第1章 行列式
　　线性代数是中学代数的继续和提高.第1章和第2章就是中学代数解一元一次(线性)方程的延伸和深化，是研讨多个变量多个线性方程组成的线性方程组的求解问题.为此要引入一些概念，作为预备知识备用.
　　1.1 数域与排列
　　本节讨论数域和排列.
　　1.1.1 数域
　　在研究某些问题时，常和所研究对象的取值范围有关.如求方程工2+1=0的根，不仅在有理数范围无解，就是在实数范围也无解，而在复数范围有解，解为.又如在整数范围内，除法不是普遍可做的，因为不一定是整数，而在有理数范围内，只要除数不为零，除法总是可做的.另一方面，这些范围不同的有理数、实数、复数有着许多共同的性质，特别有着许多共同的运算(指加法、减法、乘法和除法)性质.为了在以后讨论中能把具有这些共同运算性质的数集统一处理，我们引入一个一般的概念.
　　定义1.1.1 设P是至少有两个不同复数组成的集合，若P中任意两个数(这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍为P中的数（简称为四则运算封闭），则P就称为一个数域.
　　从定义1.1.1可推知：全体有理数的集合、全体实数的集合、全体复数的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q，R，C来表示，且有QCRCC.除Q，R，C外还有许多其他数域，有兴趣的读者可参阅文献[3]，第1页.
　　例1.1.1 记全体整数的集合为Z，则不是数域.这是因为，且，但，这表明Z对于除法不封闭.
　　今后我们常在数域P上讨论问题，对所涉及的P中的数进行四则运算，推导出结果.这样就使得该结果在数域P上成立，而数域P是泛指的，即可以是Q，R，C，或其他某个数域，从而使结果有一般性.
　　为简单计，如把下文中提及的数域当作Q，R，C来考虑，也无妨.
　　1.1.2 排列
　　定义1.1.2 由共n(n>l)个数码组成的一个有序数组，称为一个n阶排列.
　　例如，依次分别为5阶排列，12阶排列，n阶排列.在上述12阶排列中我们把数码12，11，10用括号括起来是为了区分，类似的做法在n阶排列中也采用.
　　排列是有序数组，所以组成排列数码的顺序不同就是不同的排列，例如132和213就是不同的3阶排列.不同的阶排列有多少个呢？n阶排列的一般形式可表为，其中，in为数1，2， ，72中某一个数，且互不相同，这时的下标k表示ik排在n阶排列从左到右的第k个位置上.这样按n阶排列的定义知“I可有W种选取（72个数码中任选一个），f2有72-1种选取（去掉h，余下个数码中任选一个），可有2种选取(去掉h，余下2个数码中任选一个），而只能取余下的那个数码，故n阶排列共有个.例如3阶排列共有3!=6个，它们是:123，132，213，231，312，321.
　　在n阶排列中，惟有是按数码从小到大的自然顺序组成的一个排列(称为标准排列).其余的排列或多或少会出现大的数排在小的数前面的情况，比如在5阶排列15432中，5排在4前，3排在2前.这样的排列顺序是与自然顺序相反的，为此引入概念:在排列中，如果而则称数对构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为排列的逆序数，记为.逆序数为偶数的称为偶排列，逆序数为奇数的称为奇排列.
　　下面寻求计算排列逆序数的方法.先看一个例子，排列35412构成逆序的数
　　对有
　　31，32；
　　54，51，52；
　　41，42.
　　因而35412的逆序数为
　　2(3后面比3小的数的个数）
　　+3(5后面比5小的数的个数）
　　+2(4后面比4小的数的个数）
　　+0(1后面比1小的数的个数），
　　所以35412为奇排列.
　　由此得出计算排列的逆序数的一个方法：
　　据此方法计算得
　　所以15432为偶排列.
　　注意到，故为偶排列.
　　将一个排列中某两个数码的位置互换，而其余数码不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换.例如，经过1，3两数码对换，偶排列15432就变成奇排列35412.这表明对换会改变排列的奇偶性.一般有下列定理.
　　定理1.1.1 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性.
　　证 首先证明对换排列中相邻两个数码的情况，再讨论一般情况，详细推导可参阅文献[3]，第4页.
