第1章 光传输的理论基础
光是一种光频范围内的电磁波，描述光在介质中传播规律的基本理论是光的电磁理论。本书所研究的光波在各种介质波导、光纤中的传输特性、基本技术和应用，都是以光的电磁理论为基础。
作为全书内容的理论基础，本章主要介绍光的电磁理论，重点讨论波动光学和射线光学中的基本方程以及光在两种不同介质界面上的传播特性。
1.1 麦克斯韦方程和波动方程
1.1.1 麦克斯韦方程和边界条件
由光的电磁理论，光波的电场强度E和磁场强度H满足如下的麦克斯韦方程：
式中，E、H、D、B分别是电场强度、磁场强度、电位移矢量和磁感应强度，J是电流密度，ρ是电荷密度。由于我们研究的是光在光波导中的传输问题，远离光源、不存在自由电荷和传导电流，所以取J=0和ρ=0。
另外，描述介质特性对光波电磁场影响的关系是物质方程：
式中，ε、μ分别为介质的介电张量和磁导率张量。对于各向同性介质，介电张量和磁导率张量均为标量，上面两式变为
D=εE=ε0εrE （1.1-7）
B=μH=μ0μrH （1.1-8）
其中，ε0、μ0分别为真空中的介电常数和磁导率，εr、μr分别为介质的相对介电常数和相对磁导率。由亥姆霍兹关系
εr=n2 （1.1-9）
对于大多数光波导材料都是非磁性电介质，通常有
μr=1 （1.1-10）
今后，凡是涉及磁导率的地方均以μ0表示；凡是涉及线性光学范畴的问题，折射率n和相对介电常数εr要么是常数（均匀介质），要么仅是坐标的函数（非均匀介质）。
在光纤和其他光波导中，折射率n的空间分布有两种情况：一种是分区均匀分布，即同一区域的折射率为常数，不同区域的折射率不相等，一般称为阶跃折射率分布；另一种是折射率在一个区域内连续变化，即n=n（x，y，z），各个区域的变化规律不同，一般称为渐变或梯度折射率分布。不论哪种情况，在两个不同区域的界面上，电场强度和磁场强度均满足如下边界条件：
E1t=E2t（1.1-11）
H1t=H2t（1.1-12）
D1n=D2n（1.1-13）
B1n=B2n（1.1-14）
式中，角标“1”和“2”分别代表介质1和介质2，角标“t”和“n”分别代表介质界面上电场（或磁场）矢量的切向分量和法向分量。由于E与D、H与B相关，后两式与前两式并不独立，所以可以只考虑前面两式关系。该两式表明，在介质的界面上，电场强度和磁场强度的切向分量连续。
电磁场理论已经证明，在一定的边界条件和初始条件下，麦克斯韦方程组有唯一的解。由于通常不考虑场源和场源对波导的激励过程，所以在同一边界条件下光波导的电磁场解并不唯一，可能存在无穷多个独立的场分布或模式。只是在限制了光波导的结构后，才有可能只有一个模式传输。一般情况下，究竟在光波导中存在哪些模式，各模式的相对强度如何，还需要进一步由波导的激励过程来确定。
1.1.2 波动方程
麦克斯韦方程组给出了光波电场和磁场之间的时空关系。由于光波是电磁波，其光波场矢量必然满足波动方程。下面从麦克斯韦方程出发，推导出各向同性的均匀介质中，远离辐射源、不存在自由电荷和传导电流区域内的光波场矢量满足的波动方程。
将关于磁感应强度的物质方程式（1.1-8）代入式（1.1-1），并进行旋度运算，可得
利用H与D之间的关系式（1.1-2），可得
再利用矢量恒等式2A和式（1.1-7），可以得到电场强度满足的波动方程：
1.1.2 平面光波及其在介质界面上的反射和折射可以得到磁场强度满足的波动方程：
在均匀的各向同性介质中，ε=0，上面两式可简化为如下的波动方程：
波动方程对E和H的每个分量都适用，即每个分量都满足如下形式的标量波动方程：
式中，v是介质中的光速，c是真空中的光速，n是折射率。另外，作为一个光波，其电磁场能量将在空间传播，表征电磁场能量传播的能流密度由玻印亭矢量S表示，即
S=E×H （1.1-23）
需要指出的是，上述波动方程是从均匀介质中的麦克斯韦方程推导出来的，而光纤和其他光波导中的介质分布除分区均匀分布外，还有非均匀分布情形，在介质非均匀分布的情况下，ε和n都是坐标的函数。但是在一般情况下，只要ε和n的变化非常缓慢，即在一个光波长范围内，有
则上述波动方程可近似成立。对于光纤传输中的一般问题，均可由上述波动方程解决，只是在进行更精密的研究时，才采用精确形式即式（1.1-17）和式（1.1-18）进行分析。
1.2 平面光波及其在介质界面上的反射和折射
1.2.1 均匀平面光波
1. 亥姆霍兹方程
对于通常讨论的简谐光波传输，采用复数形式表示电磁场更为方便，即令
E（r，t）=Re[E（r）e-iωt] （1.2-1）
H（r，t）=Re[H（r）e-iωt]（1.2-2）
