第1章数学建模概述
随着科学技术对所研究客观对象的日益精确化、定量化和数学化，以及电子计算机技术的普及和相应数学软件的开发使用，“数学模型”已成为处理科技领域中各种实际问题的重要工具，并在自然科学、工程技术与社会科学的各个领域中得到了广泛的应用，诸如经济、管理、工农业领域等，甚至是社会学领域.而“数学模型”应用的过程就形成了“数学建模那么，什么是数学模型？什么是数学建模？如何建立数学模型解决实际问题？这是现代科技工作者普遍感兴趣的问题.
1.1数学模型与数学建模
从初等数学到高等数学，从近代数学到现代数学，数学早已发展成为一门自然科学学科，拥有基础数学、应用数学、概率论与数理统计、计算数学、运筹学与控制论等五个专业方向，同时拥有二十多个主要分支，尤其是现代数学中的许多理论分支给人以抽象的印象，似乎数学研究得越深入，离现实生活及实际工作就越遥远.但是，近半个世纪以来，数学的形象发生了重大的变化，数学已不仅仅是数学家、物理学家的专利，除了传统的物理学、天文学、力学等学科与数学密不可分外，在工程技术、社会生活、信息技术等诸多领域，数学也发挥着越来越重要的作用，各种途径表明数学正逐步应用于各个领域.
在数学应用于各个领域的过程中，数学已经由一门自然科学学科发展成为一门数学技术，在控制科学、信息科学、计算机科学、管理科学等学科中，数学技术的应用必不可少.同时，一些新的数学分支不断涌现，比如，生物数学、经济数学、金融数学、数理医药学等，又促使数学的应用更深入和广泛.
纵观数学在各个领域的应用过程，我们不难发现数学的应用主要在于应用数学的思维、方法和结果去解决相关领域中的实际问题，而数学的应用过程就是构建数学模型并通过求解数学模型解决实际问题，也就是数学建模的过程，在这一过程中提出了新思想、新知识、新规律，创造了新理论、新方法、新成果.
1.1.1数学模型
19世纪，恩格斯对数学给予了一个概括，他说：“数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学虽然数学的发展早已超出了“数量关系”，但是，应用数学知识解决实际问题主要就是研究实际问题中的“数量关系”，这种“数量关系”即“数学模型例如，牛顿第二定律描述了力的瞬时作用规律，揭示了物体在合力的作用下的运动加速度a与物体质量m及所受合力F之间的数量关系，用公式（或模型）表示为F=ma，即物体的加速度a跟物体所受的合力F成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同.可见，数学模型就是实际问题的一种抽象模拟，它用数学符号、数学公式等描述现实对象中的数量关系.这一数量关系的给出需要明确所研究的某个特定对象和研究的目的，抓住对象的内在规律，并做出一些必要的简化假设，再运用数学手段进行描述.也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，用数学语言对实际对象的一个近似刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的特定对象.
数学模型在我们身边随处可见，比如，物理学中牛顿第二定律、万有引力定律、能量守恒定律等都是数学模型，日常生活中“椅子如何放稳”“交叉路口信号灯如何设置”等现实问题中也包含着数学模型，医疗卫生领域中“如何预防和控制传染病的蔓延”以及社会经济领域中“如何稳定市场经济的秩序”等问题的解决更需要发挥数学模型的作用.那么，在各类实际问题中的数学模型是如何建立起来的？数学模型又怎样在解决实际问题中发挥作用？对此，“数学建模”将给出完美的回答.
1.1.2数学建模及其方法与步骤
什么是数学建模？简单地说，数学建模就是应用数学的方法解决实际问题的全过程.这一全过程往往包括：对实际问题进行了解、分析和判断，选择解决实际问题所需的数学方法，将问题及其目的用数学的语言进行描述，运用数学方法或理论建立数学模型，求解数学模型或进行相应的模型计算，用实际问题中的数据或现象验证求解的模型结果，应用模型结果给出实际问题的解决方案.
在很多实际问题中各个量之间的关系非常复杂，很难用简单的数量关系将它们联系起来，有时即使找到了数量关系又会由于其太复杂而不能用现有的数学方法进行处理，或者量与量之间没有明显的数量关系，不能用现有的数学理论、数学公式去套用.因此，数学在其他领域中的成功应用不仅需要掌握大量的数学知识，还需要对实际问题有充分的了解，并能从众多的事物和复杂的现象中找到共同的本质的东西，然后通过大量的定性和定量分析，去寻找并发现量与量之间的数量关系，再利用数学的理论与方法加以描述，并最后应用于解决实际问题.
