第1章随机事件与概率
　　1.1随机现象与随机试验
　　1.1.1随机现象
　　在自然界和人类社会生活中，存在各种各样的现象。有一些是在一定条件下必然会发生的现象。例如，标准大气压下，水加热到100°C时必然会沸腾，在0°C时必然会结冰；同性的电荷必然互相排斥，异性的电荷必然互相吸引，这些现象称为确定性现象。
　　另一些是事前不能预测其结果的现象。例如，抛一枚均匀硬币，可能出现正面向上，也可能出现反面向上；某厂生产的同一类灯泡的寿命会有所差异；用同一门炮向同一目标射击，各次弹着点不尽相同，在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置，等等。这些现象称为随机现象。
　　随机现象的结果事前不能预测，但在相同条件下，大量重复试验和观测时，会发现它们呈现某种规律性。并且在试验和观测之前知道所有可能发生的结果，只是在每次试验之前并不知道这些结果中哪一个会发生。例如，抛一枚均匀硬币，抛掷前是知道所有可能出现的结果，即正面向上或反面向上，但具体每次是哪一个结果出现并不清楚。大量重复试验后会发现出现正面和出现反面的次数大约是1:1。随着试验次数的增加，随机现象的这种规律性称为随机现象的统计规律性。概率论与数理统计正是研究随机现象及其统计规律性的一门数学学科。
　　1.1.2随机试验
　　在概率论中，为叙述方便，对随机现象进行的观察或科学实验统称为试验。用字母E表示。
　　例1.1.1观察下列几个试验。
　　E1：投掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数（即朝上那一面的点数）。
　　E2：在一批产品中，任取一件，检测它是正品，还是次品。
　　E3：投掷一枚质地均匀的硬币两次，观察它出现正面和反面的次数。
　　E4：记录某网站一天的点击量。
　　E5：从一批灯泡中，任取一只，测试其寿命。
　　以上试验的结果都是可以观测的，并且具有下列三个共同特点。
　　（1）试验可以在相同的条件下重复进行，即可重复性。
　　（2）试验的结果不唯一，但在试验前就知道所有可能出现的结果，即结果的明确性。
　　（3）在一次试验中，某种结果出现与否是不确定的，在试验之前不能准确地预测该次试验将会出现哪一种结果，即结果的随机性。
　　所有具有以上三个特点的试验称为随机试验，简称为试验。
　　1.2随机事件的基本概念
　　1.2.1样本空间
　　在随机试验中，人们感兴趣的是试验的结果，将试验E的每一种可能结果称为样本点，记为e。所有样本点组成的集合称为试验E的样本空间，记为Q或S。
　　例如，在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，有两个可能结果，即出现正面或出现反面，分别用“正面”和“反面”表示，因此这个随机试验有两个样本点，样本空间。
　　例1.2.1写出以下随机试验的样本空间。
　　E1：投掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数可能是1，2，3，4，5，6中的任何一种，因此样本空间记为：Q={1，2，3，4，5，6}。
　　E2：在一批产品中，任取一件，其结果可能是正品，也可能是次品，因此样本空间记为。
　　E3：投掷一枚质地均匀的硬币两次，它可能出现的结果为：两次都为正面；第一次出现正面且第二次出现反面：第一次出现反面且第二次出现正面；两次都为反面。因此样本空间记为
　　Q={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}，
　　以上三个样本空间中的样本点为有限个。
　　E4：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数，样本空间。
　　这个样本空间有无穷多个样本点，但这些样本点可以与整数集一一对应，称其样本点数为可列无穷多个。
　　E5：从一批灯泡中，任取一只，灯泡的寿命t为非负实数，样本空间记为：Q={t|t多0}。
　　这个样本空间包含无穷多个样本点，它们充满一个区间，称其样本点数是不可列的。
　　1.2.2随机事件
　　在随机试验中，所有可能发生的结果称为随机事件，简称为事件，常用大写字母表示。若W表示投掷一枚质地均匀的硬币出现正面这一事件，则记乂={正面}，单个样本点组成的集合{e}称为基本事件，多个样本点组成的集合{e1，e2， ，en}称为复合事件。
　　随机事件是样本空间的子集。其中，在每次试验中，一定出现的事件称为必然事件，记为Q；一定不可能出现的事件称为不可能事件，记为0。如测量某地区6岁男童身高的试验，{身高小于0}是不可能事件，{身高大于0}是必然事件。
