡点:
并在每个子区间 [λi+1， λi] (i = 0， *， l) 上进行等分. 则在此网格上的迎风差分格式可以提高收敛速度
(1.1.7)
Lin*[10，11] 提出在 [0， λ] 上采用 Bakhvalov 网格 (取*)， 而在区间 [*， 1] 上采用等距网格， 则迎风差分格式在此网格上的误差估计为
(1.1.8)
把具有过渡点*及在 [*， 1] 上等距的网格称为 Shishkin 网格， 简称为 S 网格. Roos 和 Lin*[12] 对 S 网格进行了归纳， 得出 S 网格由下面的网格产生函数生成
(1.1.9)
其中函数*在区间*上单调递增， 并且满足*引进网格特征函数*， 此函数在区间 [0， q] 上单调递减， 且满足*.
例如: Shishkin 网格 [7，8]
(1.1.10)
Bakhvalov-Shishkin 网格 [10，11]
(1.1.11)
1.1.3 Graded 网格
Graded 网格是另一种非一致网格， 中文翻译有等级、分层两种．已有文献[13—17] 研究了有限元法结合 Graded 网格求解奇异摄动问题．比如， 谢资清、张智民等 [14] 使用局部间断的 Galerkin 有限元法求解一维和二维对流扩散模型， 获得了一致超收敛的数值结果．文献 [16] 给出了流线扩散有限元法在分层网格求解一维对流扩散问题的收敛性分析．
与 1.1.1 小节记号一样， 记过渡点*为转换点， 边界层厚度为*数量级．可见， 当摄动系数*很小时， 即便剖分数 N 很大， 边界层厚度依然会较小， 解在该区域内可能剧烈跳跃或扰动振荡．以一维单位区间 I = [0， 1] 为例， 设边界层靠近左端 x = 0， 可将区间分解为 I1 = [0， *]， I2 = [*， 1]; 设边界层靠近右端 x = 1， 可将区间分解为 I1 = [0， * ]， I2 = [*， 1]．在整个区间将剖分数N 对半分， 即左右两区间分别用 N/2 进行网格剖分．设左右两端都出现边界层，可分解为三部分 I1 = [0， * ]， I2 = [*， 1 * τ ]， I3 = [*， 1]．
依据网格生成函数的选取， 可以形成加倍密化或随奇性自适应产生的节点及其分布．需要说明的是， 前者剖分数 N 可事先设定， 后者 N 自适应生成， 都与摄动系数 * 的大小有关．下面分别讨论．
Graded 等级网格参见文献 [14]．设边界层靠近左端 x = 0， 则节点 xi 定义为
(1.1.12)
其中， 指数*为正整数．我们知道， 当*时等级网格退化为 Shishkin 网 格， 而且随着*的增大， 等级网格在靠近左端边界层越来越呈现指数级密化， 这样有利于捕捉边界层的微观信息; 而在光滑区间即为常规 Shishkin 网格．若是二维情形， 可类似定义节点，
若是三维情形， 可类似再定义节点 zk．
不同的是， 设边界层靠近右端 x = 1， 则节点 xi 定义为
(1.1.13)
随着*的增大， 网格在靠近右端越来越呈现指数级密化．若是二维情形， 可类似定义节点 yj ，
式 (1.1.12)、式 (1.1.13) 称为 x-方向的 Graded 等级网格， 其特点是剖分数N 事先设定， 再偶数倍加密形成离散网格， 在此基础上利用数值计算方法求出奇异摄动问题的有效数值解．
此外， Graded 分层网格参见文献 [16]．设边界层靠近左端 x = 0， 则节点 xi定义为
(1.1.14)
其中 0 < h < 1， * > 0 为网格生成初始函数， *为保底取整．可知由迭代公式 (1.1.14) 从左至右生成节点分布， 但 N 不再是预先设定， 而是需满足条件* 迭代算出的正整数．因小参数*的存在， (1.1.14)
形成左密右疏的网格剖分， 利于捕捉左端边界层情形．类似可再定义高维空间节点 yj ， zk．
设边界层靠近右端 x = 1 时， 一种更便捷的途径是不再消耗迭代计算， 而在MATLAB 环境使用命令 ones-fliplr 将整体 ones 数组减去左右已有节点坐标， 从而形成节点位置左右互换， 可直接得到右密左疏的网格剖分， 用于捕捉右端边界层情形．
式 (1.1.14) 称为 x-方向的 Graded 分层网格， 其特点是 N 依赖于参数 *且由迭代公式自适应地生成剖分数及其节点分布， 在此基础上利用数值计算方法求解奇异摄动问题．
1.1.4 *优网格
关于网格剖分的方法中， *引人瞩目的是 Shishkin 网格， 这是一种*简单的分片等距网格. Shishkin 网格具有一致收敛性 [7]. 在文献 [7] 中， 作者构造了一种所谓的*优网格， 在该网格剖分下， 原方程解的插值投影误差在能量范数的意义下具有*优的收敛阶， 因而用有限元法求得方程的近似解具有*优收敛阶. 其基本思想是对求解区域进行非等距剖分， 使得解的插值投影误差在每个子区间上相等， 从而解的投影误差在整个求解区域上具有不依赖于参数 * 的*优一致收敛性.
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