第1章行列式
行列式(determinant)是一个基本的数学概念和数学工具，应用领域十分广泛.在线性代数中，行列式对很多核心对象和问题都有关键作用.本章介绍行列式的定义，讨论其基本性质和计算.作为应用，给出求解一类特殊线性方程组的Cramer(克拉默)法则.
1.1行列式的定义
行列式的定义方法有多种，本书采用递归的方法.
1.1.12阶和3阶行列式的定义
1.2阶行列式的定义
行列式起源于线性方程组的求解，*早是一种速记的表达式.以含有2个未知元x1，x2的线性方程组
(1.1)
为例，时，它的唯一解为
(1.2)
虽然(1.2)并不十分复杂，但要快速准确记忆并不容易.观察到(1.2)中分式的分子和分母都是4个数字两两乘积的代数和，为了找到速记规律，以其中的分母为例，人们把a11，a12，a21，a22这4个数字按照它们在(1.1)中出现的位置写出，两边加上竖线，形成下述既简洁又有规律的表达式:
(1.3)
并以此来表示(1.2)分母中的代数式a11a22.a12a21，即定义
(1.4)
在(1.4)中分别用b1，b2代替a11，a21，以及a12，a22，可得
这样，(1.2)就可以表示成为下述容易记忆的形式:
缘于此，结合书写形状，我们给出如下定义.
定义1.1任给4=22个实数，则按照(1.4)赋予数值的表达式称为一个2阶行列式，其中称为行列式的元素，的**个下标指明它在行列式中所处的行的第二个下标j指明它在行列式中所处的列，阶一词用来指示该表达式的行数和列数均为2.
为叙述方便，以aij为元素的行列式也常记为|aij|，或det(aij).当不必指明元素时，2阶行列式也常用记号D2表示.
速记只是行列式的一个来源，后续发展表明，行列式在很多理论和应用问题中都有关键作用.
2.2阶行列式的对角线法则
通常，人们把2阶行列式
中连接a11和a22的对角线称为主对角线，把连接a12和a21的对角线称为副对角线.这样，一个2阶行列式就等于其主对角线上两个元素的乘积减去其副对角线上两个元素的乘积.这种计算2阶行列式的方法称为2阶行列式计算的对角线法则
例如，在2阶行列式中，该行列式的值为
3.3阶行列式的定义和对角线法则
沿用2阶行列式对角线法则的思路，在由9=32个数aij(i，j=1，2，3)所
组成的表达式
(1.5)
中，我们把连接a11，a22，a33的对角线称为主对角线.主对角线上的三个元素a11，a22，a33形成一个乘积a11a22a33.在主对角线两侧且与主对角线平行，各有两条经过相关元素的直线.把位于一侧直线上的两个元素与另一侧直线上的一个元素乘，形成两个乘积:a12a23a31，a13a21a32.类似地，我们把连接a13，a22，a31的对角线称为副对角线.副对角线上的三个元素a13，a22，a31形成一个乘积a13a22a31.
在副对角线两侧且与副对角线平行，各有两条经过相关元素的直线.把位于一侧直线上的两个元素与另一侧直线上的一个元素相乘，也形成两个乘积:.
对于表达式(1.5)，用主对角线及其平行线上元素所形成的三个乘积之和，减去副对角线及其平行线上元素所形成的三个乘积之和，得到一个数值:
该数值很自然理解为表达式(1.5)的值，即有如下定义.
定义1.2任给个数，3阶行列式
(1.6)
与2阶行列式类似，以为元素的3阶行列式也常记为或.
根据上下文，一般不难辨别或det(aij)所表示的行列式的阶数.
上述定义3阶行列式的方法称为3阶行列式的对角线法则.
例如，按照定义，3阶行列式
按照2阶和3阶行列式的定义思路回溯，通常，人们把由1个数a组成的1阶行列式理解为数a本身，即1阶行列式定义为
(1.7)
这里，要注意区分1阶行列式与实数a的绝对值|a|的区别.根据上下文，这一般不难辨别.
