第1章 小位移变形弹性理论基本方程
　　1.1 应力、应变、位移、体积力、表面力
　　弹性体的力学响应可用三类量：应力（力学量）、应变及位移（几何量）来表示。这三种量通常有以下三种表示方法。工程表示： E（engineering）仿射正交张量表示： T（cartesian tensor）矩阵（或矢量）表示： M（matrix or vector）这三种表示方法是等同的。
　　1.应力：物体内一点的应力状态用6个独立的应力分量表示
　　（1.1.1a）
　　（1.1.1b）
　　（1.1.1c）
　　2.应变：物体内一点的应变状态也用6个独立的应变分量表示
　　（1.1.2a）
　　（1.1.2b）
　　（1.1.2c）
　　剪应变的工程表示与张量表示差1/2，即
　　（1.1.3）
　　3.位移：物体内一点的位移以3个位移分量表示
　　（1.1.4a）
　　（1.1.4b）
　　（1.1.4c）
　　所以，弹性理论空间问题的未知量有6个应力分量、6个应变分量及3个位移分量，共15个。实际上，应力、应变、位移都是弹性体内各点坐标的函数，即都是场量。以后，为了与弹性理论变分原理的术语一致，将称为三类变量。同时，弹性体还有给定的单位体积的体积力及单位表面上的表面力。
　　4.体积力：给定的单位体积的体积力有3个分量
　　（1.1.5a）
　　（1.1.5b）
　　（1.1.5c）
　　表面力：边界面单位表面上的表面力也有3个分量
　　（1.1.6a）
　　（1.1.6b）
　　1.2 应变能和余能
　　1.2.1 应变能密度
　　考虑一杆件承受轴向拉伸（图1.1（a），假定其拉力 P的变化很慢，以致杆在各瞬时均处于平衡状态，这种加载过程称为静过程。这时拉力 P与伸长 u之间的关系如图1.1（b）所示。横坐标 u与曲线之间的面积Wa代表拉力 P所做的功。
　　在静过程中，可以忽略其动态力，同时，不考虑随物体的弹性变形而产生的极小电磁及热现象等能量消耗，根据能量守恒原理，此功在数值上等于物体变形所储存的应变能。对于一个理想弹性体，外力做的功将全部转变为物体所储存的应变能。随着变形的消失，它又以功的形式放出。这种应变能是由于变形而且仅由于变形而产生。
　　图1.1（c）为此杆对应的应力-应变曲线，其横坐标εx与曲线间的面积代表单位体积的应变能，又称应变能密度，以表示。因此可知，在单向受力状态，应变能密度为
　　同理，在复杂受力状态下其应变能密度定义为
　　（1.2.1）
　　图1.1 应变能密度与余能密度
　　1.2.2 余能密度
　　图1.1（b）中，纵坐标 P与曲线之间的面积W称为余能。同理，图1.1（c）中纵坐标σx 与曲线之间的面积 B()σ为单位体积的余b能，又称余能密度。因此
　　而且
　　对于线性弹性体，由于应力-应变为直线关系，所以。对于非线性弹性体，其应力-应变为曲线关系，因而应变能密度与余能密度并不相等。弹性体在复杂受力状态时，其余能密度同时存在
　　（1.2.3）
　　1.3 小位移变形弹性理论基本方程
　　以下讨论在给定体力和边界条件下、处于平衡状态小位移变形弹性体的基本方程。所谓小位移变形弹性理论，是假定物体内一点的位移分量 u、v、w小到可以把基本方程线性化。这些线性化的基本方程有以下几组。
　　1.3.1 平衡方程（力学方程）
　　E：在笛卡儿直角坐标系中，弹性体一点的6个应力分量必须满足3个平衡方程
　　（1.3.1a）
　　T：以上3个平衡方程可用张量形式表达
　　（1.3.1b）
　　其中，表示 ij 对即 ij 在本书后文中，凡是都表示。
　　的偏导数，同时，同一项中指标的符号（而不是阿拉伯数字）重复，代表该指标由1至3求和，即代表∑3。略去求和符号，这种重复的指标，称为哑标，例如
　　所以式（1.3.1b）中第一项的符号 j为哑标，它表示指标 j由1至3求和，即代表
　　式（b）中，取 i =1 ，可得
　　这就是工程表示中平衡方程（1.3.1a）的第一式。同样， i分别取2及3，将得到其余两个方程。