　　例1.2.2投掷一枚质地均匀的骰子，若记事件A={出现的点数为偶数}，B={出现的点数小于5}，C={出现的点数为小于5的奇数}，D={出现的点数大于6}，则A，B，C，D都是随机事件，也可表示为：A={2，4，6}，B={1，2，3，4}，C={1，3}，D为不可能事件，即。记事件，n=1，2，3，4，5，6。显然，都是基本事件，A，B，C是复合事件。
　　1.2.3事件的关系及运算
　　在一个样本空间中可以定义多个随机事件，事件与事件之间往往有一定的关系。事件是样本点的集合，因此事件间的关系与运算可以按照集合与集合之间的关系与运算来处理。
　　下面假设试验E的样本空间为；An均是E的事件。
　　1.事件的包含关系
　　如果事件A发生必然导致事件B的发生，则称事件B包含事件A，事件A是事件B的子事件，记为。
　　如例1.2.2中，即事件，所以C是B的子事件，事件B包含事件C。
　　如果事件A包含事件B，同时事件B也包含事件A，即，则称事件A与事件B相等，记为A=B。
　　对任一事件A，总有。
　　2.和事件
　　事件A与事件B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的和事件，记作，即
　　事件A，B的和事件是由A与B的样本点合并而成的事件。
　　例如，某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定的，A表示“长度不合格”，B表示“直径不合格”，则“产品不合格”可表示为。
　　类似地，n个事件的和事件为，或记作。
　　可列个事件本的和事件，记为。
　　3.积事件
　　事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积事件，记作或，即
　　事件A，B的积事件是由A与B的公共样本点所构成的事件。
　　例如，考察某同学期末考试的成绩情况。A={英语及格}，B={高数及格}。AB={英语及格，高数及格}，它表示英语、高数两门课都及格。
　　类似地，n个事件的积事件为本，或记为。
　　可列个事件的积事件，记为。
　　4.差事件
　　事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A关于事件B的差事件，记作A-B，表示A发生而B不发生，即。
　　事件A关于B的差事件是由属于A且不属于B的样本点所构成的事件。
　　例如，考察电视机的使用寿命K单位：小时）。
　　它表示电视机的使用寿命在3000～10000小时内。
　　5.互不相容事件
　　如果事件A与事件B不能同时发生，即AB=0，则称事件A与事件B互不相容，或称事件A与事件B互斥。
　　例如，抛掷一枚骰子，“出现1点”与“出现偶数点”是互不相容的两个事件。
　　注　同一随机试验的基本事件是两两互不相容的。
　　6.对立事件
　　试验中“A不发生”这一事件称为A的对立事件或A的逆事件，记为A。
　　一次试验中，A发生则必不发生，而发生则A必不发生，因此A与满足关系
　　例如，抛骰子试验中“骰子出现1点”与“骰子不出现1点”是一对对立事件。事件间的关系与运算可用维恩（Venn）图（图1.1）直观地加以表示。图中方框表示样本空间Q，圆A和圆B分别表示事件A和事件B。
　　事件的运算满足如下运算律：
　　（1）交换律
　　（2）结合律
　　（3）分配律
　　（4）对偶律（德摩根定理）
　　对偶律还可以推广到多个事件的情况。一般地，对n个事件A1，A2， ，An有
　　对偶律表明，“至少有一个事件发生”的对立事件是“所有事件都不发生”，“所有事件都发生”的对立事件是“至少有一个事件不发生”。
　　（5）吸收律
　　例1.2.3对某产品的质量进行抽样检验，产品分为正品和次品两种，进行三次抽样，每次抽取一件产品，记事件An=“第n次取到正品”，n=1，2，3。试用事件运算的关系表示下列事件：
　　（1）前两次都取到正品，第三次未取到正品；
　　（2）三次都未取到正品；
　　（3）三次中只有一次取到正品；
　　（4）三次中至多有一次取到正品；
　　（5）三次中至少有一次取到正品。
　　解　显然，An=“第n次未取到正品”。
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　（5）
　　例1.2.4如图1.2所示的电路中，设事件A，B，C分别表示开关a，b，c闭合，用A，B，C表示事件“指示灯亮”及事件“指示灯不亮”。
　　解　设事件D表示“指示灯亮”，事件表示“指示灯不亮”，则
　　事件的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，但在概率论中有特定的语言表示。事件关系与集合关系比较见表1.1。

目录
前言
第1章　随机事件与概率　1
1.1　随机现象与随机试验　1
1.1.1　随机现象　1
