第1章 经典时空和相对论时空
　　1.1 经典力学
　　1.1.1 牛顿力学
　　牛顿定律 由均匀流逝的时间 t 和欧氏空间中均匀刻度的笛卡儿直角坐标
　　构成的惯性坐标系，是牛顿力学的时空标架。相对于惯性坐标系，有牛顿运动三定律：
　　(i) 不受外力的物体处于静止或匀速直线运动状态
　　(ii) 沿 x1 方向的外力 F 与物体惯性质量 m 及加速度的关系为
　　(iii) 作用力和反作用力大小相等、方向相反，以及牛顿万有引力定律：相距r、引力质量分别为 M 和 m 的两质点间，沿连线方向吸引力为
　　由式 (2)，结合牛顿运动定律， 在物体惯性质量和引力质量相等的条件下，可以导出点源或球状源 M 的引力势
　　及牛顿引力场方程
　　式中，ρm 为质量密度。
　　伽利略协变性 力学普遍规律应当与观测者和观测参照系无关。若惯性坐标系 S′ 相对于 S 沿 x1 方向以速度 v 运动，同一时空点在 S′ 和 S 的坐标服从伽利略变换
　　则在两个坐标系中表述的牛顿运动定律及引力定律的形式都相同，即牛顿力学遵从伽利略相对性，在伽利略变换下不变。
　　空间的几何性质可以用线元描述。直角坐标系中两点 (x1 ， x2 ， x3) 和 (x1 +dx1 ， x2 + dx2 ， x3 + dx3) 的距离为
　　定义欧氏空间的线元
　　式中，δij 是欧氏空间度规
　　线元 (7) 是伽利略变换下的不变量。具有度规 (8) 的线元 (7) 决定了欧氏空间的均匀、各向同性。
　　可以把一维时间坐标和三维欧氏空间位置坐标组成一个四维空间，称为伽利略时空或伽利略空间à。令 x0 ≡ t，伽利略时空坐标记作
　　则伽利略时空度规为
　　(10)
　　线元为
　　质点 t 时刻位于 (x1， x2， x3) 处这一事件可表示为四维时空中的一个点，其运动轨迹为四维时空中的一条“世界线”。
　　à 伽利略空间是一个四维欧氏空间，不是三维欧氏位置空间。
　　伽利略时空里的时间与参照系无关，所以时空线元 (11) 与空间线元 (7) 一样，也是伽利略变换下的不变量。线元或度规决定了一个空间的几何结构。伽利略空间的三维位置空间度规 (8) 或四维时空度规 (10) 与时空坐标无关，表明伽利略空间是均匀的平直空间。牛顿力学定律的伽利略协变性要求其背景时空必须是平直的伽利略时空。
　　惯性力和绝对时空 加速度是伽利略变换下的不变量。在非惯性系中使用牛顿第二定律需要添加一个惯性力。经典力学需要一个绝对空间 (绝对惯性系) 以及相对于绝对空间的绝对运动来解释惯性力的起源。在“旋转水桶实验”[1] 中，桶里的水在被桶壁带动一起旋转之后，以及桶已停止旋转之时，水面都会下凹；牛顿指出：水面下凹的原因不是水相对于桶壁的运动，只能是相对于绝对空间运动的惯性力。尽管众多哲学家和物理学家不喜欢绝对空间的概念，然而历经三百多年发展的物理学，包括相对论和量子物理，迄今都否定不了牛顿关于绝对空间和绝对运动的论证。
　　1.1.2 分析力学
　　广义坐标和位形空间 由 N 个质点构成的一个力学系统，存在着 3N 个质点的位置坐标 x(i)μ (i = 1 . N， μ = 1 . 3)；由于外加约束力的作用，质点的位置x 和速度x˙ ， 受到了 l 个约束方程的限制
　　如果约束为完整的几何约束，约束方程不显含速度 (例如，约束力将质点限制在一个曲面上)，系统自由度将降到 n = 3N . l， 则用 n 个独立参数——广义坐标qk (k = 1， ， n)，就可以确定系统中各质点的位置
　　n 维广义坐标 q 构成一个位形空间。广义坐标 q 和广义速度 q˙ 确定了该系统的力学状态 (位形)。位形空间中的系统动能 T = T(q˙(t))，位能 V = V (q(t))。定义系统的拉格朗日量
　　需要特别指出的是，“位形空间”一词里的“空间”不同于 §1.1.1 所述牛顿力学里的“空间”。牛顿力学用三维惯性空间中的笛卡儿坐标 x 标示物体位置，位置坐标在 CGS 单位制中的量纲为长度的量纲 [cm]。分析力学的背景空间标架则是用广义坐标构成的一个位形空间，广义坐标 q 并非任何一个物体在三维位置空间中的位置，一般也不具有长度的量纲。
　　*小作用量原理 在分析力学中，质点运动路径用变分原理表述：若在时刻t1 和 t2 系统位形 (在位形空间中的位置) 由两组广义坐标 q(1) 和 q(2) 确定，则保守系统在这两个位置间的运动应令作用量