　　由于哑标代表求和，所以可用任何重复的字母表示，如下式（d）与式（1.3.1b）的展开式（ b）完全相同。因此，哑标用别的重复符号置换，结果一样。
　　M：平衡方程同样可用矩阵表达。
　　（1.3.1c）
　　其中， D为微分算子阵，
　　（1.3.2）
　　矩阵 D中元素的排列，与式（1.1.1a）至式（1.1.1c）阵中应力分量的排列顺序一一对应。如改变式（1.1.1c）中应力分量的顺序，矩阵 D中元素的排列顺序也需作相应改变。
　　1.3.2 应变-位移方程（几何方程）
　　小位移变形弹性体中，应变-位移关系的三种表示方式如下所述。
　　E：在笛卡儿直角坐标系中，弹性体的6个应变分量与3个位移分量的关系为
　　（1.3.3a）
　　T：以上6个方程可用如下张量形式表示：
　　（1.3.3b）
　　当取 i =1，而 j分别取1及2时，可得
　　此结果与式（1.3.3a）中的第1式及第6式2相同。1同时由式（f）可见，剪应变与相等。这就是式（1.1.2c）中诸剪应变及前面加系数2的原因。
　　M：应变-位移方程的矩阵表达为
　　（1.3.3c）
　　上式展开得
　　（1.3.3d）
　　可见，用矩阵表示的平衡方程（1.3.1c）和应变-位移方程（1.3.3c）中的微分算子阵互为转置。
　　1.3.3 应力-应变关系（物理方程或本构方程）[1]
　　小位移变形弹性理论中的应力-应变关系，以线性、齐次形式给出。它们有两类表达式。
　　1.第一类应力-应变关系表达式
　　E：对于各向异性的线性弹性体，以应变表示应力时，其应力-应变关系为
　　方程中与对角线居对称位置的弹性系数相等

目录
前言
第1章 小位移变形弹性理论基本方程 1
1.1 应力、应变、位移、体积力、表面力 1
1.2 应变能和余能 2
1.2.1 应变能密度 2
1.2.2 余能密度 3
1.3 小位移变形弹性理论基本方程 3
1.3.1 平衡方程（力学方程） 4
1.3.2 应变-位移方程（几何方程） 5
1.3.3 应力-应变关系（物理方程或本构方程） 6
1.3.4 边界条件 12
1.4 散度定理 13
1.5 小结 14
参考文献 15
第2章 小位移变形弹性理论经典变分原理及广义变分原理 16
2.1 小位移变形弹性理论*小势能（位能）原理 16
2.1.1 *小势能原理及泛函约束条件 16
2.1.2 证明 17
2.2 *小余能原理 22
2.2.1 *小余能原理及泛函约束条件 22
2.2.2 证明 23
2.3 小位移变形弹性理论广义变分原理 26
2.4 Hellinger-Reissner 广义变分原理 27
2.4.1 Hellinger-Reissner变分原理泛函ΠHR (σ ，u) 的建立 27
2.4.2 Hellinger-Reissner 变分原理注意事项 30
2.5 (ε，u)双变量广义变分原理 31
2.5.1 （ε，u）双变量广义变分原理泛函ΠP2 (ε，u)的建立 31
2.5.2 P2 Π (ε ，u)变分原理的注意事项 34
2.6 这两种广义变分原理泛函之间的关系 35
2.7 Hu-Washizu广义变分原理 37
2.7.1 Hu-Washizu变分原理泛函HW Π的建立 37
2.7.2 对Hu-Washizu广义变分原理的论战 39
2.8 小结 43
2.8.1 小位移变形弹性理论静力问题 43
2.8.2 弹性理论常规变分原理之间的关系 45
参考文献 48
第3章 根据*小势能原理建立的轴对称位移元（Ⅰ） 50
3.1 协调的假定位移有限元 50
3.1.1 变分原理 50
3.1.2 单元列式 51
3.2 有限元收敛准则 几何各向同性 54
3.2.1 有限元单调收敛准则 54
3.2.2 非协调元的收敛条件 55
3.2.3 几何各向同性 63
3.3 轴对称问题 63
3.3.1 轴对称问题的场变量 64
3.3.2 轴对称问题基本方程 64
3.4 3 结点三角形轴对称位移元（一）（元LDT） 66
3.4.1 位移场 u 66