那么，数学建模有哪些方法可以遵循？数学建模面临的问题是多种多样的，不同问题中所给出的已知信息也是各不相同，有的是一组实测数据或模拟数据，有的是对问题的定性描述，不同的信息将用不同的方法去处理，从而得到不同的模型.即使面对相同的已知信息，由于建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所以得到的数学模型也会不同.尽管如此，人们在解决实际问题的数
1.1数学模型与数学建模
学建模实践中已经总结出了一些基本的方法可以遵循.大体上，数学建模的基本方法有两类.
（1）机理分析方法.根据对客观事物特性的认识，分析其因果关系，通过推理分析找出反映事物内部机理的数量规律，这种建立数学模型的方法称为机理分析方法.用机理分析方法建立的模型常常有明确的物理或现实意义，如在牛顿第二定律建立过程中采用的是机理分析方法.
（2）测试分析方法.由于对客观事物的特性不能准确认识，看不清其内部的因果关系，而只能通过实际观测获得一定的外部观测数据，通过对观测数据的分析和处理，按照一定的准则在某一类模型中找出与观测数据吻合得最好的模型，这种建立数学模型的方法称为测试分析方法.用测试分析方法建立的模型一般并没有明确的物理意义，如在“天气预报模型”建立过程中采用的是测试分析方法.
在这两类建模方法中又可根据所应用的数学方法的不同而分为许多具体的方法，例如，在机理分析方法中有比例方法、优化方法、微分方程方法、差分方程方法、数学规划方法等，在测试分析方法中有回归分析方法、统计分类方法、随机预测方法等.实际上，在解决实际问题中往往是两类数学建模方法的综合运用，即先用机理分析方法确定数学模型的结构，再用测试分析方法给出模型中的参数，如“人口预测模型”的给出就需要将微分方程方法与数据拟合方法相结合.
建立数学模型解决实际问题有哪些步骤可以遵循？人们在数学建模实践过程中总结出了数学建模的基本步骤.
（1）问题分析.了解实际问题的背景（属于哪一个领域），明确数学建模的目的（解决什么问题），收集数学建模的必要信息（相关数据和参考资料），分析研究对象的主要特征（内在机理或外部观测数据），从而对实际问题有一个比较全面而清晰的了解.
（2）模型假设.根据所研究对象的特征及建模目的，抓住问题中的主要因素，并对问题做出合理的简化的假设，假设既要基本符合实际情况又要适当简化，以使问题能够用数学的语言进行描述.能否做出合理的简化的假设，取决于对问题的了解是否准确、深入，取决于是否具有直观的判断力、丰富的想象力，以及是否具有足够的相关知识准备.
（3）模型建立.根据所做假设，用数学的语言、符号描述出研究对象的内在规律，并建立包含常量、变量等的数学模型，模型可以是代数方程、微分或差分方程等，可以是优化模型、数学规划模型或随机相关模型等，也可以是设计一个算法或构建一幅图形等.建立数学模型的基本原则是要尽量用简单的、贴切的数学工具。
（4）模型求解.采用适当的求解方法对所建立的数学模型进行求解，模型结果可能是代数方程的根、微分或差分方程的解、函数的极值点，也可能是编写的算法程序或绘制的有关图形等.此时可以运用各种计算工具，特别是相关数学软件和计算机技术.
（5）模型分析.对求解的模型结果进行理论或数值方面的分析，例如，对模型结果的误差分析丨误差是否在允许的范围内）、统计分析（结果是否符合特定的统计规律），对模型参数的灵敏度分析（模型的结果是否会因参数的微小改变而发生大的变化），对模型假设的稳定性分析（模型的结果是否对某一假设非常依赖），还有对设计算法的收敛性分析和复杂性分析等.
（6）模型检验.在实际问题之中，将求解的模型结果和分析结果进行解释、与客观现象或实际数据进行比较，以检验模型结果是否与实际相吻合.如果吻合较好，则模型及其结果可以应用于解决实际问题；如果吻合不好，则需对模型进行修正或对求解重新审视.此时，问题常常出现在模型假设上，所以应对模型假设进行修正或补充，然后重新进行建模、求解和检验.