　　取极值，即令变分
　　由*小作用量原理可导出系统的运动方程 (第二类拉格朗日方程)：
　　式中，Qi 为由广义坐标和广义速度定义的广义力。当主动力为有势力时
　　若对系统变化路径加上机械能守恒条件的约束
　　及广义动能 T 可表示为速度的齐次二次函数
　　且 n 维位形空间为无势空间，其广义位能
　　定义 n 维位形空间线元为
　　则*小作用量原理 (16) 可以表述为位形空间中的*短路径原理 [2， 3]
　　即位形空间中系统变化路径为短程线 (测地线)。
　　牛顿力学的背景空间是具有线元 (7)、度规 δij(i， j = 1.3) 的平直欧氏空间，系统状态用质点坐标和速度描述，背景空间中的自由质点沿直线匀速运动，外力作用下的质点运动轨迹需要从初始坐标和速度出发，用牛顿第二定律从外力计算出加速度再积分得出。分析力学用广义坐标和广义速度表述系统状态，可以在系统的物理条件和物理的普遍规律约束下构造出不存在有势力场，具有线元 (21)、度规 gij (i， j = 1 . n) 的位形空间，在位形空间中系统沿短程线做“惯性运动”。
　　两类背景空间 牛顿《自然哲学之数学原理》给出了时间和空间的定义 (见文献 [1] 中的 § 定义 附注)；由具有伽利略不变性的一维时间坐标和三维空间坐标构成的四维“伽利略空间”是牛顿力学的时空背景 (见 §1.1.1)。物理学中，“空间”一词在不同场合被用于指称不同的对象：分析力学的背景空间是广义坐标构成的“位形空间”(见 §1.1.2)；相对论力学的背景时空是局域时间和空间坐标所构成的四维闵可夫斯基时空，又称“洛伦兹空间”(见 §1.2.1)；此外，还有“相位空间”“参数空间” 随着物理研究领域的扩展，对应每一个新的自由度都会产生一个新的物理空间，如微观物理的“自旋空间”“同位旋空间”等。
　　在本书中，只有伽利略空间和洛伦兹空间可以被称为“时空”，即只存在伽利略时空和洛伦兹时空这两种时空；“时空”一词中的“空”或与“时间”并列的“空间”，指的是四维伽利略时空中或洛伦兹时空中的三维空间部分。很多物理定律并不是在时空背景下表述的，分析力学表述的力学定律就是以位形空间为背景的，而构成位形空间的广义坐标并非时空坐标；微观现象的波动性和不确定性，使微观物理过程不可能归结为时空背景下单个质点的动力学过程，很多情况下都只能在非时空的物理背景 (希尔伯特空间) 下陈述理论：这些物理理论的背景空间都不能与背景时空相混淆。
　　广义相对论建立以来的百年间，由于位形空间与背景时空的混淆所导致的物理概念和方法上的紊乱，需要仔细地予以澄清。本书在有可能产生混淆的地方，都把四维时空背景的三维空间部分称为“位置空间”(spatial space)，而不简单地称为“空间”。
　　1.1.3 两类物理定律
　　牛顿力学的运动定律和万有引力定律，以及分析力学的*小作用量原理，都是经典力学定律。牛顿定律及其微分方程是表述力学运动起因及过程的普遍规律；而分析力学的原理则表述一个特定系统的运动结果——动力学微分方程的积分的特性：位形空间中作用量或路径长度取极值。
　　力学普遍规律应适用于任何物体在任何时间和空间位置上的运动。表述普遍规律的牛顿定律微分方程，如动力学方程 (1) 或引力方程 (3)，都与时间和空间位置无关。与此相应，牛顿力学的时空背景或时空标架必须是均匀的，不能有任何非均匀的结构；否则，力学方程将与时空坐标有关，不可能表述与坐标无关的普遍规律。
　　作用量 (15) 是在两个指定的广义坐标 q(1) 和 q(2) 间，力学系统拉格朗日量的积分。分析力学的*小作用量原理 (16) 或*短路径原理 (22)，并不是对任何时空点都成立的普遍规律，而是对于一个具体的力学系统，在两个特定的位置之间，系统运动过程的积分性质——在用适当的广义坐标构建的位形空间里，作用量*小或路径*短。这种特性是系统运动遵从力学普遍规律的结果。