3.4.2 元内一点的应力及应变以结点位移表示 68
3.4.3 建立单元刚度阵 69
3.4.4 等效结点载荷 76
3.4.5 数值算例 76
3.4.6 三角形元应用推广 82
3.5 3 结点三角形轴对称位移元（二）（元LDTC） 91
3.5.1 基本列式 91
3.5.2 基本列式讨论 95
3.5.3 算例 96
3.6 3 结点三角形轴对称位移元（三） 98
3.6.1 单元建立 98
3.6.2 数值算例 101
3.7 4结点三角形轴对称位移元 103
3.7.1 单元建立 103
3.7.2 数值算例 106
参考文献 107
第4章 根据*小势能原理建立的轴对称位移元（Ⅱ） 110
4.1 多结点三角形协调轴对称位移元的形函数 110
4.1.1 Lagrange定理 110
4.1.2 多种结点三角形轴对称元的形函数 112
4.1.3 各种一维元 115
4.2 多结点四边形协调轴对称位移元的形函数 116
4.2.1 线性元 116
4.2.2 二次元 117
4.2.3 三次元 119
4.3 轴对称等参位移元 120
4.3.1 轴对称等参位移元 120
4.3.2 等参元的收敛性 122
4.3.3 等参元单元列式 126
4.3.4 数值算例 128
4.4 几种轴对称元数值比较 134
4.5 4结点非协调轴对称位移元（一） 138
4.5.1 广义协调元四边形面积坐标 138
4.5.2 4结点四边形广义协调轴对称元 140
4.6 4结点非协调轴对称位移元（二） 144
4.6.1 建立单元初始位移 144
4.6.2 修正的非协调位移 146
4.6.3 数值算例 150
4.7 小结 154
参考文献 156
第5章 根据修正的余能原理Π mc、Π(1)mc 及Hellinger-Reissner原理mR Π
建立的轴对称有限元 158
5.1 修正的余能原理mc Π 及早期杂交应力元Ⅰ 158
5.1.1 *小余能原理 158
5.1.2 修正的余能原理 159
5.1.3 早期杂交应力元Ⅰ 161
5.2 Hellinger-Reissner原理及早期杂交应力元Ⅱ 163
5.2.1 变分泛函 163
5.2.2 有限元列式 164
5.2.3 几点注意事项 166
5.3 早期杂交应力元小结 169
5.3.1 两种早期杂交应力元 169
5.3.2 假定应力杂交模式小结 170
5.4 扫除附加的运动变形模式（扫除多余的零能模式） 170
5.4.1 附加运动变形模式 170
5.4.2 扫除附加运动变形模式 171
5.4.3 选择单元应力场扫除零能模式的方法及实例 174
5.4.4 对单元稳定所需*小应力参数（式（5.4.1））的意见 176
5.5 杂交应力轴对称元 176
5.5.1 杂交应力轴对称元列式 176
5.5.2 单元位于对称轴上问题 179
5.6 一般四边形4结点轴对称杂交应力元 180
5.6.1 位移场u 181
5.6.2 假定应力场 182
5.6.3 数值算例 187
5.6.4 小结 196
5.6.5 钢容器内圆柱形固体火箭推进剂受力分析 197
5.7 一般四边形8结点轴对称杂交应力元 205
5.7.1 位移场u 206
5.7.2 假定应力场σ 206
5.7.3 数值算例 212
5.7.4 小结 222
5.8 应用杂交应力模式进行任意载荷下轴对称构件受力分析 223
5.8.1 有限元列式 223
5.8.2 建立杂交应力元 228
5.8.3 数值算例 230
5.8.4 小结 236
5.9 杂交-Trefftz有限元 236
5.9.1 变分泛函 237
5.9.2 有限元列式 242
5.9.3 修正的余能原理Πm(1c) (u，u)与Π的关系 244
5.10 4结点轴对称杂交-Trefftz元 245
5.10.1 柱坐标表示的基本方程及边界条件 245
5.10.2 4结点轴对称杂交-Trefftz元 246
5.10.3 数值算例 248
