第一部分 基本内容
第一章 量子力学的物理基础
§1.1 最初的实验基础
19世纪末到20世纪30年代出现了一些著名的实验．这些实验或是奠定了量子力学的基本观念，触发了从经典物理学向量子物理学的跃变，或是为这种跃变提供了最初的实验确认．由于前面课程中常有介绍，这里只简单地提一下．
1．第一组实验——光的粒子性实验
黑体辐射、光电效应、Compton散射．它们给出了能量分立化、辐射场量子化的概念，从实验上揭示了光的粒子性质．〔黑体辐射谱〕．19世纪末，黑体辐射的能量谱已被实验物理学家很好地测定了，但按照经典物理学的观念，难以全面理解这些结果．
Wien公式（1894—1896）．Wien依据热力学一般分析并结合实验数据，得出黑体辐射谱的经验公式—— Wien公式．设腔内黑体辐射场与温度为 T的腔壁物质处于热平衡状态，记辐射场单位体积、→+d 间隔的能量密度为，Wien经验公式为
（1.1）
其中， c1、 c2是两个常系数；β=1/(kT)．公式在高频短波长区间与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大．
Rayleigh-Jeans公式（1900，Rayleigh；1905，Jeans）．另一方面， Rayleigh和 Jeans将腔中黑体辐射场看作大量电磁波驻波振子的集合，求得驻波振子自由度数目，接着按 Maxwell-Boltzmann（M-B）分布，用能量连续分布的经典观念，导出黑体辐射谱的另一个表达式—— Rayleigh-Jeans公式．
推导 首先，记腔内黑体辐射场的单位体积中频率在ν附近 dν间隔内驻波振子数（自由度数）为 Nνdν．用区间(0， L)驻波的周期边条件，可以求得驻波振子分立的波矢，以及波矢变化的最小间隔
考虑到横波有两个极化状态，辐射场单位体积中波数在内自由度数目为2dd3k
（1.2a）
这里．由于计算对单位体积进行已令 L =1．等式的量纲是体积倒数．其次，令频率ν驻波振子的平均能量为，由 M-B分布律，按经典的能量连续变化观念，有
（1.2b）
注意εν与频率无关．最后，将两者相乘即得 Rayleigh-Jeans公式
（1.2c）
（1.2c）式与 Wien公式正好相反，在低频部分与实验曲线符合很好，但对高频区段不但不符合，而且出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无穷的荒谬结果．这就是当年著名的“紫外灾难”，是经典物理学最早显露的困难之一．
Planck公式．1900年 Planck引入一个崭新的概念——“能量子”概念计算平均能量εν①．他假设腔中振子的振动能量（不像经典理论主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是）和振子频率ν成正比，并且只能取分立值
这里正比系数 h经后来测定为，就是人们称为的 Planck常量．于是，当腔中辐射场和腔壁物质处于热平衡状态时，它们之间交换的能量只能是这样一份份的．由此，按 M-B分布律，与上述分立能量相对应的比例系数为
将每个系数都除以总和，转变成权重比例．于是，频率ν驻波振子的平均能量等于
将以自由度数目就得到著名的关于黑体辐射能量密度的 Planck公式
（1.3）
容易看出，（1.3）式符合已知的全部实验数据：它在高频和低频波段分别概括了 Wien公式和 Rayleigh-Jeans公式，并且体现了关于辐射谱峰值位置的 Wien位移定律．这表明，腔内电磁场与腔壁物质相互作用时，所交换的各种频率的能量全是断续的、一份一份的，也就是量子化的．伴随（1.3）式出现，诞生了量子时代．这里预先指出，将来3.1.3节和11.5.4节还会一再涉及 Planck公式（1.3），逐步加深对它的理解．
〔光电效应〕．自1887年 Hertz起，到1916年 Millikan止，光电效应的实验规律被逐步地揭示出来．其中，无法为经典物理学所理解的实验事实有：反向遏止电压它和逸出电子的最大动能成正比）和入射光强无关；反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；电子逸出相对于光照射几乎无时间延迟．这三点难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场强迫金属表面电子振动．入射光强度越大，强迫振动的振幅也越大，逸出电子的动能也应当越大．于是，反向遏止电压应当与入射光强度呈线性关系，而且还应当与入射光频率无关．此外，由于电子运动区域的横断面积很小，接收到的光能很有限，自光照射时起，电子从受迫振动中聚积到能够逸出金属表面的动能需要一段时间．然而，实验表明这个弛豫时间很短，不大于10.9s ．为了解决这些矛盾，1905年，Einstein在能量子概念基础上，大胆地再前进一步，提出“光量子”概念①，指出光电效应是光量子和电子碰撞并被电子吸收，从而导致电子逸出．相应的方程是
（1.4）
这里Φ0是实验所用金属的脱出功．对于 Cs为1.9eV，Pt为6.3eV等．方程右边用的