1.1.2n阶行列式的定义
1.2阶和3阶行列式定义规律的探讨观察2阶行列式在其中划去a11所在的行和列，剩下的a22可以看作是由a22所形成的一个1阶行列式|a22|.基于这种理解，我们把它称为a11的余子式，通常用与a11具有同样下标的记号M11表示，即定义
类似地，划去a12所在的行和列，剩下的是由a21所形成的1阶行列式|a21|，它称为a12的余子式，记为M12，即定义
进一步，利用余子式M11，M12的双下标，可以给出如下定义:
它们分别称为a11，a12的代数余子式.容易看出，.故由2阶行列式的定义可知.
该式说明，2阶行列式等于它的**行元素与其代数余子式的对应乘积之和.
在其中分别划去a11，a12，a13所在的行和列，剩下元素按照原来位置将依次形成
下面三个2阶行列式:
它们分别称为a11，a12，a13的余子式.利用余子式M11，M12，M13的双下标，记
它们分别称为a11，a12，a13的代数余子式.由此，以及2阶和3阶行列式的定义，经过简单计算可得.
该式说明，3阶行列式也等于它的**行元素与其代数余子式的对应乘积之和.
综合2阶和3阶行列式的定义规律可以发现，通过代数余子式，3阶行列式可以利用一些2阶行列式作为基础来定义，2阶行列式可以利用一些1阶行列式作为基础来定义.沿用这种逐步“降阶”的思想，下面利用代数余子式，通过递归的办法给出一般n阶行列式的定义.
2.n阶行列式的递归定义
*先，来定义由n2个实数形成的n阶行列式
(1.8)
的余子式和代数余子式，其中n.2是任意给定的一个正整数.
定义1.3设n.2.在n阶行列式中划去aij所在的第i行和第j列，余下的(n.1)2个元素按照原来位置关系所形成的n.1阶行列式称为的余子式，记为.用乘以余子式得到的式子，记为，即
例如，对4阶行列式，其第1行元素的余子式分别是3
阶行列式

目录
致读者
前言
**版前言
各章之间逻辑关系图
第1章 行列式 1
1.1 行列式的定义 1
1.1.1 2 阶和 3 阶行列式的定义 1
1.1.2 n阶行列式的定义 4
1.2 行列式的性质和计算 11
1.2.1 行列式的性质 11
1.2.2 n阶行列式的Laplace展开定理 14
1.2.3 行列式的计算 17
1.3 Cramer法则 26
1.4 思考与拓展 31
1.4.1 平面解析几何中行列式的意义和应用 31
1.4.2 空间解析几何中行列式的意义和应用 32
1.4.3 n阶行列式Dn=det(aij)=|aij|的直接定义 33
1.4.4 行列式发展简述 33
复习题1 34
第2章 矩阵 38
2.1 矩阵的基本概念 38
2.1.1 几个实例 38
2.1.2 矩阵的基本概念 39
2.1.3 一些特殊类型的重要矩阵 41
2.2 矩阵的代数运算 44
2.2.1 矩阵的线性运算 44
2.2.2 矩阵的乘法 46
2.2.3 矩阵乘法的运算规律 50
2.2.4 方阵的幂 56
2.2.5 矩阵的转置 60
2.2.6 应用举例 61
2.3 矩阵的逆 65
2.3.1 逆矩阵的概念 65
2.3.2 伴随矩阵 67
2.3.3 逆矩阵的基本性质 71
2.3.4 矩阵方程 75
2.4 初等变换与初等矩阵 81
2.4.1 初等变换 81
2.4.2 初等矩阵 87
2.4.3 矩阵可逆的初等变换判别法及逆矩阵的初等变换求法 90
2.5 矩阵的秩 94
2.5.1 矩阵秩的概念 94
2.5.2 矩阵秩的性质和计算 96
2.6 分块矩阵 99
2.6.1 矩阵的分块 99
2.6.2 分块矩阵的运算 101
2.6.3 分块矩阵的初等变换 104
2.7 思考与拓展 111
2.7.1 n阶方阵A可逆的等价表述 111
2.7.2 转置矩阵、可逆矩阵、伴随矩阵常见性质的比较 112
2.7.3 矩阵发展简述 112
复习题2.113
第3章 线性空间初步 117
3.1 线性空间的概念 117
3.1.1 Euclid线性空间Rn 117
3.1.2 m×n矩阵线性空间Rm×n 118
3.1.3 线性空间的定义 119
3.2 子空间 122
3.2.1 线性空间的子空间 122
3.2.2 线性组合、线性表示和张成空间 124
3.3 向量的线性相关和线性无关 127
3.3.1 向量线性相关和线性无关的概念 127
3.3.2 向量组线性相关性的判定 130
3.4 向量组的秩 138