　　例如，表述加速度与外力间关系的牛顿第二定律 (1) 是一个普遍规律，它适用于任何时刻处于任何空间位置的质点，并且与质点的初始位置及速度无关。从初始位置及初始速度出发，积分动力学方程 (1)，可以求出在引力定律方程 (3) 所描述的引力场中检验质点à的运动轨迹。另一方面，分析力学的*短路径原理 (22)指出，度规为 gij 的弯曲位形空间中，质点在取决于初始坐标及初始速度的两个特定位置间 (在位形空间里的) 路径为短程线。从导出*短路径原理的过程可以看到，满足式 (22) 的位形空间，其度规取决于能量守恒关系 (18)。因而，位形空间为无势空间的条件 (20)，使得式 (21) 中的度规 gij 就是平直背景空间中弯曲的引力势场的度规。也就是说，能量守恒定律决定了物理位形空间的几何对称性及其中路径的短程性。
　　分析力学的作用量 (15) 或 (22) 中被变分的路径，是沿着系统运动路径在两个位置间的积分量，其数值以及积分的始末位置取决于作用力场、运动定律及运动的初始条件。分析力学的变分原理表述的是：对于一个特定的力学系统——由特定的物体构成，受特定的几何约束和运动约束，在特定的外力场中，遵从力学普遍规律的一个系统——可以用适当的广义坐标构造一个具有适当对称性的位形空间，系统在位形空间中的运动遵从变分原理。
　　牛顿力学的普遍规律用均匀背景时空中的力场方程及运动微分方程表述，适用于任何时空点；与普适的力学规律不同，变分原理表述的是，对于一个服从力学普遍规律的特定系统，其运动路径由位形空间的几何决定，但位形空间的弯曲形状是由普适的力学规律和该系统特定的物理条件共同决定的。因此，普遍规律是变分原理成立的先决条件；变分原理不能取代普遍规律。
　　在已知力学普遍规律的条件下，对于描述一个特定系统的运动，分析力学可以与牛顿力学等价：利用变分原理也可以导出广义坐标下的运动方程。但是，如

目录
前言
第1章 经典时空和相对论时空 1
1.1 经典力学 1
1.1.1 牛顿力学 1
牛顿定律 1
伽利略协变性 1
惯性力和绝对时空 3
1.1.2 分析力学 3
广义坐标和位形空间 3
*小作用量原理 4
两类背景空间 5
1.1.3 两类物理定律 5
1.1.4 平直的背景时空和弯曲的位形空间 7
1.1.5 曲线运动源于空间弯曲吗？ 8
1.1.6 分析力学的广义协变性 11
1.2 相对论 11
1.2.1 洛伦兹空间 11
洛伦兹协变性 11
洛伦兹空间是位形空间 12
经典时空观被颠覆了吗？ 13
1.2.2 电磁场 14
1.2.3 如果电荷只有一种符号 16
第2章 相对论引力 18
2.1 弯曲空间引力场方程 18
2.1.1 数学方案 18
2.1.2 等效原理与广义协变 19
2.2 相对论引力的局域背景时空和位形空间 23
2.2.1 时空坐标与广义坐标 23
2.2.2 动力学的两种表述方式 25
2.2.3 黎曼如何认识弯曲空间 27
2.3 物理与几何 28
2.3.1 两种协变性 28
2.3.2 守恒律与对称性 32
2.4 平直时空引力场方程 33
2.4.1 物理方案 33
2.4.2 如果存在斥力物质 36
2.4.3 线性化的爱因斯坦场方程 38
2.4.4 引力波 39
平直真空引力波方程 39
激光干涉探测引力波 39
弯曲时空产生和传播引力波吗？ 40
2.4.5 两个引力场方程 41
2.5 周培源-彭桓武时空观 43
2.5.1 弯曲时空与运动的背景时空 43
2.5.2 水星近日点进动 44
牛顿轨道没有进动 44
弯曲时空中也没有进动 44
平直时空中才有进动 46
弯曲时空无法解决进动问题 46
2.5.3 平直时空引力波 47
第3章 相对论宇宙学 49
3.1 局域和非局域物理 49
3.1.1 相对论引力的局域性 49
3.1.2 非局域的宇宙 50
3.2 标准宇宙模型 52
物质密度 52
宇宙学常数 52
R-W 度规 52
理想流体 52
能量方程 53
动力学方程 53
标准宇宙模型的物理基础 53
3.3 相对论宇宙学的困难 53
3.3.1 运动方程与牛顿宇宙学相同 53
3.3.2 两个弗里德曼方程相互矛盾 55
3.3.3 驱动宇宙的是引力还是压力？ 55
引力驱动 55
压力驱动 57
3.3.4 违背能量守恒 58
宇宙学常数 58
能量方程 59
动力学方程 61
3.3.5 宇宙学常数不能使膨胀加速 61
3.3.6 等效原理不成立 62
第4章 均匀、各向同性和平直的宇宙 64
4.1 绝对运动与绝对时空 64
4.2 牛顿力学和牛顿宇宙学的困难 66
4.2.1 引力悖论和白夜悖论 67
纽曼-西利格悖论 67
奥柏斯悖论 67
4.2.2 奇性疑难 67
奇点 67
位能无限大 68