（7）模型应用.当模型经过检验已成为一个具有合理性和实用性的模型后，即可以应用其给出实际问题的解决方案，并也可以尝试将其应用于解决其他具有相同或相近特点的实际问题.
数学模型的建立过程告诉我们，数学模型是对客观对象归纳抽象的产物，数学建模的过程就是“实践一理论一实践”的往复过程.因此，数学建模需要熟练的数学技巧、丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量学习、思考别人所做的模型，尤其需要自己动手、亲身体验去利用数学建模解决实际问题.
数学建模的方法多种多样，数学模型也千差万别，可以从很多不同的角度对数学模型予以划分，以方便大家学习和使用.例如，①按模型的应用领域划分，有人口模型、传染病模型、存It模型、捕捞模型、红绿灯模型、运输模型、生产计划模型等;②按模型的建立方法划分，有比例模型、代数模型、分析模型、优化模型、微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、数学规划模型、回归分析模型、时间序列模型、层次分析模型、模糊评价模型、灰色预测模型、神经网络模型等；③按模型的变量特点划分，有随机型模型和确定型模型、连续型模型和离散型模型、线性模型和非线性模型、静态模型和动态模型等;④按建模目的划分，有描述模型、预测模型、分类模型、评价模型、优化模型、决策模型等.
为了学习和使用方便，数学建模教材中通常按照数学模型的建立方法或应用领域进行划分，并遵循由浅入深、从简单到复杂的原则.
1.2数学建模示例
本节介绍几个简单的数学建模例子，通过这些例子，使大家对数学建模解决实际问题有一个初步的了解.
1.2数学建模示例
1.2.1商人安全过河
问题三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划行.随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货.但是如何乘船渡河的决策权掌握在商人手中.商人们怎样才能安全渡河呢？
问题分析这是一个智力游戏问题，从数学建模的角度可以归结为多步决策问题.如果把商人和随从目前所在位置称为“此岸”、把河的对岸称为“彼岸”，那么，这个多步决策问题就是要确定：商人和随从通过有限次“由此岸驶向彼岸”及“由彼岸返回此岸”的转移过程.在这个转移过程中，每一步决策都要给出船上人员的合理安排丨商人人数、随从人数）情况，并在保证商人安全（每一步决策下两岸的随从人数都不比商人多）的前提下使商人和随从过河（在有限步内使全部人员到达彼岸对此，可以利用“状态转移方法”进行求解.用“状态”表示某一岸的人员情况，用“决策”表示每一步船上人员安排，然后找出“状态”随“决策”变化的规律，并在状态的允许范围（保证商人安全）内给出每一步的决策结果，最终实现渡河目的.
模型建立包含三个主要建模过程.
（1）状态与决策描述.定义状态变量，其中表示第k次渡河前此岸商人的人数为办、随从的人数为yk，其可能值为，.对商人安全的状态集合称为允许状态集合，记作S，且
（1-1）
定义决策变量，其中dk表示第k次渡河方案，渡船中商人的人数为叫、随从的人数为％，其可能值为叫，--.对小船可行的决策集合称为允许决策集合，记作，且
（1.2）
（2）建立状态转移方程.分析第k次渡河前后此岸商人和随从人数与第k次渡河的商人和随从人数之间的关系，可以给出状态转移规律
（1.3）
称式（1.3）为状态转移方程.