3.4.1 极大线性无关组 138
3.4.2 向量组的等价 140
3.4.3 向量组秩的概念 141
3.4.4 向量组的秩和极大线性无关组的求法 143
3.5 线性空间的基和维数149
3.5.1 线性空间的基 149
3.5.2 线性空间的维数 152
3.5.3 有序集和向量的坐标 156
3.6 线性空间的基变换和坐标变换.158
3.6.1 基变换 158
3.6.2 坐标变换 161
3.7 思考与拓展 166
复习题3 168
第4章 线性方程组.172
4.1 基本概念和术语 172
4.1.1 线性方程组的表示 172
4.1.2 线性方程组的解与可解性 174
4.2 齐次线性方程组解的结构与求解 177
4.2.1 齐次线性方程组解的结构 177
4.2.2 齐次线性方程组的求解 178
4.2.3 基础解系的初等变换求法 188
4.3 非齐次线性方程组解的结构与求解 190
4.3.1 非齐次线性方程组的可解性 190
4.3.2 非齐次线性方程组解的结构 192
4.3.3 非齐次线性方程组的求解 193
4.4 思考与拓展 202
4.4.1 关于线性方程组可解性的主要结果 202
4.4.2 关于线性方程组可解性的几何意义 202
4.4.3 关于线性方程组反问题的概念 204
4.4.4 线性方程组发展简述 204
复习题4.204
第5章 矩阵的特征值、特征向量与对角化 207
5.1 矩阵的特征值与特征向量 207
5.1.1 问题的提出 207
5.1.2 特征值与特征向量的概念 208
5.1.3 特征多项式、特征方程及特征值和特征向量的计算 209
5.1.4 特征子空间 213
5.1.5 特征值与特征向量的性质 216
5.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化 223
5.2.1 相似矩阵 223
5.2.2 矩阵的相似对角化 225
5.3 内积空间与正交矩阵235
5.3.1 内积空间 235
5.3.2 正交向量组和正交矩阵 237
5.4 实对称矩阵 242
5.4.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 242
5.4.2 实对称矩阵的相似对角化 243
5.5 应用举例 250
5.6 思考与拓展 254
5.6.1 关于特征值和特征向量的几个概念性问题 254
5.6.2 关于相似对角化的几个基本问题 254
复习题5 255
第6章 二次型 260
6.1 二次型的概念 260
6.1.1 二次型的定义 260
6.1.2 标准形 263
6.2 化二次型为标准形 266
6.2.1 配方法 266
6.2.2 正交变换法和主轴定理 270
6.3 惯性定理与正定二次型 274
6.3.1 惯性定理 274
6.3.2 正定二次型 278
6.4 双线性函数简介284
6.4.1 线性函数 284
6.4.2 双线性函数 284
6.5 思考与拓展 286
6.5.1 关于二次型f(x)在可逆线性变换下的不变量问题 286
6.5.2 关于矩阵等价、相似、合同的关系问题 286
6.5.3 二次型在二次*线化简和分类中的应用.286
6.5.4 二次型在二次*面化简和分类中的应用.287
6.5.5 二次型发展简述 287
复习题6 288
第7章 数值计算初步 291
7.1 矩阵级数 291
7.1.1 矩阵级数的定义 291
7.1.2 关于矩阵序列的几个定理 292
7.2 求解线性方程组的迭代法 296
7.2.1 基本思路 296
7.2.2 迭代公式 298
7.2.3 收敛条件 299
7.3 矩阵特征值和特征向量的近似算法 300
7.3.1 和法 300
7.3.2 幂法 301
7.4 思考与拓展 305
第8章 应用举例 309
8.1 投入产出模型简介 309
8.1.1 投入产出模型的概念 309
8.1.2 平衡方程组 310
8.1.3 消耗系数 311
8.1.4 平衡方程组的解 312
8.2 线性规划模型简介 316
8.2.1 线性规划模型 316
8.2.2 单纯形法介绍 319
8.3 层次分析模型简介 325
8.3.1 层次分析法的概念和思想 325
8.3.2 层次分析模型及决策实例 326
第9章 MATLAB实验 335
参考文献 342