　　习题1.1
　　1.对一组整数进行四则运算，所得结果是什么数？
　　2.写出4个数码1，2，3，4的所有4阶排列.
　　3.分别计算下列四个4阶排列的逆序数，然后指出奇排列是（）.
　　(A)4312；(B)4132；(C)1342；(D)2314.
　　4.计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性：
　　(1)314265；(2)314265789；(3)542391786；
　　(4)987654321；(5)246813579；(6)n(n-1) 21.
　　5.在由1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的下述9阶排列中，选择i与j使得
　　(1)2147i95j8为偶排列；（2)1i25j4896为奇排列；
　　(3)412i5769j为偶排列；（4)i3142j786为奇排列.
　　且均要求说明理由.
　　6.写出全体形如5**2*及2*5*3的5阶排列.总结一下，有k个位置数码给定的阶排列有多少个？
　　7.自学附录一:连加号与连乘号.
　　1.2 行列式的定义
　　由中学数学知
　　1.一元一次方程ax=6，当时，有惟一解.
　　2.二元一次方程，当不全为零时，有无穷多解.比如二元一次方程⑴的解为
　　习题1.1
　　1.2 行列式的定义
　　我们将在此基础上继续讨论，为此引进一些概念，
　　定义1.2.1 设是变量，n是一个正整数，形式表达式
　　其中均为数，称为n个变量的线性方程，线性方程中的变量也称为未知量.
　　据此线性方程是变量均为一次的方程，当和时就是我们熟悉的一元一次方程和二元一次方程.
　　定义1.2.2 线性方程的一个解是一组有序的数，当时，有线性方程解的全体所组成的集合称为解集合.
　　定义1.2.3 含n个未知量的m个线性方程组成的方程组称为线性方程组.若一组有序的数，是方程组中每一个线性方程的解，则其称为线性方程组的一个解.线性方程组解的全体称为解集合.
　　下面我们来考察由含有n个未知量，n个线性方程组成的方程组的求解问题.
　　这类方程组总是可以用消元法来求解的.消元法对具体的数字方程求解，虽然比较方便，但其解没有一个统一的公式.而解的公式的重要性只要回想中学代数一元二次方程的公式解的意义就能理解，所以我们有必要寻求含有n个未知量的n个线性方程组成的方程组的公式解.首先从n=2，n=3做起，再推广到一般.
　　当n=2时，用消元法解含有未知量的线性方程组
　　(1.2.1)
　　即以a22乘第一个方程两边，以a12乘第二个方程两边.然后两式相减，消去x2得.
　　类似消去得
　　这就是二元线性方程组(1.2.1)的解的公式，但此公式不易记忆，为了简洁地表示
　　上述结果，我们引进记号，并规定
　　(1.2.2)
　　称D为二阶行列式.横写的称为行，从上到下分别称第1行，第2行.竖写的称为列，从左到右分别称为第1列，第2列.行列式中的数，称为行列式的元素.每个元素有两个下标，第一个下标表示它所在的行，称为行指标;第二个下标表示它所在的列，称为列指标.如a12就是位于D的第1行，第2列上的元素.
　　从(1.2.2)式可知二阶行列式是两项的代数和.一项是从左上角到右下角连线(称为行列式的主对角线)上两元素的乘积，取正号.另一项是从右上角到左下角连线(称副对角线)上两元素的乘积，取负号.
　　据此定义，可计算出
　　这样当时，方程组(1.2.1)解的公式，可简洁明了地表示为
　　例1.2.1 解线性方程组
　　解计算二阶行列式
　　可同样逐次消元，消去X3，X2可得
　　(1.2.3)
　　类似可解得
　　这就是三元线性方程组(1.2.3)的解的公式，此公式更难记忆，为此引进由三行，，并规定列构成的三阶行列式，此规则可按下图来记忆，称为对角线法则.
　　实线上三个数的积取正号：
　　虚线上三个数的积取负号：
　　现将方程组(1.2.3)中常数项，依次替换D中第1列(x1的系数）、第2列(x2的系数）、第3列(x3的系数)元素所得行列式分别记为