（3）多步决策问题.由于全部人员完成渡河需

目录
“大学数学全程解决方案系列”序
前言
第二版前言
第一版前言
第1章 数学建模概述 1
1.1 数学模型与数学建模 1
1.1.1 数学模型 1
1.1.2 数学建模及其方法与步骤 2
1.2 数学建模示例 4
1.2.1 商人安全过河 5
1.2.2 椅子如何放稳 6
1.2.3 交叉路口信号灯管理 8
1.2.4 三级火箭发射卫星 11
1.3 数学建模能力的培养 15
第2章 初等模型 20
2.1 比例模型 20
2.1.1 包装产品的成本 20
2.1.2 划艇比赛的成绩 22
2.2 代数模型 24
2.2.1 常染色体隐性疾病 25
2.2.2 森林砍伐管理 27
2.3 分析模型 30
2.3.1 实物交换 30
2.3.2 核竞争 32
2.4 优化模型 35
2.4.1 走路与跑步如何节省能量 35
2.4.2 货物的*优存贮策略 38
2.5 数学模型的分析 41
2.5.1 误差分析 41
2.5.2 灵敏性分析 43
2.5.3 稳定性分析 45
2.5.4 复杂性分析 46
思考题2 48
第3章 微分方程模型 50
3.1 人口增长模型 51
3.1.1 指数增长模型 51
3.1.2 逻辑斯谛增长模型 52
3.1.3 偏微分方程模型 55
3.2 传染病模型 58
3.2.1 SI模型 58
3.2.2 SIS模型 59
3.2.3 SIR模型 61
3.2.4 SEIR模型 63
3.3 捕鱼业的持续收获模型 65
3.3.1 捕捞模型 65
3.3.2效益模型 67
3.4 食俾-捕食者模型 69
3.5 有毒浮游植物-浮游动物模型 72
3.6 微分方程的平衡点和稳定性判断 76
思考题3 78
第4章 差分方程模型 83
4.1 斐波那契兔子问题 83
4.2 市场经济稳定模型 86
4.3 离散的逻辑斯帝模型 90
4.4 按年龄分组的种群增长模型 94
4.4.1 Leslie模型 94
4.4.2人口发展模型 96
思考题4 98
第5章 概率与随机模型 100
5.1 报童模型 100
5.2 轧钢中的浪费模型 103
5.3 航空公司的预订票策略模型 105
5.4 人的健康状况估计模型 110
5.4.1 正则马尔可夫链模型 110
5.4.2 吸收马尔可夫链模型 112
5.5 钢琴库存策略模型 114
思考题5 117
第6章 数学规划模型 120
6.1 线性规划模型 120
6.1.1 运输规划模型 121
6.1.2 产品生产计划 123
6.2 非线性规划模型 126
6.3 整数规划模型 131
6.4 多目标规划模型 139
思考题6 145
第7章 数据处理模型 150
7.1 数据预处理 150
7.1.1 缺失值处理 150
7.1.2 噪声过滤 152
7.1.3 数据变换 153
7.2 数据统计模型 155
7.2.1 基本描述性统计 155
7.2.2 分布描述性统计 159
7.3 数据降维 160
7.3.1 主成分分析 160
7.3.2 流形学习之局部线性嵌入算法 167
思考题7 170
第8章 回归分析模型 173
8.1 线性回归模型 173
8.2 非线性回归模型 179
8.3 逻辑斯谛回归模型 184
8.3.1 分组数据的逻辑斯谛回归模型 185
8.3.2 未分组数据的逻辑斯谛回归模型 187
思考题8 189
第9章 分类模型 191
9.1 K-近邻分类 191
9.2 贝叶斯分类 196
9.3 支持向量机 199
9.4 神经网络模型 204
9.4.1 神经网络模型的原理 204
9.4.2 神经网络模型的特点 208
9.4.3 神经网络模型性能 209
9.4.4 神经网络模型应用领域 209
思考题9 209
第10章 评价模型 211
10.1 层次分析模型 211
10.2 熵权法模型和TOPSIS方法模型 220
10.2.1 熵权法模型 221
10.2.2 TOPSIS方法模型 223
10.3模糊评价模型 226
思考题10 232
第11章 预测模型 235
11.1 灰色预测模型 235
11.1.1 生成数 235
11.1.2 GM模型 237
11.1.3灰色预测 241
11.2 确定性时间序列预测模型 243
11.2.1 移动平均法 244
11.2.2 指数平滑法 245
11.3 平稳时间序列预测模型 252
11.3.1 平稳时间序列的基本概念 252
11.3.2 ARMA时间序列模型 254
11.3.3 ARMA建模与预测 256
思考题11 262
第12章 现代优化算法 264
12.1 模拟退火算法 264
12.1.1 模拟退火算法的基本思想 264
12.1.2 模拟退火算法的数学原理 265
12.1.3 模拟退火算法的流程和参数控制 266
12.1.4 模拟退火算法的应用举例 270
12.2 遗传算法 272
12.2.1 遗传算法的基本思想 272
12.2.2 遗传算法的基本框架 273
12.2.3 遗传算法的应用举例 277
12.3 粒子群算法 279
12.3.1 粒子群算法的基本思想 279
12.3.2 粒子群算法的数学描述 280
12.3.3 应用举例：PSO算法求解背包问题 282
思考题12 283
参考文献 284