5.11 小结 251
参考文献 254
第6章 根据修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR及杂交应力元理性列式所建立的轴对称元（Ⅰ） 258
6.1 修正的Hellinger-Reissner原理（一） 258
6.1.1 Hellinger-Reissner原理的离散形式 258
6.1.2 修正的Hellinger-Reissner原理（一）ΠmR1 259
6.2 修正的Hellinger-Reissner原理（二）及修正的Hellinger-Reissner原理（三） 262
6.2.1 修正的Hellinger-Reissner原理（二） 262
6.2.2 修正的Hellinger-Reissner原理（三） 263
6.3 修正的Hellinger-Reissner原理及所建立的杂交应力元 264
6.3.1 变分原理 264
6.3.2 有限元列式 265
6.3.3 这种有限元列式的讨论 266
6.4 非协调杂交应力元理性列式Ⅰ—平衡法 266
6.4.1 非协调杂交应力元理性列式Ⅰ—平衡法 267
6.4.2 用理性列式Ⅰ—平衡法建立杂交应力元的特点 269
6.5 用理性列式Ⅰ—平衡法建立4结点轴对称元 270
6.5.1 利用理性平衡方法Ⅰ，建立一般形状4结点轴对称元 270
6.5.2 数值算例 274
6.6 非协调杂交应力元的理性列式—修正的平衡法Ⅰm 279
6.7 非协调杂交应力元的理性列式Ⅱ—正交法 280
6.8 非协调杂交应力元的理性列式Ⅲ—表面虚功法 282
6.8.1 变分泛函及收敛条件 282
6.8.2 理性方法Ⅲ—表面虚功法 283
6.8.3 非协调杂交应力元三种理性列式说明 286
6.9 利用三种理性方法建立4结点轴对称元 287
6.9.1 建立单元 287
6.9.2 数值算例 289
6.10 小结 297
参考文献 299
第7章 根据修正的Hellinger-Reissner原理ΠmR2及修正的两变量变分原理Πp2建立的轴对称元（Ⅱ） 302
7.1 利用另一种表面虚功法建立轴对称元 302
7.1.1 变分泛函 302
7.1.2 单元建立 304
7.1.3 Dong及Teixeira de Freitas建立的4结点轴对称非协调杂交应力元 305
7.1.4 4结点非协调轴对称元LA1、HA1及FA1 308
7.2 轴对称元中伪剪应力的几点说明 318
7.2.1 矩形网格下伪剪切现象产生的原因及消除 318
7.2.2 歪斜网格下伪剪应力的抑制 320
7.3 杂交应力扭转元 320
7.3.1 应力约束方程和单元刚矩阵 320
7.3.2 4结点一般形状杂交应力扭转元 322
7.3.3 数值算例 324
7.4 修正的(ε，u)双变量变分原理Πmp2及根据Πmp2建立的轴对称元 328
7.4.1 修正的(ε，u)双变量变分原理 328
7.4.2 根据2mp2 Π 进行有限元列式 330
7.4.3 利用修正的两变 量变分原理Π2mp2进行单元列式 331
7.4.4 建立4结点轴对称元 331
7.5 用罚平衡法建立轴对称元 336
7.5.1 罚函数法 336
7.5.2 罚平衡法 337
7.5.3 用罚平衡法建立4结点轴对称元 338
7.6 具有转动自由度的4结点轴对称元 340
7.6.1 具有转动自由度的4结点轴对称元 340
7.6.2 数值算例 348
7.7 小结 355
参考文献 357
第8章 根据Hu-Washizu原理Π HW建立的轴对称有限元模式 361
8.1 根据Hu-Washizu原理Π HW建立的4结点精化杂交应力轴对称元（refined hybrid stress axisymmetric element） 361
8.1.1 Hu-Washizu原理HW Π 361
8.1.2 精化杂交应力轴对称元 361
8.2 根据*小势能原理建立轴对称四边形非协调位移元 375