是逸出电子的最大速度，那是因为有些电子在从金属表面逸出（以及在空气传播）过程中，可能遭受碰撞而损失部分动能．这样一来，不仅光场能量是量子化的，而且光场本身就是量子化的，仿佛是一团“光子气”．光电效应显示，照射在金属表面的波场像是一束微粒子的集合．沿着这一思路前进，甚至可以引入光子的“有效”质量m，即
于是，当光子在重力场中垂直向上飞行 H距离后，其频率将会从原来的ν0减小为
从而
这说明垂直向上飞行的光子，其频率会产生红移①．1960年，这个预言为 R. V. Pound和 G. A. Rebka Jr.在哈佛大学校园水塔上的实验所证实． Einstein的光电方程被 Millikan用10年时间的实验所证实．
〔Compton散射〕．稍后的1923年发现了 Compton效应，用实验直接证实了光量子的存在．这个效应表明，散射光的能量角分布完全符合通常微粒子碰撞所遵从的能量守恒定律和动量守恒定律．如图1-1所示，设初始电子静止，于是有
（1.5）
图1-1
将矢量方程右边 hν′项移到左边，平方之后利用第一个方程以及得到
（1.6a）
引入记号，称为电子 Compton波长．（1.6a）式改写为
（1.6b）
这个公式已为实验所证实．可是，这里推导中使用了光的粒子性以及散射光频率会减小等概念，这些都是光的经典电磁波理论所无法理解的（经典观念认为，电子在受迫振动下所发射的次波——散射光，其频率和入射光频率相同）．
总之，这一组实验揭示了：作为波动场的光其实也有粒子性质的一面．
2．第二组实验——粒子的波动性实验
电子Young（杨氏）双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验以及中子在晶体上的衍射实验．它们表明：原先认为是粒子的这些微观客体，其实也具有波动的性质，有时会呈现出只有波才具有的干涉、衍射现象，从实验上揭示了微观粒子的波动性质．
〔Young双缝实验〕．Feynman说：电子 Young双缝实验是量子力学的心脏．说明这个实验在表征微观粒子内禀性质、决定量子力学理论品格上处于基础地位．
1961年 J.nssen用电子束做了单缝、双缝衍射实验①．由于电子波长很短，这种实验中缝宽和缝距都要十分狭小，加之低能电子容易被缝屏物质散射衰减，就当时实验技术而言，实验是很难做的． J.nssen在铜膜上刻了五条缝宽为0.3μm、缝长50μm、缝距1μm的狭缝，分别用单、双、三、四、五条缝做了衍射实验．实验中电子的加速电压为50keV，接收屏距离缝屏35cm．下面对双缝实验作一些概念性分析（如图1-2）②．
图1-2
实验事实是，这时在接收屏 x处探测到电子的概率 P()x并不简单地等于两缝各自单独开启时的概率之和，而是存在两缝相互影响的干涉项
于是
（1.7）
这个干涉项这个干涉项可正可负，随 x迅速变化，从而使 P()x呈现明暗相间的干涉条纹．如果通过缝屏的是光波、声波，出现这种干涉项是很自然的．因为在 x处总波幅是由缝1、缝同时传播过来的波幅之和传到 x点处的两个波幅叠加，造成了干涉现象．但现在是电子，从经典粒子的观念来理解，这个干涉项的存在令人十分困惑！每当人们在实验中探测到电子的时候，它们总是有一定的能量、一定的电荷、一个静止质量，特别是，有一个局域的位置！正是这些物理特征给人们以电子是“粒子”的形象，是一个一个局域性的“物质坨坨”．拿这些观念和实验事实去理解电子 Young双缝实验中的干涉现象，觉得怎么都协调不起来．如果电子是以粒子的“身份”通过狭缝，不论通过的是哪条缝，只能穿过其中一条，这时另一条缝存在与否对这个电子穿过行为并不产生影响．就是说，两条缝的作用就应当是相互独立、互不干扰的，干涉项并不存在，其结果是两条单缝衍射强度相加．实在是无法设想，一个局域性的“物质坨坨”能够同时从两条缝通过！再说，人们也从未探测到（如设想将探测器装在每条缝上）“部分电子”！至此，事情的复杂性还没完．因为，可以设想如下实验（判断路径—— which way实验的一种）①：紧靠一条单缝后面放置一个照明光源，假定光源足够强，可以理想地假定光子和电子散射效率接近百分之百，于是穿过该缝的电子必定同时伴随有散射光子．探测有无散射光产生，原则上可以判断该电子是从哪条缝过来的．结果很意外：每个电子都只穿过一条缝，从未观察到某个电子从两条缝同时穿过的情况，正如同从未观察到半个电子一样！再进一步，也许人们认为：“一束电子集体运动形成波束，这个波束同时‘漫过’双缝，制造了干涉花样．”这其实是在主张：电子波动性只是电子集体性行为，不承认单个电子有内禀的波动性质！可是，这种主张无法解释下面事实：可以极大地减弱双缝实验中入射电子束强度，使得每次只有一个电子通过双缝实验装置．显然，由于电子源热发射的随机性质，依次穿过双缝装置的各个电子，它们行为彼此应当无关．但实验结果是，只要实验时间足够长，接收屏上电子密度分布的累计结果，干涉花样依然不变！总之，对这个实验的解释似乎陷入了两难境地！
那么，电子到底是怎样穿过缝屏上这两条缝的呢？这是一个物理问题，不是一个哲学和神学问题，是可以问，也应当问，是应当回答，也可以回答的问题！
总结上面分析可以知道，如果认为电子是经典“粒子”，就不能同时穿过两条缝，不会产生干涉项；若认为电子具有内禀的波动性，像某种经典“波”，就能同时
展开