式中，Re[]表示对复数场取实部。此时，麦克斯韦方程变为复数形式
▽×E（r）=iωμ0H（r）（1.2-3）
▽×H（r）=-iωεE（r）（1.2-4）
对于我们*关心的平面光波情况，其复数电磁场的一般表示式为
E=E（r）e-i（ωt-k r） （1.2-5）
H=H（r）e-i（ωt-k r） （1.2-6）
式中，k为平面光波的波矢，其大小为波数k，且有
λ式中，λ为介质中的波长，ω为光波圆频率，n为介质折射率，k0为平面波在真空中的波数，r⊥为垂直于k波矢方向的平面坐标。相应的波动方程式（1.1-19）和式（1.1-20）变为
▽2E（r）+k2E（r）=0（1.2-8）
▽2H（r）+k2H（r）=0（1.2-9）
这两个方程称为矢量亥姆霍兹方程。在直角坐标系中，电场、磁场的x、y、z分量均满足标量亥姆霍兹方程
▽2ψ（x，y，z）+k2ψ（x，y，z）=0（1.2-10）
在圆柱坐标系里，只有纵向电磁场分量Ez和Hz满足上述形式的标量亥姆霍兹方程，其横向电磁场分量不满足此式形式。
2. 均匀平面光波
均匀平面光波是*简单的一种光波，并且是研究一般光波的基础。单色平面光波的电磁场表示式为
E=E0e-i（ωt-k r） （1.2-11）
H=H0e-i（ωt-k r） （1.2-12）
式中，复振幅E0、H0是常矢量。均匀平面光波的波阵面为无穷大平面，在同一波阵面上电场强度E和磁场强度H的大小为常数，且两者同相。
假设平面光波沿+z方向传播，传播常数为β，传播因子表示为eiβz，电场矢量平行于xOy平面，则由波动方程式（1.2-8）可得
-β2E+k2E=0 （1.2-13）
从而得到
β=k（1.2-14）
因此，平面光波的相速度（等相位面传播的速度）沿着+z方向，其大小为
进一步，将平面光波的光场表达式式（1.2-11）和式（1.2-12）代入麦克斯韦方程式（1.2-3）和式（1.2-4），并利用矢量恒等式
即在各向同性的均匀介质中，平面光波为横电磁波，光场的方向结构如图1.2-1（a）所示：E0、H0、k三者相互正交，E0×H0与k平行；又根据玻印亭矢量的定义，S在E0×H0方向
图1.2-1 E、D、H、B的关系
由式（1.1-23），可以得到时间平均玻印亭矢量为
S=1/2Re[E×H]（1.2-19）
对于均匀、各向异性介质，k与E0、H0的关系分别为
k×E0=ωμ0H0=ωB0（1.2-20）
k×H0= ωε E0=-ωD0（1.2-21）
即D0、H0、k三者相互正交；又因在一般情况下，根据式（1.1-5），D和E方向不同，所以k与S方向不同。E、D、H、B、S与k的方向关系如图1.2-1（b）所示。
1.2.2 平面光波在介质界面上的反射和折射
1.反射定律与折射定律
如图1.2-2所示，入射光波、反射光波及折射光波分别以下标i、r、t表示，入射光的波矢ki与介质界面交于坐标原点，n为介质2指向介质1的界面法线单位矢量。若入射光波、反射光波和折射光波都是平面光波，其电场可分别表示为
Ei=Ei0e-i（ωt-ki r） （1.2-22）
图1.2-2均匀平面波在界面的反、折射
Hi、Hr和Ht有类似的表示式。在两种不同介质的界面上，电场、磁场应满足边界条件：E1t=E2t和H1t=H2t，即
n×（Ei+Er）=n×Et （1.2-25）
n×（Hi+Hr）=n×Ht（1.2-26）
将式（1.2-22）～式（1.2-24）代入式（1.2-25）和式（1.2-26），相位和振幅因子分别满足
kir=krr=ktr（1.2-27）
和
n×（Ei0+Er0）=n×Et0（1.2-28）
n×（Hi0+Hr0）=n×Ht0（1.2-29）
由于r在界面上，有rn=0，所以关系式（1.2-27）意味着k在界面上的切向分量相等，即
ki×n=kr×n=kt×n（1.2-30）
这说明，ki、kr、kt与n共面。又根据图1.2-2的关系，式（1.2-27）可表示为
nisinθi=nrsinθr（1.2-31）
nisinθi=ntsinθt（1.2-32）
这两个关系式就是介质界面上的反射定律和折射定律（又称为Snell定律），它们给出了入射光波、反射光波和折射光波三者传播方向之间的关系。
进一步，若二介质均为各向同性介质，则
θi=θr（1.2-33）
n1sinθi=n2sinθt（1.2-34）
此即各向同性介质中的反射定律和折射定律。
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