1.1.2　随机试验　1
1.2　随机事件的基本概念　2
1.2.1　样本空间　2
1.2.2　随机事件　3
1.2.3　事件的关系及运算　3
1.3　概率及其性质　7
1.3.1　概率　7
1.3.2　频率　7
1.3.3　古典概率　8
1.3.4　概率的公理化定义与性质　10
1.4　条件概率与乘法公式　12
1.4.1　条件概率　12
1.4.2　乘法公式　13
1.5　全概率公式与贝叶斯公式　15
1.5.1　全概率公式　15
1.5.2　贝叶斯公式　17
1.6　事件的独立性　19
1.7　随机事件应用实例　21
习题1　23
第2章　随机变量及其分布　26
2.1　随机变量及其分布函数　26
2.1.1　随机变量　26
2.1.2　分布函数　27
2.2　离散型随机变量　30
2.2.1　离散型随机变量及其分布律　30
2.2.2　常见的离散型分布　33
2.2.3　离散型随机变量的应用实例　37
2.3　连续型随机变量　39
2.3.1　连续型随机变量及其概率密度　39
2.3.2　常见的连续型分布　43
2.3.3　连续型随机变量的应用实例　50
2.4　随机变量函数的分布　51
2.4.1　离散型随机变量函数的分布　51
2.4.2　连续型随机变量函数的分布　52
2.5　随机变量的数学期望　54
2.5.1　数学期望的概念　54
2.5.2　随机变量函数的数学期望　57
2.5.3　数学期望的性质　59
2.6　方差　59
2.6.1　方差的概念　60
2.6.2　方差的性质　62
2.6.3　几种常见分布的数学期望与方差　63
2.7　随机变量应用实例　66
习题2　69
第3章　多维随机变量及其分布　　73
3.1　多维随机变量及其分布函数　73
3.1.1　多维随机变量　73
3.1.2　联合分布函数　73
3.2　二维离散型随机变量　76
3.2.1　联合分布律与边缘分布律　76
3.2.2　二维离散型随机变量的应用实例　78
3.3　二维连续型随机变量　79
3.3.1　联合概率密度函数　79
3.3.2　常见的二维连续型分布　80
3.3.3　二维连续型随机变量的应用实例　83
3.4　随机变量的独立性　84
3.4.1　独立性的定义　84
3.4.2　独立性的性质　86
3.4.3　随机变量的独立性应用实例　87
3.5　二维随机变量函数的分布　88
3.5.1　二维离散型随机变量函数的分布　88
3.5.2　二维连续型随机变量函数的分布　90
3.5.3　二维随机变量函数的应用实例　93
3.6　二维随机变量的数字特征　95
3.6.1　二维随机变量的数学期望及方差　95
3.6.2　协方差与相关系数　98
习题3　102
第4章　大数定律及中心极限定理　107
4.1　切比雪夫不等式　107
4.2　大数定律　108
4.3　中心极限定理　111
习题4　116
第5章　数理统计　118
5.1　数理统计基本概念　118
5.1.1　总体和样本　118
5.1.2　统计量　120
5.2　几种常见的统计量分布　122
5.2.1　常见抽样分布　123
5.2.2　抽样分布定理　126
5.3　数理统计应用实例　129
习题5　130
第6章　参数估计　131
6.1　参数的点估计　131
6.1.1　矩估计　132
6.1.2　极大似然估计　134
6.2　估计量的优良准则　138
6.2.1　无偏性　138
6.2.2　有效性　140
6.2.3　相合性　141
6.3　参数的区间估计　142
6.3.1　基本概念　142
6.3.2　正态总体参数的区间估计　143
6.3.3　单侧置信区间　149
6.4　参数估计应用实例　151
习题6　153
第7章　假设检验　156
7.1　假设检验的基本思想与概念　156
7.1.1　引例　156
7.1.2　假设检验的基本概念　157
7.2　参数的假设检验　161
7.2.1　均值的检验　161
7.2.2　方差的检验　166
7.3　分布的假设检验　169
7.3.1　χ2检验法　170
7.3.2　总体分布为连续型的分布拟合检验　172
习题7　174
第8章　回归分析　177
8.1　回归分析的基本概念　177
8.1.1　一元线性回归模型　177
8.1.2　参数估计：最小二乘法　180
8.1.3　显著性检验　181
8.2　一元线性回归分析实例　183
8.3　多元线性回归分析实例　185
8.4　非线性回归问题的线性化处理　187
8.4.1　几种常见的可线性化的曲线类型　187
8.4.2　非线性回归分析实例　189
习题8　191
参考文献　195
部分习题参考答案　196
附表　206
附表1　泊松分布表　206
附表2　标准正态分布表　208
附表3　χ2分布表　209
附表4　t分布表　211
附表5　F分布表　212