4.2.3 惯性系疑难 68
4.3 引力中性的宇宙 69
4.3.1 哲学家的观点 69
4.3.2 局域引力与非局域引力 71
第5章 热平衡的宇宙 72
5.1 热和非热辐射 72
5.1.1 运动电荷的非热电磁辐射 72
5.1.2 凝聚体的热电磁辐射 72
5.1.3 运动质量的非热引力辐射 72
5.1.4 宇宙的热引力辐射 72
5.2 局域和非局域热辐射 73
5.2.1 微波背景辐射黑体谱 73
5.2.2 没有重子和光子的宇宙 75
5.2.3 引力的热能化 76
5.3 暗宇宙的引力辐射 77
5.3.1 宇宙的热平衡 77
局域热辐射 77
非局域热辐射 77
热平衡和时间同步 77
5.3.2 凝聚态宇宙 78
5.3.3 光子和引力声子 79
5.4 膨胀宇宙的能量转换 80
5.4.1 实物和辐射 80
5.4.2 能量守恒 82
5.4.3 光子-声子热传递 83
5.5 热力学中的热质能疑难 84
5.5.1 过增元问题 84
5.5.2 薛定谔问题 84
第6章 宇宙动力学 86
6.1 宇宙时空的对称性 86
6.1.1 非洛伦兹的宇宙时空 86
6.1.2 伽利略协变、洛伦兹协变和“广义协变” 87
6.1.3 宇宙时空的伽利略对称性 88
6.2 中性真空动力学 89
6.2.1 膨胀宇宙的物理图像 89
均匀各向同性系统 89
膨胀宇宙 90
还原与涌现 90
6.2.2 能量方程和运动方程 92
能量方程 92
运动方程 94
6.2.3 无相变宇宙的膨胀 95
6.2.4 宇宙相变 96
朗道理论 96
昂萨格倒易关系 97
6.2.5 中性凝聚宇宙的膨胀 98
6.2.6 宇宙临界现象 100
6.3 局域和非局域运动 101
6.3.1 宇宙真空的膨胀 101
6.3.2 质点动力学 102
第7章 宇宙的起源 103
7.1 暴胀 103
7.2 相互作用和基本粒子的产生 105
7.2.1 宇宙学常数问题 105
7.2.2 大数定律 106
7.3 微波背景各向异性四极矩缺失 108
第8章 宇宙的构成 114
8.1 宇宙物质的组成 114
8.2 非局域扰动 115
8.3 暗物质 116
8.3.1 有暗物质粒子吗？ 116
8.3.2 暗物质晕热力学 117
8.3.3 暗物质晕动力学 117
小尺度问题 117
宇宙的“邪恶轴” 119
8.4 暗能量 120
8.4.1 宇宙空洞 121
8.4.2 黑洞硬核 121
超新星爆发机制 121
脉冲星运动方向 122
黑洞喷流 122
第9章 物理学的基础架构 126
9.1 时间与空间 126
9.1.1 惯性系与平直时空 126
9.1.2 惯性力与反作用 127
9.2 老子宇宙论 129
9.2.1 泰勒斯与老子 129
西方的智慧 129
东方的智慧 130
9.2.2 一与多 131
“万物负阴而抱阳” 131
大爆炸与真空相变 132
“三生万物” 132
9.3 三个物理世界 132
9.3.1 宇宙学、宏观物理和微观物理 132
宇观世界 133
宏观世界 133
微观世界 134
三种对称性 135
时序保护猜想 135
9.3.2 广义相对论的位置 136
9.4 物理学的发展 137
9.4.1 物理学的革命？ 137
9.4.2 广域与局域 138
9.4.3 连续与离散 138
9.4.4 线性与非线性 138
爱因斯坦的论断 138
自然定律必须在弯曲时空中描述吗？ 139
非线性现象必须用非线性方程描述吗？ 139
两种非线性 140
9.4.5 回归物理 141
“非线性数学纲领” 141
数学条件与经验 141
两种物理理论 142
托勒密体系的现代版 144
均匀时空 144
物理定律能否统一？ 146
9.5 方法论和世界观 147
9.5.1 描摹现象与揭示规律 148
唯象理论 148
广义相对论与绘画 150
广义相对论与机器学习 152
关键事实与大数据 154
9.5.2 单极世界与多元宇宙 155
导航空间 155
“重力霸权” 156
9.5.3 “冲气以为和” 156
9.5.4 理性与和谐的根基 158
附录 1 线性化引力场方程 161
附录 2 施瓦西引力场中轨道的稳定性 164
参考文献 166
后记 规范场与弯曲时空 179
《现代物理基础丛书》已出版书目